矩阵分解为上三角和下三角乘积

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三角函数的概念和同角三角函数

标签:文库时间:2025-02-14
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典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角:

①?120?;②640?;③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S, 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?: ①80?;②?51?;③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度;

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度;⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式,并判断其所在象限.

19π; 3(2)-315°; (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是()

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式,并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?;⑵1110?;⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3,3),则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?,3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?,

三角函数的概念和同角三角函数

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典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角:

①?120?;②640?;③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S, 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?: ①80?;②?51?;③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度;

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度;⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式,并判断其所在象限.

19π; 3(2)-315°; (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是()

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式,并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?;⑵1110?;⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3,3),则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?,3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?,

铁三角 - 铝三角 - 金属钠

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Fe

3Fe+4H2O(g)

高温 Fe3O4+4H2

Fe + 2H+ = Fe2+ + H2↑ Fe + Cu2+ == Cu + Fe2+ Fe + 2Fe3+ == 3Fe2+

Fe2+ + 2OH- == Fe(OH)2↓ 4Fe(OH)2 + O2 + 2H2O == 4 Fe(OH)3 (生成白色沉淀,迅速变成灰绿色,最后变成红褐色) 2Fe2+ + Cl2 == 2Fe3+ + 2Cl-

2Fe2+ + H2O2 + 2H+ == 2Fe3+ + 2H2O Fe3+ + 3OH- == Fe(OH)3↓

-2Fe3+ + 3CO32 + 3H2O == 2Fe(OH)3↓ + 3CO2↑(双水解) 2Fe3+ + Cu == 2Fe2+ + Cu2+ 2Fe3+ + 2I- == 2Fe2+ + I2

Fe3+ + 3SCN- == Fe(SCN)3 (红色溶液,Fe3+离子检验) Fe3+ + 3H2O Fe(OH)3(胶体) + 3H+ (氢氧化铁胶体制备)

FeO + 2H+ == Fe2+ + H2O Fe2O3 + 6H+ == Fe3+

三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

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三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

第一讲 三角函数的图象与性质

1.任意角的三角函数

y

(1)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=. x(2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 2. 正弦、余弦、正切的图象及性质 函数 性质 定义域 y=sin x R y=cos x R y=tan x π{x|x≠kπ+,k∈Z} 2图象 值域 [-1,1] 对称轴:x=kπ+对称性 π2[-1,1] 对称轴:x= R ?kπ,0?(k∈Z) 对称中心:kπ(k∈Z);对称中心: ?2?(k∈Z);对称中心:π(kπ+,0)(k∈Z) 2(kπ,0)(k∈Z) 2π 2π 单调减区间 π3π[2kπ+,2kπ+] 22π 周期 单调性 单调增区间[2kπ-ππZ) ,2kπ+](k∈Z); (k∈22单调增区间 单调增区间 ππ(kπ-,kπ+)(k∈Z) 22[2kπ-π,2kπ]( k∈Z); 奇偶性 奇 偶 奇 3. y=Asin(ωx+φ)的图象及性质

π3π

(1)五点作图法:五点的取法:设X=ωx+φ,X取0,,π,,2π时求相应的

铁三角 - 铝三角 - 金属钠

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Fe

3Fe+4H2O(g)

高温 Fe3O4+4H2

Fe + 2H+ = Fe2+ + H2↑ Fe + Cu2+ == Cu + Fe2+ Fe + 2Fe3+ == 3Fe2+

Fe2+ + 2OH- == Fe(OH)2↓ 4Fe(OH)2 + O2 + 2H2O == 4 Fe(OH)3 (生成白色沉淀,迅速变成灰绿色,最后变成红褐色) 2Fe2+ + Cl2 == 2Fe3+ + 2Cl-

2Fe2+ + H2O2 + 2H+ == 2Fe3+ + 2H2O Fe3+ + 3OH- == Fe(OH)3↓

-2Fe3+ + 3CO32 + 3H2O == 2Fe(OH)3↓ + 3CO2↑(双水解) 2Fe3+ + Cu == 2Fe2+ + Cu2+ 2Fe3+ + 2I- == 2Fe2+ + I2

Fe3+ + 3SCN- == Fe(SCN)3 (红色溶液,Fe3+离子检验) Fe3+ + 3H2O Fe(OH)3(胶体) + 3H+ (氢氧化铁胶体制备)

FeO + 2H+ == Fe2+ + H2O Fe2O3 + 6H+ == Fe3+

铁三角 - 铝三角 - 金属钠

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Fe

3Fe+4H2O(g)

高温 Fe3O4+4H2

Fe + 2H+ = Fe2+ + H2↑ Fe + Cu2+ == Cu + Fe2+ Fe + 2Fe3+ == 3Fe2+

Fe2+ + 2OH- == Fe(OH)2↓ 4Fe(OH)2 + O2 + 2H2O == 4 Fe(OH)3 (生成白色沉淀,迅速变成灰绿色,最后变成红褐色) 2Fe2+ + Cl2 == 2Fe3+ + 2Cl-

2Fe2+ + H2O2 + 2H+ == 2Fe3+ + 2H2O Fe3+ + 3OH- == Fe(OH)3↓

-2Fe3+ + 3CO32 + 3H2O == 2Fe(OH)3↓ + 3CO2↑(双水解) 2Fe3+ + Cu == 2Fe2+ + Cu2+ 2Fe3+ + 2I- == 2Fe2+ + I2

Fe3+ + 3SCN- == Fe(SCN)3 (红色溶液,Fe3+离子检验) Fe3+ + 3H2O Fe(OH)3(胶体) + 3H+ (氢氧化铁胶体制备)

FeO + 2H+ == Fe2+ + H2O Fe2O3 + 6H+ == Fe3+

三角向量

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南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料

三角函数和平面向量专题复习

一.高考考试内容及要求:

1.三角函数考试要求:

(1)了解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算.

(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,了解周期函数与最小正周期的意义;

(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式; (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明;

(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A、ω、φ的物理意义;

(6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示;(7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。 2. 平面向量考试要求:

(1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念; (2)掌握向量的加法和减法;

(3)掌握实数与向量的积,理解

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

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三角函数中三角变换常用的方法和技巧

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

一、角的变换

当已知条件中的角与所求角不同时,需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化,一般是寻求它们的和、差、倍、半关系,再通过三角变换得出所要求的结果. 例1 函数y 2sin

π π

. x cos x (x R)的最小值等于( )

3 6

(C) 1

(D

)(A) 3 (B) 2

解析:注意到题中所涉及的两个角的关系:

π π π

x x ,所以将函数f(x)的表 3 6 2

达式转化为f(x) 2cos 选(C).

π π π

故f(x)的最小值为 1.故 x cos x cos x ,

6 6 6

评注:常见的角的变换有: ( ) ,2 ( ) ( ),

2 ( ),

2

2

3π π π

( ), 4 4 2

π π

.只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察,往往

44

会发现角之间的关系. 例2、已知 cos

111

,cos( ) , , 均是锐角,求cos 。 714

cos cos[( ) ] cos(

三角向量

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南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料

三角函数和平面向量专题复习

一.高考考试内容及要求:

1.三角函数考试要求:

(1)了解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算.

(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,了解周期函数与最小正周期的意义;

(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式; (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明;

(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A、ω、φ的物理意义;

(6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示;(7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。 2. 平面向量考试要求:

(1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念; (2)掌握向量的加法和减法;

(3)掌握实数与向量的积,理解

三角函数及三角恒等变换(教师)

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三角函数及三角恒等变换

任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.A={小于90°的角},B={第一象限的角},则A∩B=(填序号). 答案④ ①{小于90°的角} ②{0°~90°的角}③{第一象限的角} ④以上都不对 2.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是. 答案

?3

3.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的中心角的弧度数是. 答案 1或4 4.已知角?终边上一点P的坐标是(2sin2,-2cos2),则sin?=. 答案 -cos2 5.?是第二象限角,P(x,5)为其终边上一点,且cos?=

例1 若?是第二象限的角,试分别确定2?,

?224x,则sin?=. 答案

104

,

?2的终边所在位置.

解 ∵?是第二象限的角,∴k2360°+90°<?<k2360°+180°(k∈Z).

(1)∵2k2360°+180°<2?<2k2360°+360°(k∈Z)∴2?是第三或第四象限的角,或角的终边在y轴的非正半轴上. (2)∵k2180°+45°<

?2 <k2180°+90°(k∈Z),

?2当k=2n(n∈Z)时,n2360°+45°<<n2360°+90°;

?2当k=2n+1(n∈Z)时