定积分的定义解题

洛阳师范学院 数学科学学院 《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

在上一章引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。事实上，在科学技术中采用“分割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量实际量的积分表达式的一种常用方法——微元法，然后用微元法去阐述定积分在某些几何、物理问题中的应用。

§1平面图形的面积

教学目标：掌握平面图形面积的计算公式． 教学内容：平面图形面积的计算公式．

(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．

(2) 较高要求：提出微元法的要领． 教学建议：

(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．

(2) 领会微元法的要领． 教学过程：

1、微元法

bI?众所周知，定积分

?f?x?dxa是由积分区间

?a,b?及被积函数f(x)所决定

的，而定积分对积分区间具有可加性，即如果把积分区间作为任意划分

?:x0?a?x1?x2???xn?1?xn?b

记

?Ik??xkxk?1f(x)dx k?1,2

第四节 广义积分

在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分

1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.

（1）由曲线y?e?x，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?limb????b0?x?b??1 edx?lim?1?e?b????（2）由曲线y?ex，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?lima????0axa??1. edx?lim?1?e?a????2．定义1.设函数f?x?在区间?a,???上连续，取b?a.如果极限 lim存在，则称此极限为函数f?x?在区间?a,???上的广义积分，记作?即：???a??b????f?x?dxab

af?x?dx.

f?x?dx?lim??b????f?x?dxab ————（1）

这时，也称广义积分?惯上称为广义积分???aaf?x?dx收敛；如果上述极限不存在，函数f?x?在区间?a,???上的广义积分就没有意义，习

f?x?dx发散.

定义2.设函数f?x?在区间???,b?上连续，取a

学号：

本科毕业论文

学 院 专 业 年 级 姓 名 论文题目 定积分的若干应用 指导教师 薛艳昉 职称 讲师

2013年5月16日

目 录

摘 要 ····························································································· 1 关键词 ····························································································· 1 Abstract ···········································································

定积分的概念说课稿

基础教学部 高黎明

一、教材分析 1、教材的地位和作用

本节课选自同济大学《高等数学》第五章第一节定积分的概念与性质，是上承导数、不定积分，下接定积分在几何学及物理学等学科中的应用。定积分的应用在高职院校理工类各专业课程中十分普遍。 2、教学目标

根据教材内容及教学大纲要求，参照学生现有的知识水平和理解能力，确定本节课的教学目标为：

（1）知识目标：理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。

（2）能力目标：培养学生分析和解决问题的能力，培养学生归纳总结能力，为后续的学习打下基础。

（3）情感目标：从实践中创设情境，渗透“化整为零零积整”的辩证唯物观。 3、教学重点和难点

教学重点：定积分的概念和思想 。

教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想 。 二、 教法和学法 1、教法方面

以讲授为主：案例教学法（引入概念），问题驱动法（加深理解）， 练

习法（巩固知识）， 直观性教学法（变抽象为具体） 。 2、学法方面

板书教学为主，多媒体课件为辅（化解难点、保证重点） 。 （1）发现法解决第一个案例 ； （2）模仿法解决第二个案例 ； （3）

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 教学要求： 1.了解定积分的概念 2.掌握定积分的性质 重 点：定积分的性质 难 点： 1.定积分的概念 2.定积分的性质 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 5分钟 2 定积分问题举例 15分钟 3 定积分定义 15分钟 4 定积分的性质 30分钟 5 例题及练习 25分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习不定积分的概念 二、定积分问题举例 曲边梯形的面积 曲边梯形由连续曲线y?f(x)(f(x)?0)、y?f(x)(f(x)?0)、x?b所围成（如图1）. 图1 提问：怎样

谈回归定义的解题功能

沈作翔 孙伟奇

(浙江省奉化中学 315500)

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系的本质属性的概括与反映，是我们进行判断和推理的逻辑单元，它既是推导公式、定理的依据，也是解题的一把金钥匙．本文就回归定义的解题功能谈谈自己的管见．

一、辨误功能

数学中的概念反映了数学中各个知识点特有属性及内在联系,是数学公式、法则、定理的应用的出发点和前提，因此用定义来辩误是再自然不过的了．

例1、把红 、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是

A、对立事件 B、不可能事件 C、互斥但不对立事件 D、以上均不对 错误答案：A

剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现 在以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

（2）互斥的概念适合用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生：而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同

谈回归定义的解题功能

沈作翔 孙伟奇

(浙江省奉化中学 315500)

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系的本质属性的概括与反映，是我们进行判断和推理的逻辑单元，它既是推导公式、定理的依据，也是解题的一把金钥匙．本文就回归定义的解题功能谈谈自己的管见．

一、辨误功能

数学中的概念反映了数学中各个知识点特有属性及内在联系,是数学公式、法则、定理的应用的出发点和前提，因此用定义来辩误是再自然不过的了．

例1、把红 、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是

A、对立事件 B、不可能事件 C、互斥但不对立事件 D、以上均不对 错误答案：A

剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现 在以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

（2）互斥的概念适合用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生：而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同

定积分的计算方法

摘要

定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。

关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法

Calculation method of definite integral

Abstract

the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system o

高二二部数学教学案NO13（理）

设计人：孙国林 审核人：王彦 日期：2013.03.20

【课程标准】

★了解曲边梯形的面积、汽车行驶的路程的求解方法，了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法。

【本节目标】

★了解求曲边梯形的面积、汽车行驶路程的方法

★了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法

【自主学习】

1.求解曲边梯形的面积的解题步骤是什么？分为几步？

2.定积分的概念是什么？

3.定积分的几何意义是什么？

4.写出定积分的性质

【典例分析】

例1.已知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为

km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s是多少？

v t t2 2(单位：

例2.利用定积分的定义，计算 x3dx01

例3.计算 （2x x3)dx01

【拓展提高】

1.简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积：

(1) (1 x)dx (x 1)dx0112 (2) xdx x2dx 3 2 221

2.利用定积分表示抛物线y=x2 2x 3与直线y=x+3所围成的图形的面积。

【课堂练习】

1.下列等于1的积分是（ ）

A. xdx01 B x 1 dx01

b

aC 1dx0ba1

第5章 定积分及其应用

本章讨论积分学的第二个问题——定积分．定积分是某种特殊和式的极限，它是从大量的实际问题中抽象出来的，在自然科学与工程技术中有着广泛的应用．

本章主要讲授定积分的定义、性质，积分上限函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法，广义积分，以及定积分在几何、物理、经济上的应用等．

通过本章的学习，学生能够理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件；掌握定积分的基本性质和对积分上限函数求导数的方法；能利用牛顿-莱布尼兹公式和定积分的换元法、分部积分法计算定积分；了解广义积分收敛和发散的概念，会求广义积分；会用定积分求平面图形的面积和简单的旋转体的体积，会用定积分解决沿直线运动时变力所做的功等实际问题．

5.1 定积分的概念与性质

5.1.1 引例

1．曲边梯形的面积

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)?0．由曲线y?f(x)，直线x?a，x?b以及x轴所围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1所示），下面讨论如何求该曲边梯形的面

积．

不难看出，该曲边梯形的面积取决于区间[a,b]及曲边y?f(x)．如果y?f(x)在[a,b]上为常数，此时曲边梯形为矩形，则其面积等于h(b?a)．现在