2013年高中数学竞赛试题答案

高中数学试卷

2015年高中数学竞赛决赛试题及答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请

把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）

1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是

A．

5

6

B．

2 3

C．

1 2

D．

1 3

，则

2．若 是第四象限角，且sin

2

cos

2

2sin

2

cos

2

是 2

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

3. 已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP 2OA+BA，则

A．点P不在直线AB上 B．点P在线段AB上

C．点P在线段AB的延长线上 D．点P在线段AB的反向延长线上

4．设m,n R ，若直线(m 1)x (n 1)y 4 0与圆(x 2)2 (y 2)2 4相切，则m n的取值范围是

A.(0,1 3] B.[1 3, ) C. [2 22, ) D.(0,2 22] 5. 已知正方体C1

的棱长为C1的各个面的中心为

智浪教育—普惠英才文库

2014年浙江省高中数学竞赛试题

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后

的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1．已知集合P={1,|a|}，Q={2,b2}为全集U={1,2,3,a2+b2+a+b}的子集，且CU{P∪Q}={6}，则下面结论正确的是（ D ）

A．a=3,b=1

B．a=3,b=-1

C．a=-3,b=1 D．a=-3,b=-1

2．已知复数z1, z2，且|z1|=2,|z2|=2，|z1+z2|=7，则|z1-z2|的值为（ D ）

A．5

B．7 C．3

D．3 3．已知∠A, ∠B, ∠C为△ABC的三个内角，命题P：∠A =∠B；命题Q：sin∠A =sin∠B，则﹁P是﹁Q 的（ C ）

A．充分非必要条件 C．充分必要条件

B．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

20144．已知等比数列{an}：a1=5,a4=625，则

1=（ A ） ?k?1log5aklog5ak?1

C．

A．

2014 2015 B．

2013 2014

2009年全国高中数学联赛模拟试题答案

2009年清北学堂杯·全国高中数学联赛集训模拟试题

班级 姓名 得分

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1.已知x (0,1),a,b为给定的正实数,则

ab

的最小值为( A )

x1 x

(A)

2

2 (C)a

b x2

2.已知集合A=

n

n

x 2n 1,且x 7m 1,m、n N

，则A中各元素的和为（ ）

6

(A) 792 (B) 890 (C) 891 (D) 990

解：答案：C． A6=x64 x 128,且x 7m 1,m N，当m=10时，x=71． 当m=18时，x=127．∴A6中各元素的和为

(71 127) 9

891．

2

1 1

f(x) x cosx bsinx 6

a 12 3. 已知函数 （a、b为常数，且a 1），fg(llog81000) 8

，则f(lglg2)的值是（ ）

(A) 8 (B) 4 (C) -4 (D) 与a、b有关的数 解：答案：Ｂ．∵g(x)

1 1

cosx bsinx为奇函数，f(lglog81000) 8， x

2a 1

1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．

x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）

其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．

2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．

【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）

但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．

3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．

【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1

因此，四个连续自然数乘积加上1，是一

高中数学联赛

2003年全国高中数学联赛

第一试

一、选择题（每小题6分,满分36分）

1． 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003

项是

(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049

2． 设a, b R, ab≠0，那么，直线 ax y+b=0和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是

(A) (B) (C) (D)

3． 过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60 的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，

弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于 16168

(B) (C) (D)83

333

2 5

4． 若x [ , ]，则y= tan(x+) tan(x+)+cos(x+)的最大值是

312366

(A)

(A)

12111211

2 (B)2 (C)3 (D) 5656

94

+的最小值是 2

4 x29 y

5． 已知x,y都在区间( 2,2)内，且xy＝ 1，则函数u=

(A)

8121224

(B) (C) (D)

高中 数学 竞赛 试题 含 答案

2007年湖南省高中数学竞赛试题及答案

一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)

1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x) g(x) x2 9x 12，则f(x) g(x) ( )

A． x 9x 12 2.有四个函数：

① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=sinx cosx ④ y 其中在(0,A．①

3.方程x2 x 1 x x

2

2

B．x 9x 12

2

C． x 9x 12 D． x 9x 12

22

sinx

cosx

2

)上为单调增函数的是 ( )

B．②

1

C．①和③ D．②和④

(x2 1) x的解集为A(其中π为无理数，π=3.141 ，x为实数)，则A中所

有元素的平方和等于 ( ) A．0

B．1

2

C．2

2

D．4

4.已知点P(x,y)满足(x 4cos ) (y 4sin ) 4( R)，则点P(x,y)所在区域的面积为 A．36π

B．32π

C．20π

D．16π ( )

5.将10

2012年浙江省高中数学竞赛试题

总分200分

一、选择题（50分） 1、已知i是虚数单位，则复数

1 2i

=（ ） i 2

A

4343

i B i C i D i

5555

2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间( , )上单调递增的函数是（ ） A

y x2 x B y x 2sinx C y x3 x D y tanx

5

3、已知a,b均为单位向量，其夹角为，则命题p:a b 1是命题q: [,)的

26

（ ）

A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 4、已知集合P

x|1 x 2 ,M x|2 a x 1 a ，若P

M P，则实

数a的取值范围是（ ） A

( ,1] B [1, ) C [ 1,1] D [ 1, )

x ) cos( x)的最大值是（ ） 226

5

、函数y

13 B

C

D

442

6、如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，SD 底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）

A A C D

AB SA B BC平面

2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案

一、填空题（每题8分，共80分）

1. 32

290x x x -+-=

2. 1-

3.

16±4分，满分8分） 4.

5. 13

6.

5

[2

7. z =?14±

√154i （每个答案给4分，满分8分）

8. 126

9. 153

10. 912 二、解答题（共五题，11-13各20分，14、15各30分，合计120分） （解答题严格按照上述标准给分，分数整5整10，不给其他过度分数。）

11. 已知数列{}n a

，且11a =

2,3,)n ==L ，令1n n b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若对任意的*

n N ∈

(1)101n S n λ≤+≤+恒成立，求实数λ的取值范围。 解答 （1

）由数学归纳法证明得n

a = （5分） （2

）由于n b =

1n S =, （10分）

(1)101n S n λ≤+≤+得到

λ≤≤

上式对任意的正整数成立，则

min 202λ=≤≤=，（15分）

即202

λ≤≤。

通 知

2016年江西省高中数学竞赛预赛定于2016年6月5日举行，考试时间8：30-11：00。凡在南昌市2016年高中数学竞赛获奖的学生（名单见附件）均获得参赛资格。请各学校在5月20日至5月25日之间到江西师大（老校区王字楼）《中学数学教

学研究》编辑部黄根发老师处报名。参赛费每人30元。

南昌市数学学会

2016/5/16

1 / 27

南昌市2016年高中数学竞赛获奖名单

附件:

高一重点中学组

一等奖：

师大附中 王文杰

南昌二中 黄天孝 南昌二中 周孟辰 师大附中 乐昊 莲塘一中 刘诗梦 师大附中 陈子楷 南昌二中 张子讴 师大附中 朱洪巧 莲塘一中 邓浚涛 莲塘一中 李子晔 师大附中 张哲昕 莲塘一中 刘龙坤 南昌二中 何雨峰 师大附中 杜元皓 新建二中 戴克强 进贤一中 聂志朋 莲塘一中 龚汉文 莲塘一中 李翔 莲塘一中 喻轼钦 南昌二中 程润曦 南昌二中 刘涵琦 师大附中 王浩辰 进贤一中 李敏军 莲塘一中 付超 莲塘一中 涂轶杰 莲塘一中 罗诗琪 莲塘一中 谢纪轩 南昌二中 孙伟轩 师大附中 叶鸿宇 外国语

通 知

2016年江西省高中数学竞赛预赛定于2016年6月5日举行，考试时间8：30-11：00。凡在南昌市2016年高中数学竞赛获奖的学生（名单见附件）均获得参赛资格。请各学校在5月20日至5月25日之间到江西师大（老校区王字楼）《中学数学教

学研究》编辑部黄根发老师处报名。参赛费每人30元。

南昌市数学学会

2016/5/16

1 / 27

南昌市2016年高中数学竞赛获奖名单

附件:

高一重点中学组

一等奖：

师大附中 王文杰

南昌二中 黄天孝 南昌二中 周孟辰 师大附中 乐昊 莲塘一中 刘诗梦 师大附中 陈子楷 南昌二中 张子讴 师大附中 朱洪巧 莲塘一中 邓浚涛 莲塘一中 李子晔 师大附中 张哲昕 莲塘一中 刘龙坤 南昌二中 何雨峰 师大附中 杜元皓 新建二中 戴克强 进贤一中 聂志朋 莲塘一中 龚汉文 莲塘一中 李翔 莲塘一中 喻轼钦 南昌二中 程润曦 南昌二中 刘涵琦 师大附中 王浩辰 进贤一中 李敏军 莲塘一中 付超 莲塘一中 涂轶杰 莲塘一中 罗诗琪 莲塘一中 谢纪轩 南昌二中 孙伟轩 师大附中 叶鸿宇 外国语