椭圆定点定值问题例题及答案

一．解答题（共30小题）

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4

．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点． ①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；

②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．

2．已知椭圆

的离心率为，且经过点

．

（1）求椭圆C的方程； （2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m（定值m≠0），求直线l的斜率．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

的焦距为2，且过点

．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．

（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；

（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

4．已知F1，F2分别是椭圆足

（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣

与x轴的交点为N，满

，设A、B是上半

椭圆大题——————定值问题

1已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(0,2)，且长轴长与短轴长的比是2:1． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；

x2y22已知椭圆2?2?1?a?b?0?和圆O：x2?y2?b2，过椭圆上一点P引圆O的两条

ab切线，切点分别为A,B．

（Ⅰ）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；

（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得?APB?90，求椭圆离心率e的取值范围； （Ⅱ）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：

?a2ON2?b2OM2为定值．

x2y223已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点A(2, 1)，离心率为．过点B(3, 0)的直

ab2线l与椭圆C交于不同的两点M,N． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

?????????（Ⅱ）求BM?BN的取值范围；

（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证:kAM?kAN为定值．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过

定点、定值、探索性问题 考点一 定点问题 x2y2[典例] (2014·扬州期末)如图，已知椭圆E1的方程为2＋2＝1(a>b>0)，圆E2的方程为

abx2＋y2＝a2，斜率为k1的直线l1过椭圆E1的左顶点A，且直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于点B，C.

(1)若k1＝1，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E1的离心率e；

1

(2)若椭圆E1的离心率e＝，F2为椭圆的右焦点，当BA＋BF2＝2a时，求k1的值；

2k1b2

(3)设D为圆E2上不同于点A的一点，直线AD的斜率为k2，当＝2时，试问直线BD

k2a是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

[解] (1)当k1＝1时，点C在y轴上，且C(0，a)， aa－，?. 则B??22?由点B在椭圆上得

?－a?2?a?2

?2??2?

a2＋b2＝1，

b212c2b226所以2＝，e＝2＝1－2＝，所以e＝.

a3aa33

(2)设椭圆的左焦点为F1，由椭圆定义知BF1＋BF2＝2a，所以BF1＝BA，则点B在线段AF1的中垂线上，

a＋c所以xB＝－.

2

c113又e＝＝，所以c＝a，b＝a，

a222

3a721所以xB＝－，代入椭圆方程得yB＝±b＝±a，

448yB2

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

椭圆上的点到直线距离最值问题

作者：饶雄

来源：《高中生学习·高二版》2016年第03期

在解析几何中，椭圆上的点到直线的最短（长）距离或求动点到定直线的最短（长）距离，是我们经常遇到的问题，要解决它可以从多个方面入手.如归结为数形结合判别式法、参数方程法和柯西不等式法，以下我们举例说明. 数形结合判别式法

例1 求椭圆[x24+y212=1]上一点到直线l∶y=x-5的距离的最小值.

分析 作出直线[l]及椭圆（如图），观察图形，可以发现，利用平行直线与椭圆只有一个交点，可以求得相应的最小距离.

[F1][F][O][x][y][y=x-5]解 如图，虚线为与椭圆相切且与直线[y=x-5]平行的直线，而此直线与[y=x-5]之距即为所求.

设虚线的直线方程为y=x+b， [∴x24+y212=1，y=x+b.] 化简得[4x2+2bx+b2-12=0]. ∵相切， ∴Δ=0.

∴b=±4，由图可知b=-4，

用挣值法控制成本

（一）三个费用值挣值法是通过分析项目成本目标实施与项目成本目标期望之间的差异，从而判断项目实施的费用、进度绩效的一种方法。挣值法主要运用三个成本值进行分析，它们分别是已完成工作预算成本、计划完成工作预算费用和已完成工作实际成本。

1 ．已完成工作预算成本

已完成工作预算成本为 BCWP ，是指在某一时间已经完成的工作（或部分工作），以批准认可的预算为标准所需要的成本总额。由于业主正是根据这个值为承包商完成的工作量支付相应的成本，也就是承包商获得（挣得）的金额，故称挣得值或挣值。 BCWP =已完成工程量 ×预算成本单价

2 ．计划完成工作预算成本

计划完成工作预算成本，简称 BCWS ，即根据进度计划，在某一时刻应当完成的工作（或部分工作），以预算为标准计算所需要的成本总额。一般来说，除非合同有变更， BCWS 在工作实施过程中应保持不变。 BCWS =计划工程量×预算成本单价

3 ．已完成工作实际成本

已完成工作实际成本，简称 ACWP ，即到某一时刻为止，已完成的工作（或部分工作）所实际花费的成本金额。

（二）挣值法的计算公式在三个成本值的基础上，可以确定挣值法的四个评价指标，它们也都是时间的函数。

1 ．成本偏

尺规作图五点定椭圆的方法

徐文平

（东南大学 南京210096）

摘要：已知椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作图完成椭圆作图。

椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。利用几何画板和cad软件，依据任意五个点的椭圆尺规作图，具有重要意义。

一、引言

在几何画板和cad软件中， 任意五个点作椭圆，具有意义。五点定椭圆在卫星轨道，机械制图和土木工程中是有重要用途。

第一步，通过五点寻找椭圆圆心

第二步，确定椭圆坐标x、y主轴方向 第三步、确定椭圆的长轴a和短轴b 1）大狗熊定理1：二次圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。 如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。双曲线和抛物线也具有同样性质。

2）命题1：已知椭圆的斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK， JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB

..

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆离心率为

；圆

的左右焦点分别为

两点.

，

过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得【答案】（1）

（2）

为定值；并求出该定点的坐标.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得

。设x轴上的定点为，可得

，由定值可得需满足

，解得可得定点坐标。

解得。

.

∴椭圆的标准方程为（Ⅱ）证明：

由题意设直线的方程为由设

，

消去y整理得

，

，

，

..

要使其为定值，需满足解得

.

.

，

故定点的坐标为

点睛：解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．

2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点??1,0?与抛物

..

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆离心率为

；圆

的左右焦点分别为

两点.

，

过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得【答案】（1）

（2）

为定值；并求出该定点的坐标.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得

。设x轴上的定点为，可得

，由定值可得需满足

，解得可得定点坐标。

解得。

.

∴椭圆的标准方程为（Ⅱ）证明：

由题意设直线的方程为由设

，

消去y整理得

，

，

，

..

要使其为定值，需满足解得

.

.

，

故定点的坐标为

点睛：解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．

2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点??1,0?与抛物

第四讲 圆锥曲线中的定点与定值问题 1.如图，过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD，过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD与C、D两点，设AD、BC的y交点为R. D(1)求动点R的轨迹E的方程； H(2)过曲线E的右焦点作直线l 交曲线E于M、N两点，交yC轴与点P，记PM??1MF,PN??2NF.求证：λ1+ λ2是定值. (设点法)

2. 已知A、B分别是直线y?P是AB的中点．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点Q(1,0)作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若

RAOBx33x和y?? x上的两个动点，线段AB的长为23，33RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值．(设直线方程法)

1

x2y2??1的左、右顶点为A、B，3. 在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95右焦点为F.设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y1?0,y2?0.

（1）设动点P满足PF2?PB2?4,求点P的轨迹； （2）设x1?2,x2?13，求点T的坐标； （3）设t

奥数应用题浓度问题

1、把浓度为25%的盐水30千克,加水冲淡为15%的盐水,问需要加水多少千克？

2、有浓度为2.5%的盐水210克,为了制成浓度为3.5%的盐水,从中要蒸发掉多少克水？

3、一瓶100克的酒精溶液加入80克水后,稀释成浓度为40%的新溶液,原溶液的浓度是多少？

4、甲,乙两种酒精浓度分别为70%和55%,现在要配制浓度为65%的酒精3000克,应当从这两种酒精中各取多少克？

5、一杯纯牛奶,喝去25%再加满水,又喝去25%,再加满水后,牛奶的浓度是多少？

6、有甲乙两种糖水，甲含糖270克，含水30克，乙含糖400克，含水100克，现要得到浓度是82.5%的糖水100克，问每种应取多少克？

7、一个容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,用水加满,再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液的浓度是?

8、有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,在加300克4%的盐水,混合后变成6.4%的盐水,问最初的盐水是多少千克?

9、已知盐水若干克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为3％，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为2％。求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。

10、有A、