用公式法因式分解的常用公式

用公式法进行因式分解(一)

2.4用公式法进行因式分解（一）

【课型】：公式定理课

【学习目标】

1．能说出平方差公式的特点。

2．能较熟练地应用平方差公式分解因式。

【重点】

应用平方差公式分解因式。

【难点】

灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．

【教学准备】多媒体课件

【教学方法】自主探究学习法

【学生情况分析】本节课是在学生能够熟练应用平方差公式和完全平方公式进行整式乘法运算的基础上进行的逆向变形，由于学生对于这两个公式掌握的比较牢固，相信学生能够较好的完成本课的任务

【导学流程】

一、提出问题，创设情境

出示投影片，让学生思考下列问题．

问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？

问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？

问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？

二、学生自学，尝试探究

自学任务：

1、自学课本43页和44页的例1.

2、通过自学，掌握因式分解的平方差公式的结构特点。

3、会应用平方差公式进行多项式的因式分解。

结合提出的问题，学生自学。教师进行适当的点拨指导。

说明：

1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用， 也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．

2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式， 就不能使

常用的因式分解公式

常用的因式分解公式：

待定系数法(因式分解)

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析 由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解 设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下． 例2 分解因式：x4-2x3-

翟镇初级中学数学教案

第 周第 课时 课题 §12.4用公式法进行因式分解（2） 学习目标：1、了解因式分解的一般步骤； 2、能运用所学对多项式进行因式分解，并解决有关的实际问题。 课型 新授 重点：能对多项式进行因式分解； 难点：正确、熟练地进行因式分解，并能分解完全。 内容设计 二次备课 课 温顾知新： 前 1你都学过哪些因式分解的方法？在运用这些方法进行因式分解时，你认为必须满准 足什么条件？应注意什么问题？ 备 一、创设情境： 甲农户有两块地，一块是边长为a米的正方形地，另一块是长为c米，宽为b米的长方形地；乙农户也有两块地，都是宽为a米，长分别为b米和c米的长方形地，今年，这两个农户共同投资搞饲养业，为此，他们准备将这4块土地调成一块地，此时这块地的宽为（a＋b）米，为了使调成土地面积与原来4块地的总面积相等，调成之后的土地的长应该是多少米呢？ 二、交流展示： 1、列出所学的因式分解的方法及注意问题，并与同学交流，然后进行下面的练习： （例3）把下列各式进行因式分解： 4222（1）－2x＋32x （2）3ax－6axy＋3ay 2、通过上面的练习，你能用自己的语言对因式分解

七年级数学下学期青岛版12.4《用公式法进行因式分解》(1)学案

§12.4 用公式法进行因式分解（1）

学习目标：

1、理解因式分解中的平方差公式、完全平方公式的意义。

2、能运用公式法对多项式进行因式分解。

3、了解因式分解的一般步骤。

学习重点：能运用公式法对多项式进行因式分解

学习难点：公式法的正确运用

一、课前延伸

1、因式分解：

(1)3a3b2－12ab3 (2)x(a+b)+y(a+b)

(3)a(m-2)+b(2-m) (4)a(x-y)2-b(y-x)2

2、请写出平方差公式和完全平方公式：

平方差公式：

完全平方公式：

二、课内探究

1、a2-b2； 2、 a2+2ab2+b2

（1）你能说出上面两个多项式的结构特点吗？

（2）你能把这两个多项式进行因式分解吗？

公式法：把乘法公式 ，反过来得到三个等式 ，把它们作为公式，就可以把

运用公式法进行因式分解

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式

a2?b2?(a?b)(a?b)

a2?2ab?b2?(a?b)2

立方和、立方差公式 a3?b3?(a?b)?(a2?ab?b2) 补充：欧拉公式：

a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca) ?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2333 特别地：（1）当a?b?c?0时，有a?b?c?3abc

（2）当c?0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】

1. 把a?2a?b?2b分解因式的结果是（

因式分解

公式及方法大全

待定系数法(因式分解)

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在

在因式分解时，一些可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

常用的因式分解公式：

因式分解

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

分析 由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

解 设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

因式分解

比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

说明 本题也可用 例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．

分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法

15.4.2公式法（二）

主备人：杨玉英 预习内容：教科书八年级上册第169、170页. 一、学习目标：用完全平方公式分解因式. 重 点：1.理解完全平方公式的特点．

2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式. 难 点：能灵活应用提公因式法、公式法分解因式.

二、预习提纲

1. 细读第169页，思考：特点 _______________________________ 我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做__ ______．

另外还有a2+2ab+b2= _______ ，a2-2ab+b2 =_______即：_______________ 2.阅读教材第169页的例题5.注重第（1）题的分析过程；第（2）题的符号为什么要做处理.

下列各式是不是完全平方式？为什么？ （1）a-4a+4（2）x+4x+4y（3）4a+2ab+

2

2

2

2

14b

2

（4）a2-ab+b2 （5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.25 答： ______________________. 把下列多项式分解因式：

(1)

《平方差公式分解因式》说课稿

今天我说课的内容是九年义务教育人教版八年级上册第十四章—-整式乘法与分解因式，第三节——“因式分解”第二课时。本着以学生为主体，教师为主导的教学原则，我将从教材分析、学法与教法、教学过程、教学反思几个方面进行说明。

【教材分析】 本节课主要让学生经历通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，因此本节课在教材中起到了承上启下的重要的作用。

本节课采用高效课堂教学模式，以学生为主体，教师起辅导作用，所以确立了以下目标和重难点：

【学习目标】（1）了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用平方差公式进行分解因式；

（3）会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解。 【学习重点】掌握用平方差公式进行分解因式。

【学习难点】将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养分步骤分解因式的能力。

这节课，我主要采用以下教法学法

【教法分析】 根据新《课标》的要求，结合本班学生的知识水平，本堂课主要采用观察、分析、启发、诱导的方法，引导学

—平方差公式

温故知新 什么叫因式分解？ 因式分解与整式乘法有 什么联系？ 我们学过哪些乘法公式？

温故知新1) ( x 5)( x 5) _______ x 252

9x y 2) (3x y )(3x y ) ______2

2

观察以上式子是满足什么乘法公式运算？

(a b)( a b) a b (整式乘法)2 2

a b (a b)(a b) (分解因式)2 2

利用乘法公式把某些多项式因式分解的方法叫做公式法

说一说 找特征

b a ▲2

2

(a ▲ b )( a b) ▲

①左边 两个因式的平方差；只有两项

②右边

两因式和 与差相乘

相同项 相反项

牛刀小试下列多项式能转化成( )2-( )2的形式吗？如果 能，请将其转化成( )2-( )2的形式。 (1) m2 -81 = m2 -92 (2) 1 -16b2 = 12-(4b)2 (3) 4m2+9 不能转化为平方差形式

(4) a2x2 -25y 2 = (ax)2 -(5y)2 (5) -x2 -25y2 不能转化为平方差形式

多项式具有什么特征时， 可以用平方差公式因式分解？ (1)多项式是 二项式

(2)每一项都可以写成 平

因式分解方法归纳总结

第一部分：方法介绍

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法

和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)

二、运用公式法.

2222

（1）(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；

222222

(2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)；

22333322

(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)；

22333322

(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：

2222

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

333222

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a?b?c?ab?bc?ca， 则?ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：a?b?