数理统计第二章课后答案

第二章数理统计答案

习题课

1. 设总体X

N , 2 ， X1,

2

n 1i 1

,Xn 是其样本：

2

a) 求k使 k Xi 1 Xi 为 2的无偏估计量； b) 求k使 k Xi X为 的无偏估计量。

i 1

n

n 1

2 n 12 2

a) 解：E kE Xi 1 Xi k E Xi 1 Xi

i 1 i 1

E Xi 1 Xi D Xi 1 Xi E Xi 1 Xi

DXi 1 DXi 2

2

22

2

E k n 1 2 2

2 1

2n 1 当E k n 1 2 2= 2时，k 。

b) E kE Xi X k EXi X nkEXi X

i 1i 1

n

n

而

X1 X2 1n

Xi X X

i Xi

ni 1

Xi 1 n 1 Xi Xi

1

n

Xn

n 12 N 0,

n

EXi X

x2

2n 1 2 n

dx dx

x2

2 202n 1 n

te

t22

第二章数理统计答案

故E nk

时，

k

2. 设总体 X

对于容量为n的样本，求使得 N , 2 ，

A

f x; , 2 dx 0.05

《概率论与数理统计》习题及答案

第 二 章

1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.

解 设Ai?‘任取一件是i等品’ i?1,2,，3 所求概率为

P(A1|A3)?因为 A3?A 1?A2所以 P(A?P(2A?)3)?P(A1) P(AP(A)1A3)?1?故

P(A1|A3)? 60.P(A1A3)，

P(A3)0.?60.?3 0.962?. 93 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

解 设A?‘所取两件中有一件是不合格品’

Bi?‘所取两件中恰有i件不合格’ i?1,2. 则

A?B1?B2

112C4C6C4 P(A)?P(B1)?P(B2)??2， 2C10C10所求概率为

2P(B2)C41 P(B2|A)?. ?11?2P(A)C4C6?C45 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色

习题二

1. 设随机变量X的分布函数为

x?0,?0,?14,0?x?1,??F(x)??13,1?x?3,

?12,3?x?6,??x?6.?1,试求X的概率分布列及P(X?1)，P(X?1)，P(X?3)，P(X?3). 解: 随机变量X的分布列为 0 3 6 X 1 p 14 112 16 12 11； P(X?1)?P(0)?P(1)?F(1)?； 431112 P(X?3)?P(6)?； P(X?3)?P(3)?P(6)???.

2623 2. 设离散型随机变量X的分布函数为

x??1,?0,?a,?1?x?1,?F(x)??2

?3?a,1?x?2,?a?b,x?2.?且P(X?2)?12，试求a，b和X的分布列. 解：由分布函数的定义可知 a?b?1

又因为P(X?2)?12，则

7?2?1P(X?2)?P(X?2)?P(X?2)?F(2)?F(2?0)?a?b???a???2a?b?

6?3?2故 a?16， b?56.

3. 设随机变量X的分布函数为

x?1,?0,?F(x)??lnx,1?x?e,

?1,x?e.?则 P(X?1)?P(0)?试求P

统计学院 概率论与数理统计 补充题

《概率论与数理统计》第二单元补充题

一、 填空题：

1、函数f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数的充要条件是

1），2）

2、随机变量X的分布律为为__________

XP011321021，则X2的分布律为__________,2X+1的分布律51?，则随机变量,k?1,2,?Y?sinXk223、设离散型随机变量X的分布律为P{X?k}?的分布律为

4、设离散型随机变量X的分布律为 k=1, 2, 3,?，则c= .

5、设随机变量X的概率密度函数为

，

则P(0

6、随机变量X~b(10,)，则P ?X?0??7、随机变量X的分布律为P?X?k??则a?13，P?X?1??

a，（k?1,2,3,4,5)， 5

，F(2.5)?8、随机变量X服从(0,b)上的均匀分布，且P?1?X?3??1，则b?3，

9、已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则P?X?1??P?X?1??

二、选择题：

1、下列命题正确的是 。

（ A ）

1

数理统计习题答案

第一章

1.解：

()

()

()()()()()12

2

5

2

1

1

222221

9294103105106

100

5

111005

1

9210094100103100105100106100534

n

i

i n

i

i

i i X x n

S x

x

x

n ===++++=

=

==

-=

-??

=

-+-+-+-+-?

?=∑∑∑

2. 解：子样平均数 *

1

1

l

i i

i X m x n

==

∑

()11834061026

2

60

4

=

?

+?

+?+?=

子样方差 ()

2

2

*

1

1l

i

i

i S m x

x

n

==

-∑

()(

)

()

(

)2

2

2

2

1

814403

410642264

6018.67

??

=

?-+

?-+

?-+?

-

?

?

=

子样标准差

4.32

S == 3. 解：因为

i i x a y c

-=

所以 i i x a cy =+

11n

i i x x n ==

∑

()

1

1

11n

i i n

i i a c y n

n a c y n ===

+

?

?=+ ??

?

∑∑

1

n

i

i c a y n

a c y

==+

=+∑

所以 x a c y =+ 成立

()

2

2

1

1

n

x i

i s x x

n

==

-∑

()

()

()

2

2

12

2

1

11n

i

i i

n

i

i n

i

i a cy

a c y

n cy

c y

概率论与数理统计教程 沈恒范 课件

第二章 随机变量及其分布

《概率论与数理统计教程》 （第四版）

高等教育出版社 沈恒范 著

2-1

概率论与数理统计教程 沈恒范 课件

大纲要求

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 理解随机变量的概念。 理解离散型随机变量的分布律的概念与性质。 理解连续型随机变量概率密度的概念与性质。 理解随机变量分布函数的概念和性质。 会用分布律、概率密度、分布函数计算随机事件的概率。 掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布。 会求简单随机变量函数的概率分布。 了解二维随机变量的概念

掌握二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的 联合分布律及其性质，掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质、 并用他们计算有关事件的概率。 掌握随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算的 方法。 会求两个独立随机变量的简单函数的分布。 2-2

10. 11.

概率论与数理统计教程 沈恒范 课件

学 习 内 容

§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 §2.9 §2.10 §2.11 §2.12

2-3

随机变量的概念 离散随机变量 超几何分布· 二项分布· 泊松分布

习题二 一维随机变量及其分布

A组

一、填空题

5．三个大小相同的小球随机投入三个盒子中，设每个盒子至多可装三个球，则空盒子的数目X的分布律为 。

解 此系古典概型问题。X的所有可能的取值为0，1，2，据古典概型有

111m0C3C2C16P(X?0)???，

n3327111C3C218m1C3P(X?1)???， 3n327111C3C3m2C33P(X?2)???。

n3327（说明：每个球都有机会盒子投入三个盒子中的任何一个内，且机会是均等的，于是三个球

3投入三个盒子内的各种情形共有n?3种。当X?0，即不出现空盒子时，可视第一个球可

投入三个盒子中的任何一个内，第二个球可投入另外两个盒子中的任何一个内，而第三个球

111只能投入剩下的最后一个盒子内，故含X?0的情形只有m0?C3C2C1种。类似的，可得111111m1?C3C3C2，m2?C3C1C1）

B组

1．现有7件产品，其中一等品4件，二等品3件。从中任取3件，求3件中所含一等品数的概率分布。

解 设所取3件产品中所含一等品数为X，则X可能的取值为0，1，2，3 由古典概型知

312C3C4C112P{X?0}?3?， P{X?1}?33?，

C735C73521

习题1

???1.1 解：由题意p?x?u?1??0.95可得：

?????n??x?u?p????0.95

???????n????n?x?u???而

?~N?0,1?

????n?1?x?u?这可通过查N(0,1)分布表，p???0.95?(1?0.95)?0.975 ????2????n?n那么

??1.96

?n?1.96?

22

1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。

p0?x?800?????8000.0015e?0.0015xdx??e?0.0015x|??800?e?1.2

那么有6个元件，则所求的概率p??e?1.2??e?7.2

6 (2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时

p0?x?3000???030000.0015e?0.0015xdx??e?0.0015|03000?1?e?4.5

那么有6个元件，则所求的概率p??1?e?4.5?

6 1.3

解: (1) ??{(x1,x2,x3)|xk?0,1,2,?,k?1,2,3}

因为Xi~P(?),所以 P{X1?x1,X2?x2,X3?x3}

?P{X1?x}P{X?12x}P{X?23?x}3

习题1

???1.1 解：由题意p?x?u?1??0.95可得：

?????n??x?u?p????0.95

???????n????n?x?u???而

?~N?0,1?

????n?1?x?u?这可通过查N(0,1)分布表，p???0.95?(1?0.95)?0.975 ????2????n?n那么

??1.96

?n?1.96?

22

1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。

p0?x?800?????8000.0015e?0.0015xdx??e?0.0015x|??800?e?1.2

那么有6个元件，则所求的概率p??e?1.2??e?7.2

6 (2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时

p0?x?3000???030000.0015e?0.0015xdx??e?0.0015|03000?1?e?4.5

那么有6个元件，则所求的概率p??1?e?4.5?

6 1.3

解: (1) ??{(x1,x2,x3)|xk?0,1,2,?,k?1,2,3}

因为Xi~P(?),所以 P{X1?x1,X2?x2,X3?x3}

?P{X1?x}P{X?12x}P{X?23?x}3

概率论与数理统计及其应用习题解答

1 第1章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录

投掷的次数。

（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，

记录投掷的次数。

（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

（4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰

子，观察出现的各种结果。

解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；

（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。

2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___

___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，

375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，

875.0)(1)(___

--=AB P AB P ，

5.0)(625.0