开平方法和配方法

手动开平方

述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；

2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；

3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；

4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除 256，所得的最大整数是 4，即试商是4)；

5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3＋4)×4＝256，说明试商4就是平方根的第二位数)；

6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．

平方速算

一、求11～19 的平方

底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：17 × 17

17 ＋ 7 = 24-

7 × 7 = 49

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289

参阅乘法速算中的“

直接开平方法、配方法练习

姓名：

一、选择题

1. 方程x2?8x?5?0的左边配成一个完全平方式后得到的方程是（ ）

A．(x?6)2?11

B．(x?4)2?11

C．(x?4)2?21

Ｄ．(x?6)2?21

2. 用直接开平方法解方程(x?3)2?8，方程的根为（ ） A．x?3?22

B．x?3?22

C．x1?3?22，x2?3?22

D．x1?3?33，x2?3?23 3. 方程2x2?3x?1?0化为(x?a)2?b的形式，则正确的结果为（ ）

．(x?32)?16 B．2(x?33124)2?116 C．(x?4)2A?16

D． 以上都不对

4. 用配方法解一元二次方程x2+6x-11=0，则方程可变形为（ ） A．(x+3)2=2 B．(x-3)2=20 C．(x+3)2=20 D．(x-3)2

=2

25. 用配方法解方程x2?72x???2????x?????7?4?????过程中，括号内填（ ） 77499A．4 B．2 C．16 D．4

6. (x+m)2=n(n>0)的根是（

用近似公式开平方

我上初中的时候，计算器还没普及，那时每个学生一本《中学数学用表》，可以查到一个数平方根的4位有效数字。课本里有笔算开平方的方法，但要列竖式，感觉麻烦，没多久就忘了。高中的时候，知道有近似公式，但不知道怎么用。最近一个偶然的机会，发现一种简单的近似算法可以很方便地算出一个数平方根的4位有效数字，误差最大不会超过最后一位有效数字的一个点，在没有电脑、计算器的情况下，倒可以一用，我的感觉，比列竖式简单。

一、近似公式

1.如果C=a2±b，且b≤a，那么√C≈a±b/2a 一般使用这个公式即可达到四位有效数字的要求。这个公式计算出的结果比真实值略大，如果需要更精确的近似值，可以用下面的公式

2.如果C=a2±b，且b≤a，那么√C≈a±b/2a-b2/8a3

这个公式比第一个公式多减了b2/8a3，稍麻烦，但精确度可达六七位有效数字，在百度百科里，我称之为“精确开方公式”，一般只在需要更精确数值或某些特殊情况下使用。

下面介绍具体怎么用。 二、公式用法

1.四位数的平方根。也就是1000---9999的平方根 首先估计一下最接近方根的两位数。个位数是0的两位数的平方根容易很算出来，如702=490

初中数学电子教案

年级 七年级（下） 课题 12.2（2）平方根和开平方 日期 2009.2 知识与技能 无理数的大小的近似值，掌握实数大小的比较方法. 教学 目标 过程与方法 经历无理数的大小的近似值夹逼过程，体验用计算器求无理数的近似值或一个数的平方根的近似值. 情 感 态 度 与 价 值 观 教学重点 算. 教材 分析 教学难点 有理数可以比较大小，无理数也可以. 无理数的大小的近似值，求一个数的平方根的近似值运用符号正确表示不同实数的平方根 用不同的语言描述近似值，常用数的平方和2、3、5的相关链接 平方根. 1

教学内容 课前练习一 1、求下列各数的平方根： 课前练习二 2、求下列各式的值： 教学过程 教后记 课前练习三 3、求下列各式的值： 课内练习一 1、求值： 复习平方根概念，练习平方根运强化平方根的算。 特征。为求偶次 方根作准备。 学生将答案写在课堂练习本上， 教师点评纠错。 学生练习。 学生练习。注意当被开方数是小反复练习。 数时，如何确定结果的小数位数。 学生练习，复习运用的公式。 2

教学内容 教学过程 教后记 无统一

解一元二次方程（直接开平方法、配方法）

1. 用直接开平方法解下列方程：

2（1）x2?225； （2）y?144?0．

2. 解下列方程：

2（1）(x?1)?9； （2）(2x?1)?3；

2

（3）(6x?1)?25?0． （4）81(x?2)?16．

3. 用直接开平方法解下列方程：

（1）5(2y?1)?180； （2）

（3）6(x?2)?1； （4）(ax?c)?b(b≥0，a?0)

4. 填空

（1）x2?8x?（ ）?（x? ）．

2222221(3x?1)2?64； 42x?（ ）＝（x? ）2． 3b2（3）y2?y?（ ）＝（y? ）．

a（2）x2?5. 用适当的数（式）填空：

x2?3x? ?(x? ＝(x? )2； )2

．

x2?px? 3x2?2x?2?3(x? )2?

6. 用配方法解下列方程

1）．x2?x?1?0

直接开平方法解一元二次方程

城关中学 武利飞

一、教材及教学内容说明； 教材及教学内容说明； 二、教学的指导思想； 教学的指导思想； 教学目标的制定； 三、教学目标的制定； 教学方法、手段的选择； 四、教学方法、手段的选择； 五、教学过程的设计； 教学过程的设计； 六、教学设计及评价说明. 教学设计及评价说明

一、教材及教学内容说明： 教材及教学内容说明：我所讲的“直接开平方法解一元二次方程” 我所讲的“直接开平方法解一元二次方程” 属于北京义务 教育课改实验教材16册17章第2节内容， 教育课改实验教材16册17章第2节内容，共9课时。本节为一元 16 章第 课时。 二次方程解法的起始课。 二次方程解法的起始课。一元二次方程的求解是初中代数学习 中非常重要的一部分， 中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的 基础方法，它看似简单，却不容忽视。首先“直接开平方法解 基础方法，它看似简单，却不容忽视。首先“ 一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次，在一 一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次， 元二次不等式的求解及求二次函数与x 元二次不等式的求解及求二次函数与x轴交点等问题中都必须 应用一元二次方程的解法； 应用一

平方根和开平方

一、课本巩固练习 一、填空题

1、______数有两个平方根，它们的和为______；零的平方根是______； ______数没有平方根

2、0.16的平方根是_______ 3、

2581的算术平方根是_______ 4、81的正的平方根的平方根是_______ 5、81的平方根是_______

6、?25的平方根是________

2

7、??7?

??5??

的平方根是_________

8、?6是_____的一个平方根 9、_______的平方是0.04

9、如果x2=1.96，那么x=________ 10、64?16的平方根是_______

11、一个正方形的面积是5cm2

，这个正方形的边长是______cm 12、如果x=9，那么x=_______ 13、?3???2的算术平方根是______

14、

?x?6?2?5，则x=_________

15、正数k的两个平方根的和是_________，积是________ 二、求下列各数的平方根，注意书写规范

1、16 2、0.01

平方根和开平方

一、课本巩固练习 一、填空题

1、______数有两个平方根，它们的和为______；零的平方根是______； ______数没有平方根

2、0.16的平方根是_______ 3、

2581的算术平方根是_______ 4、81的正的平方根的平方根是_______ 5、81的平方根是_______

6、?25的平方根是________

2

7、??7?

??5??

的平方根是_________

8、?6是_____的一个平方根 9、_______的平方是0.04

9、如果x2=1.96，那么x=________ 10、64?16的平方根是_______

11、一个正方形的面积是5cm2

，这个正方形的边长是______cm 12、如果x=9，那么x=_______ 13、?3???2的算术平方根是______

14、

?x?6?2?5，则x=_________

15、正数k的两个平方根的和是_________，积是________ 二、求下列各数的平方根，注意书写规范

1、16 2、0.01

掌握一种解题的基本方法。

高中数学解题基本方法——配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab； 2222222

b22a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）； 222222

a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝

22222221222[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)] 22a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；

x＋2211

21.2.1 配方法

第1课时 直接开平方法

教学内容

运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．

教学目标

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．

提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然

后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．

重难点关键

1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学

思想．

2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形

如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题

问题1．填空

（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=

（x+______）2．

问题2．如图,在△ABC 中,∠B=90°,点P 从点B 开始,沿AB 边向点B 以1cm/s?的速度移动,点Q 从点B 开始,沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,?P 、Q 都

从B