函数求参数值或取值范围

导数的应用——求函数中参数的取值范围

一、教学目标及要求：

1.掌握求函数中参数的常用方法

2.熟练解决题中恒成立、存在、任意等问题 3.了解相关数学思想和方法 二、主要命题方式：

方式一：给出函数的单调性，求函数的解析式中的参数取值范围

方式二：已知某个不等式在给定区间上恒成立，求解析式中的参数取值范围

方式三：已知函数的极值点、极值、极值点的个数。求函数解析式中参数的取值范围 三、典例解析

命题方式一：给出函数的单调性，求函数的解析式中的参数取值范围 例1：已知函数f(x)=(x2+bx+b) 1?2x（b?R） （1）当b=4时 求f(x)的极值。 （2）若f(x)在区间（0，

方法总结：

1）上单调递增，求b的取值范围。 3命题方式二：已知某个不等式在给定区间上恒成立， 求解析式中的参数取值范围

例2：已知函数f(x)=ex-ax，其中a>0，若对一切x?R、 f(x)≥1恒成立，求a的取值范围。

方法总结：

命题方式三：已知函数的极值点、极值、极值点的个数。求函数解析式中参数的取值范围

ex2例3.设函数f(x)?2?k(?lnx)(k为常数)xx

利用导数求参数的取值范围

一．已知函数单调性，求参数的取值范围

类型1．参数放在函数表达式上

例１． 设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．

的取值范围

求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.

,3)()1(-∞=

二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围

类型１．参数放在不等式上

例3.已知时都取得极值与在13

2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f

（1）求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．

（2）若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． __________)(]2,1[,522)(.32

3

的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=

类型2．参数放在区间上

例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=2

35)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值.

（1）求)(x f 的解析式.（2）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.

分析:(1)935)(23++-=x x x x f ]

3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,3

1(9

解析几何中求参数取值范围的方法

http://www.TL100.com 作者：佚名 文章来源：天利淘题 更新时间：2010/3/20 8:56:02 分享

近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 ,

专题：抛物线与线段有交点时，求某一参数的取值范围

涉及的主要知识点：

（1）点在抛物线内满足的条件（不等式）、点在抛物线外满足的条件（不等式）。要根据抛物线的开口方向，数形结合；

（2）抛物线与直线相切满足的条件；

（3）抛物线与直线联立解方程，有时会含有参数； （4）直线的平移与对称；

（5）两直线垂直时，k1×k2=-1；及两直线平行时，k1=k2 （6）直角坐标系中线段的中点坐标公式

基本方法：多画图，数形结合思想及分类讨论思想的应用

例1、已知在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2）、B（1，0），现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，点C为线段AB的中点，连接CD

（1）过点O、C、D的抛物线的解析式是

2

（2）若抛物线y=ax+x与线段CD有公共点，则a的取值范围是

解析：（1）略解。过点D作DE⊥x轴，然后根据K型图知D（3，1），由中点坐标公式得C（易得y=-

1，1） 2227x+x 332

（2）① 当a＞0时，抛物线y

抛物线与线段有交点时,求某一参数的取值范围(专题复习) 1 专题：抛物线与线段有交点时，求某一参数的取值范围 涉及的主要知识点： （1）点在抛物线内满足的条件（不等式）、点在抛物线外满足的条件（不等式）。要根据抛物线的开口方向，数形结合；

（2）抛物线与直线相切满足的条件；

（3）抛物线与直线联立解方程，有时会含有参数；

（4）直线的平移与对称；

（5）两直线垂直时，k 1×k 2=-1；及两直线平行时，k 1=k 2

（6）直角坐标系中线段的中点坐标公式

基本方法：多画图，数形结合思想及分类讨论思想的应用

例1、已知在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，2）、B （1，0），现将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BD ，点C 为线段AB 的中点，连接CD

（1）过点O 、C 、D 的抛物线的解析式是

（2）若抛物线y=ax 2+x 与线段CD 有公共点，则a 的取值范围是

解析：（1）略解。过点D 作DE ⊥x 轴，然后根据K 型图知D （3，1），由中点坐标公式得C （

21，1） 易得y=-32x 2+3

7x （2）① 当a ＞0时，抛物线y=ax 2+x 与x 轴的交点坐标为（-a

1，0）、（0，0），抛物线只可能与线段CD 有

训练例题

1. 若集合S?????y|y???1?x??1,x?R???,T??y|y?log??2??2(x?1),x??1?，则S?T等于

?A．{0} B．{y|y?0} C．S D．T 2. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是（ ）

1A.y?52?x B.y?(12)1?x C.y?1?2x D. y?12x?1 3. 定义在R上的函数y?f(x)的值域为［a，b］,则f(x?1)的值域为（ ）

A.［a,b］ B.［a+1,b+1］ C.［a－1,b－1］ D.无法确定

4. 函数y =

2x?1的定义域是(-?，1)?[2,5]，则其值域是（ ） A.(-?,0)?[112,2] B.(-?,2) C.(-?,2)?[2,+?] D.(0,+?)

5. 函数y?lg[x2?(k?3)x?4]的值域为R，则实数k的取值范围是（ ） A．?7?k?1 B．k??7或k?1 C．?1?k?7 D．k??7或k?1 6. 已知函数f(x)满足2f(x)?f(11x

电学取值范围计算求不损坏电路元件时， 1.变阻器阻值的变化范围， 2.电路中电流变化范围， 3.用电器两端电压变化范围， 4.用电器功率变化范围， 5.电路总功率变化范围。

1.串联电路取值范围计算； 2.并联电路取值范围计算。

串联电路取值范围计算S A aR1 V

P R2

b

在如图所示的电路中，电源电压为9V,定值电阻 R1=10Ω,电流表的量程为0~0.6A,滑动变阻器R2标有 “20Ω 1A”字样。求在不损坏各电路元件的情况下： 1. 滑动变阻器R2的调节范围是多少？

S A

aR1

P R2

b

在如图所示的电路中，电源电压为9V,定值电阻 R1=10Ω,电流表的量程为0~0.6A,滑动变阻器R2标有 “20Ω 1A”字样。求在不损坏各电路元件的情况下： 2. 电路中电流大小的变化范围是多少？

S A

aR1

P R2

b

在如图所示的电路中，电源电压为9V,定值电阻 R1=10Ω,电流表的量程为0~0.6A,滑动变阻器R2标有 “20Ω 1A”字样。求在不损坏各电路元件的情况下 ， 3. 电阻R1两端电压的变化范围值是多少？

S A

aR1

P R2

b

在如图所示的电路中，电源电压为9V,定值电阻 R1=10Ω,电流表的量程为0~0.6A,滑动变阻器R2标有 “2

求函数值域的几种方法

方法1:直接法(观察法)适用于较简单的函数，从解析式观察，利用

x 0, x 0, x 0 等，直接得出它的值域。2

例1、求下列函数的值域。(1) y x 72

(2) y 2 x 1, x 1, 2,3, 4,5 (3) y 3x 2

方法2、配方法适用于二次函数，同时要注意闭区间内的值域。 例2、求下列函数的值域。

(1) f ( x) x 4 x 12

(2) f ( x) x x 1

方法3、换元法对形如 y ax b cx d 型的函数均可用 “换元法”化为二次函数在区间上的值域问题求 解。 例3、求下列函数的值域。

(1) y x 1 x (2) y x x 1

方法4、分离常数法适用于分式型的函数。

例4、求下列函数的值域。

2x 1 (1) y x 3 2 2x 1 (2) y 2 x 1

方法5、判别式法能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零

导数综合练习二利用导数求参数范围（7.7）

1、已知函数f x xlnx.

（1）求函数f x 的极值点；

（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线y f x 相切，求直线l的方程；

（3）设函数g x f x a x 1 ，其中a R，求函数g x 在 1,e 上的最小值.

（其中e为自然对数的底数）

2．已知{ EMBED Equation.3 |a为常数，，函数，．（其中是自然对数的底数）

（Ⅰ）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；

（Ⅱ）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．

3． 已知函数在处的切线斜率为零．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；

(Ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.

4.．设函数．

（Ⅰ）当时，判断函数的零点的个数，并且说明理由；

（Ⅱ）若对所有，都有，求正数的取值范围．

导数综合练习二利用导数求参数范围

1. 解：（1）f x lnx 1,x＞0.………………………………………………………1分 而f x ＞0 lnx+1＞0 x＞,f x ＜0 lnx 1＜0 0＜x＜,

所以f x 在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增.………………3分 1e1e 1

e 1 e

所以x

灵宝三高赛讲教案

已知三角函数值求角（一）

灵宝三高 刘军

教学目标：1、会由已知三角函数值求角；

2、理解反正弦、反余弦的意义，会用反三角符号表示角；

3、培养学生的类比、转化与化归的数学思想；数学的应用意识、逻辑推理能力。

重点：已知三角函数值求角

难点：1、根据［0,2π］范围已知三角函数值求角； 2、对反正弦、反余弦概念及符号的正确认识；

3、用arcsinx、arccosx表示所求角。 新课引入： sin

?4=_______,sin

5?=_______,sin7?=________. 3?=_______,sin444结论：已知角求三角函数值值唯一，这些角都与锐角

?4有关。

已知三角函数值求角则角的个数能确定吗？怎样确定？由三角函数值求角有那些步骤？

新课讲授：（一）典型例题 例1、(1)已知sinx=

2，且x∈[-?，?],求x;

2222，且x∈[0，2?],求x的取值集合。 2???2，可知符合条件的角有且，]上是增函数和sin=4222 (2)已知sinx=

解：（1）由正弦函数在区间[-

?，于是x=?。

442﹥0，所以x是第一或第二象限角。由正弦函数的单调性和sin(π﹣

（2）因为sinx