凸函数判别方法

毕 业 论 文（设计）

论文（设计）题目： 凸函数的判别和应用

系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2004104509 姓 名： 林 庆 指导教师： 娄祖安 时 间： 2008年5月25日

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河 池 学 院

毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告

系别: 数学系 专业:数学与应用数学 论文 凸函数的判别和应用 题目 选题意义 凸函数是数学分析中的一个重要概念，它在优化理论，判定函数极值，研究函数的图象和证明不等式等方面都有广泛的应用。在初等数学的证明里，有许多不等式的证明如果用初等数学的方法去解决会相当的困难，有的甚至不能解决，但用凸函数的知识去证明可使问题轻松地解决。所以研究凸函数有一定的实用价值。 学生姓名 林庆 学 号 2004104509 研究综述(前人的研究现状及进展情况) ??lder,Jensen和 Minkowski的工凸函数理论的奠基工作可以追溯到20世纪初前后

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

题目： 凸函数与极值

院（系） 理学院 专 业 年 级 姓 名 指导教师

数学与应用数学 2009级 哦哦 啊啊啊

学 号 09031432 职 称 副教授

2013年 月 日

毕业论文（设计）评语及成绩

论文类型：理论研究型 评语： 该论文的选题有一定的理论价值。本文主要观点正确，选题有一定的新意，论点正确、论据充分、结构严谨、文理通顺、条理清晰、逻辑性强、写作格式规范、图表正确、清晰。所采用的资料可信度、支撑度高。全文理论结合实际，对应用凸函数的性质求解极值问题做出了全面而深刻的分析和总结，反映了该生较扎实的理论基础。本文对提高学生解题能力、培养创新能力具有一定的指导作用。符合本科毕业论文的规范要求。 可以提交答辩。 指导教师（签字） 年 月 日 评语及评分 成绩： 答辩委员会主席（签字） 年 月 日 院（系）学位评定委员会意见： 签字： 年 月 日 学校学位评定委员会意见： 签字： 年 月 日

本科生毕业论文

题 目

凸函数的几个等价定义

系 别

班 级

姓 名 学 号

答辩时间

学院

目 录

摘要……………………………………………………………………………………4 1凸函数的定义………………………………………………………………………6 2凸函数的等价定义和性质…………………………………………………………6 2.1凸函数的等价定义………………………………………………………………6 2.2凸函数的性质……………………………………………………………………7 3凸函数等价定义和性质的应用举例………………………………………………10 3.1一些集合上的凸函数举例………………………………………………………10 3.2运用凸函数等价定义证明不等式………………………………………………11 总结……………………………………………………………………………………16 参考文献………………………………………………………………………………17 谢辞……………………………………………………………………………………18

凸函数的几个等价定义

摘 要

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有

凸函数性质及其应用

摘 要 本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.

关键词 凸函数的积分性质;凸函数的不等式

Abstract In this article，first we list several kind of definitions for convex functions，then we give several important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.

Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions

凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领

一元函数连续性的判别方法探讨

摘要

连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。 函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.

关键词 连续函数 ；极限 ；有界函数 ； 一致连续 ；非一致连续

1. 引言

我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数f(x)在某区间内连续，是指函数f(x)在该区间内每一点都连续，它反映函数f(x)在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数f(x)在给定

本 科 生 毕 业 论 文

凸函数及其应用

目 录

摘要................................................................................................................................ I Abstract ......................................................................................................................... II 第一章 绪论.................................................................................................................. 1

1.1凸函数的产生................................................................................................. 1 1.

本 科 生 毕 业 论 文

凸函数及其应用

目 录

摘要................................................................................................................................ I Abstract ......................................................................................................................... II 第一章 绪论.................................................................................................................. 1

1.1凸函数的产生................................................................................................. 1 1.

凸函数和琴生不等式

1..(02成都模拟试题)若函数y?sinx在区间(0,?)上是凸函数，那么在?ABC中，sinA?sinB?sinC的最大值为A

32313 B C D

2222分析：

?y?sinx在(0,?)上是凹函数，则：1A?B?C3(sinA?sinB?sinC)?sin()?sin60??33233sinA?sinB?sinC?2当且仅当sinA?sinB?sinC时，即A?B?C??3时，取等号；2.若a1,a2,?an是一组实数，且a1?a2???an?k(k为定值)，试求：a1?a2???an的最小值分析：?f(x)?x2在(??,??)上是凸函数a1?a2???an2k21222?(a1?a2???an)?()?2nnnk2222?a1?a2???an?n当且仅当a1?a2???an时，取等号2223.已知xi?0,(i?1,2,?,n)，n?2,x1?x2???xn?1，求证：(1?1n11)?(1?)n???(1?)n?n(n?1)nx1x2xn1111111证：?[(1?)n?(1?)n???(1?)n]?n(1?)n(1?)n?(1?)nnx1x2xnx1x

中文摘要

凸函数的性质及其应用研究

摘 要

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制学等学科的理论基础和有力工具。凸函数的许多重要性质在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是它的局限性也很明显，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。考虑到凸函数的连续性，可导性及凸函数在不等式证明方面的应用和意义，本文结合现有文献给出了凸函数12种定义，总结了凸函数常用的性质;由于凸函数的定义是由不等式给出的，基于此，凸函数广泛应用于对某些特殊不等式的证明，本文探讨了它在证明Jensen不等式、一般不等式 、Cauchy不等式、Holder不等式中的重要应用，并讨论了Jensen不等式，Cauchy不等式，Holder不等式在证明其他不等式的应用。

关键词：凸函数，定义，性质，应用，不等式

第 I页 共III页

英文摘要

Properties and Applications of Convex Function

Abstract

Convex function is a kind of important

函数拐点的判别与求法探讨

摘要：本文主要通过一些典型例题对函数拐点的判别与求法进行了探讨。 包 括利用定义、极值定理、二阶导数变号法、函数奇偶特性等方法进行判别和求之。

关键词：函数；拐点；极值；导数

定义：设函数在区间上连续，在内可导（或导数为无穷大），则曲线凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。下面笔者就对函数拐点的判别与求法作一介绍。

一、利用定义求之

设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则可按下述步骤判定并求出曲线的拐点：1、求；2、令，求出该方程在内的所有实根；3、对于2中求出的每个实根检查在左、右两侧邻近的符号，如果在左、右两侧邻近分别保持一定符号，那么两侧符号相反时，是拐点；两侧符号相同时，不是拐点。尤其是函数在点连续、存在、不存在的点仍可能是拐点，或者为无穷大的点也可能是拐点。

例1：求下列曲线的拐点坐标

1）；2） ；

解：1） 在内连续，

因为 ，

故无零点，不存在。

当时，；当时，；

故拐点坐标为。

2） === ；

===

令 ，得，当 时， 不存在。

当 从或1左右邻近变动时， 变号，故在 处有拐点 。因为由参数方程确定的函数的定义域为， 为曲线的端点，故不是拐点。

例