初中数学位似图形专题

图形与变换

一．考点归纳：

轴对称

对称 平移

考点

旋转 相似 折叠 图形的运动

位似

主要考查 中心对称

性质 作图 应用

二．考纲要求：

1. 图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转 考试内容：轴对称、平移、旋转 考试要求：

(1) 通过具体的实例认识轴对称、平移及旋转，探索他们的基本性质；

(2) 能够根据要求做出简单的平面图形经过轴对称、平移及旋转后的图形，能做出简单

的平面图形进过一次或两次轴对称后的图形；

(3) 探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称、

平移及旋转的性质及其相关性质；

(4) 利用轴对称、平移及旋转及其组合进行图案设计，认识和欣赏轴对称、平移及旋转

在现实生活中的应用。

2. 图形的相似 考试内容：

比例的基本性质，线段的比，成比例线段，图形的相似及性质，三角形相似的条件，图形的位似，锐角三角函数，30°、45°、60°角的三角函数值。（锐角三角函数放在三角形中讲） 考试要求：

(1) 了解比例的基本性质，了解线段的比，成比例线段，通过实例了解黄金分割。 (2) 通过实例认识图形的相似，了解相似的性质，知道形似多边形的对应角相等，对应

边成比例，面积的比等于相似比的平方；

(3)

孙晓燕

下列图形中，每个图中的 四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分 别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形 各对应点的连线有什么特征？

观察与思考

如果两个相似图形的每组对应点 所在的直线都交于一点,那么这样 的两个图形叫做位似图形, 这个 交点叫做位似中心, 这时两个相 似图形的相似比又叫做它们的位 似比.

观察下图中的五个图，回答下列问题： (1)在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有 什么位置关系？ 位置不一样，位似中心就不一样. (2)在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位 似中心的距离.它们的比与位似比有什么关系？再换一对 相等. 对应点试一试.

位似图形的对应点和位似中心在 同一条直线上,它们到位似中心的 距离之比等于相似比.

如图，D,E分别AB,AC上的点. (1)如果DE∥BC,那么 ADE和 ABC是位似图形吗？为什么？ B

A

D

E C

解：(1) ADE和 ABC是位似图形.理由是：

因为DE∥BC,所以∠ADE和=∠B, ∠AED =∠C.所以 ADE∽ ABC.又因为 点A是 ADE和 ABC的公共点，点D 和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线 BD与CE交于点A,所以 ADE和 A

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观察与思考

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练一练

请指出下列图形那些是位似图形？

P

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练一练

请指出下列图形那些是位似图形？

P

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做一做

如何将△ ABC的三边缩小为原来的1/2。B

E C F O D A

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练一练

1、任意画一个三角形，用上述方法试一试。 2、请任意画一个三角形或四边形,并将它的边长放大为原 来的二倍。 E

B F C O A D

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能力的源泉

实践的“享受”

E B O C A F D E D F O C

B

A

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思 考 分 析

E′ A B C D G F E●

D′

PG′

F′ A′

C′

B′

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想一想,做一做 想一想 做一做

A′ B′ C′ G′ B F′ C D D′ E′

A G F E●

P

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回顾Ay4 3 2 1

思考

y8 7 6 5 4 3

F

C B1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 1

H G1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

O

0

x

-1 -2

D E

O0 -1-2 -3 -4

x

L(图2)

M

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y C(0,4) B(6,4)(3,2) (—3,0) (0,2)

第九章 相似图形

一、基础知识梳理

（一）比例线段

1．在

ac?中，a，c叫比例前项，b，d叫比例后项，a，d叫比例外项，b，c叫比bd例内项，?d?叫a、b、c的第四比例项．

ac??ad=bc， bdab 3．? ?b2=ac，b叫做a、c的比例中项．

bc 2．

4．黄金分割：线段AC为线段AB和线段BC的比例中项．C点位于线段AB的处，称为黄金分割点．

5?12acma?c?????ma?=?=（b+d+?+n≠0），那么?． bdb?d?????nbnaca?bc?d? 6．如果?，那么

bdbb 5．如果

（二）相似三角形

1．定义

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形． 2．相似比（相似系数） 相似三角形对应边的比． 3．相似三角形的识别

（1）两角对应相等，两三角形相似．

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． （3）三边对应成比例，两三角形相似．

（4）?如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似． （5）几种特殊三角形相似的识别：

如何学好位似图形

如何学好位似图形

位似图形是以相似形为基础，是研究图形的放大或缩小的重要理论，那么如何才能学好位似图形呢？笔者以为应从以下几个方面入手：

一、正确理解位似图形的概念及其性质

位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比叫做位似比.

由此，我们要判断两个图形是位似图形可以从以下两个方面进行：一是这两个图形是相似的；二是这两个图形对应点的连线交于一点.同时符合这两个条件的两个图形才是是位似图形，否则就不是位似图形.

位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 由此，我们可以知道，位似与相似既有联系又有区别，即相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点；如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此位似是相似的特殊情况；利用图形位似，可以把一个图形放大或缩小.

二、注意掌握位似变换中对应点的坐标变化规律

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.

由此可知，以坐标原点为位

如何学好位似图形

如何学好位似图形

位似图形是以相似形为基础，是研究图形的放大或缩小的重要理论，那么如何才能学好位似图形呢？笔者以为应从以下几个方面入手：

一、正确理解位似图形的概念及其性质

位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比叫做位似比.

由此，我们要判断两个图形是位似图形可以从以下两个方面进行：一是这两个图形是相似的；二是这两个图形对应点的连线交于一点.同时符合这两个条件的两个图形才是是位似图形，否则就不是位似图形.

位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 由此，我们可以知道，位似与相似既有联系又有区别，即相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点；如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此位似是相似的特殊情况；利用图形位似，可以把一个图形放大或缩小.

二、注意掌握位似变换中对应点的坐标变化规律

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.

由此可知，以坐标原点为位

中考数学图形的相似与位似试题汇编

1. (福建省德化县)如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”

上一个“顶点”的坐标为(a，b)，那么大“鱼”上对 应“顶点”的坐标为 （ ） Ａ、(?a，?2b)

Ｂ、(?2a，?b) Ｄ、(?2b，?2a)

Ｃ、(?2a，?2b)

【关键词】位似中心是原点的坐标之间的关系（若相似比为k, 则坐标之比同侧为k异侧为-k) 【答案】C

2．（江苏泰州，）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【答案】B

【关键词】相似三角形的判定 3.（宁德市）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．

【答案4】

1.（台湾省）图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置，其中DG与EF

交于H点。若?ABC=?EFC=70?，?ACB=60?，?DGB=40?，则下

25.7 相似多边形和图形的位似

位似图形的探究1如何探究这两个相似图形之间的内在关系呢？

对应点的连线相交于一点

除对应点连线外，我们还可以怎样去探究？

对应边互相平行

位似图形的探究2对类似的这两个相似图形，同学们知道怎样 去探究了吗？

对应点连线相交于一点

位似图形的探究2根据经验，我们从对应边的位置关系去探究。

对应边平行

位似图形的探究3

再探究这两个相似图形，对同学们来说已经不 是难事了，我们完全有能力自己去探究！

对应点连线相交于一点

对应边平行

定义及性质：如果两个相似图形的 对应点连线相交于一点， 并且对应边互相平行， 这样的两个图形叫做位似图形， 这个交点叫做位似中心。

对应点连线相交于一点对应边平行知道了位似图形的特征，如何按要求去画位似 图形呢？

二、位似图形的画法以0为位似中心把△ABC 在同侧缩小为原来的一半A’

A

B

步骤： B’ C 1.画出ABC O C’ 2.选取中心点 3.连结OA、OB、OC 4.在OA、OB、OC上分别选取A’、B’、C’, 使OA’/OA=1/2、OB’/OB=1/2、OC’/OC=1/2 5.连结A’B’C’,所连成的图形就是所求作图形

练习：如图：以O为位似中心， 将△ABC放大为原来的两倍B' C'' A'' O

中考数学培优分类解析（图形的相似与位似）

28.1 图形的相似

15．（2012北京，15，5）已知【解析】

【答案】设a=2k,b=3k，原式=

ab5a?2b?≠0，求代数式2?a?2b?的值． 2?23a?4b5a?2b5a?2b10k?6k4k1?(a?2b)????

(a?2b)(a?2b)a?2b2k?6k8k2【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。

28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质

（2011山东省潍坊市，题号8，分值3）8、已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）

A．

5?15?1 B． C． 223

D．2

考点：多边形的相似、一元二次方程的解法

解答：根据已知得四边形ABEF为正方形。因为四边形EFDC与矩形ABCD相似 所以DF:EF=AB:BC 即 （AD-1）:1=1:AD 整理得：AD?AD?1?0,解得AD?21?5 2由于AD为正，得到AD=

5?1，本题正确答案是B. 2点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。

28.3 相似三

第1讲 图形的相似与位似

1、（2013?新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ） 2 A．B． 2.5或3.5 C． 3.5或4.5 D． 2或3.5或4.5

2、（2013?内江）如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ） A．2：5 B． 2：3 C． 3：5 D． 3：2 3、（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）

A．a

B．

C．

D．

4、（2013?宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）

A．（6，0） B． （6，3） C． （6，5） D． （4，2） 5、（9-2图