指数函数与对数函数知识点总结

关于 高中基本函数 的教学讲义

预计课时：2 学生姓名： 指导教师：

（一）指数函数

指数：

(1) 规定：

① a0＝ (a≠0)； ② a-p＝ ； ③ a? n a m ( a ? 0 , m . (2) 运算性质：

rsr?sa① a?a? a ( ? 0 , (a>0, r、s?Q) rsr?sa)?,② ( a ( a ? 0 (a>0, r、s?Q) rrra?b)?bb?0,r、s?Q) ③ ( a ? ( a ? 0 , (a>0, r

mn注：上述性质对r、s?R均适用.

2．指数函数：

① 定义：函数y=a（a>0,a≠0）称为指数函数 1) 函数的定义域为 ； 2) 函数的值域为 ；

3) 当________时函数为x增大y减小，当_______时为x增大y增大函数.

② 函数图像：

a>1 0

4433221111-4-20-1246-4-2 0-1246 定义域 R 值域y＞0 在R上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都

适用于高一应届学习及高三一轮复习

指数函数和对数函数知识点总结及练习题

一.指数函数

（一）指数及指数幂的运算

a am ar as ar s (ar)s ars (ab)r arbr

（二）指数函数及其性质

1.指数函数的概念：一般地，形如y a（a 0且a 1）叫做指数函数。

x

mn

二.对数函数

（一）对数

1.对数的概念：一般地，如果a N（a 0且a 1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其中a叫做底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化

幂值 真数

x

ax log

指数 对数

适用于高一应届学习及高三一轮复习

3.两个重要对数

（1）常用对数：以10为底的对数lgN

（2）自然对数：以无理数e 2.71828 为底的对数lnN

（二）对数的运算性质（a 0且a 1，M 0,N 0） ①logaM logaN logaMN ②logaM logaN loga③logaM nlogaM ④换底公式：logab 关于换底公式的重要结论：①logamb

（三）对数函数

1.对数函数的概念：形如y logax（a

§3.2.3 指数函数与对数函数的关系课前预习案

一、认真阅读课本，填写以下内容： 1.反函数的定义：

当一个函数是 时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 ，而把这个函数的自变量作为新的函数的 ，我们称这两个函数互为 .

2.对数函数y?logax与 互为反函数，它们的图象关于直线 对称.

3.函数f(x)的反函数通常用 表示. 二、预习自测：

1. 求下列函数的反函数（不必写定义域）.

（1）y?ex； （2）y?lgx； （3）y?log2(x?1).

2.函数f(x)?log2x?2，则f?1(x)的定义域是（ ）

A.R B.[?2,??) C. [1,??) D.(0,1) 3.函数f(x)?log2(x?1)?1，则f?1(1)等于（ ）

A. 1 B. 2 C. 3

指数函数与对数函数复习课

指数函数与对数函数复习课

复习目标：

1．整理指数函数和对数函数的概念，图象和性质

2．能够运用指数函数和对数函数的性质解决一些简单问题自主复习

请在下面空白地方填写自己整理的指数函数和对数函数的知识点和题型

知识归纳

1．概念

________________________________________叫做指数函数。

_____________________________________对数，记作_____________，其中a叫做对数的________，N叫做___________。

______________________________叫做常用对数，记为__________。

______________________________叫做自然对数，记为__________,e=________。 ________________________________________叫做对数函数。

指数函数与对数函数复习课

①ax N x logaN(a 0,a 1) 指数运算与对数运算互为逆运算

②指数函数y ax(a 0,a 1)与对数函数y logax(a 0,a 1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称

题型讲解

基本初等函数知识点

1.指数

(1)n次方根的定义：

若x?a，则称x为a的n次方根，“nn”是方根的记号。

在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根。 (2)方根的性质： ①

?a?nn?a

②当n是奇数时，nan?a；当n是偶数时，nan?|a|??(3)分数指数幂的意义：

mnmn?a(a?0)

??a(a?0)a?a(a?0,m,n?N,n?1)，a(4)实数指数幂的运算性质：

nm*??1amn?1nam(a?0,m,n?N*,n?1)

(1)ar?as?_______(a?0,r,s?R) (2a)r?as?_____a_?_(rs?0R,,

__b?(,r?0R(3)?ar??_______(a?0,r,s?R) (4) ,?ab??______asr)2.对数

(1)对数的定义：

x一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以记作：x?logaN．a为底．．N的对数，（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式） 常用对数：以10为底的对数______；

自然对数：以无理数e?2.718

指数函数与对数函数总结与练习

一、指数的性质 （一）整数指数幂

0??a???a1．整数指数幂概念： a?a a?1?a?0? (n?N)?????n个an a?n?1an?a?0,n?N?

?2．整数指数幂的运算性质：（1）a?a?anmnm?n?m,n?Z? （2）?am??amn?m,n?Z?

nn（3）?ab??a?bn?n?Z?

n其中a?a?a?amnm?n?am?nna?a?， ????a?b?1??an?b?n?n．

b?b?n3．a的n次方根的概念

一般地，如果一个数的n次方等于a?n?1,n?N??，那么这个数叫做a的n次方根， 即： 若xn?a，则x叫做a的n次方根， ?n?1,n?N??

说明：①若n是奇数，则a的n次方根记作na； 若a?0则na?0，若a?o则na?0；

②若n是偶数，且a?0则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：

?na；（例如：8的平方根?8??22 16的4次方根?416??2）

③若n是偶数，且a?0则na没意义，即负数没有偶次方根； ④?0n?0?n?1,n?N?? ∴n0?0

指数函数和对数函数·换底公式·例题

例1-6-38 log34·log48为

[ ]

·

log8m=log416

，

则

m

解 B 由已知有

[ ]

A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0 C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0 解 A 由已知不等式得

故选A．

[ ]

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故选A．

[ ]

A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，

2)

2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，

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[ ]

A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞q C．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞

n

例1-6-43 (1)若logac+logbc=0(c≠0)，则ab+c-abc=____； (2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．

但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．

例1-6-44 函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是___

指数函数、对数函数图像交点问题

反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产生的，函数的反函数，本身也是一个函数。在实际教学过程中，我们除了从定义的角度把反函数讲解清晰之外，譬如：从映射的角度可知,函数y=f(x)是定义域集合A到值域C的映射,它的反函数y=f-1（x）是集合C到集合A的映射，再结合函数的定义可知，只有一一映射的函数才存在反函数。我们还应该把握从抽象到直观，再从直观到抽象相结合的传授知识的基本原则，给学生的一个形象、直观的认识。正是基于这个原因，中学数学教材中引进了作为一种重要的函数和互为反函数的典型例子的指数函数、对数函数。

一、分析反函数的定义可知，原函数与反函数图像如果有交点，它们必然关于y=x对称；若原函数与直线y=x有交点，则反函数图像也必与y=x相交且交点重合。

为了验证上面的结论，我分别给了学生以下几个例子 （1）函数y(1,1)，且在y=x?2x?1与它的反函数y?12x?12图像只有一个交点

上。

1（2）函数

y?x3与它的反函数

y?x3的图像有三个交点

(?1,?1)、(0,0)、(1,1)，且都在y=x上。

（3）函数y?1x的反函数是它自身，故反比例函数与它的反函数

图像有无数个交点，其中有两

让更多的孩子得到更好的教育

指数函数、对数函数、幂函数综合 A

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点。 3．理解对数的概念及其运算性质。

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.

5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数y?ax与对数函数y?logax互为反函数(a＞0，a≠1).

学习策略：

?

深刻理解指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化．在这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现．

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上

1 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

（2）．两个重要公式

①??

??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；

②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:0,,1)m

n a a m n N n *=>∈>、且;

②正数的负分数指数幂: 1

0,,1)m

n m

n a a m n N n a -*==>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );

②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q );

③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );.

3．指数函数的图象与性质

n 为奇数 n 为偶数

2

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之