数学建模拟合方法

插值与拟合方法

数学建模社团活动

主讲人：赵振刚

第一章 插值与拟合方法一般插值方法； 样条函数与样条插值方法； 磨光法与B样条函数； 最小二乘拟合方法； 应用案例分析与应用练习.

2

2013年11月24日

一、一般插值方法1.一般问题的提出实际中不知道函数 y f (x) 的具体表达式， 由实验 测量对于 x xi 有值 y yi (i 0,1,2, , n) ,寻求另一 函数 (x) 使满足： ( x i ) yi f ( xi ) 。此问题称为插值问题， 并称 (x) 为 f (x) 的插值 函数； x 0 , x1 , x2 , , xn 称为插值节点；

( x i ) yi (i 0,1,2, , n) 称 为 插 值 条 件 ， 即 ( x i ) yi f ( xi ) ,且 ( x) f ( x) 。3 2013年11月24日

一、一般插值方法2. Lagrange插值公式设函数 y f (x) 在 n 1 个相异点 x 0 , x1 , x2 , , xn 上的值为 y 0 , y1 , y 2 , , yn ,要求一个次数

曲线拟合

某年美国旧车价格的调查资料如下表所示，其中下xi表示轿车的使用年数，

yi表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并计算使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？

xi yi 1 2 3 4 5 6 538 7 484 8 290 9 226 10 204 2615 1943 1494 1087 765 （1）画粗糙曲线 运行程序

x1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

y1=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204]; plot(x1,y1,'o') 运行结果

假设曲线方程y=a*e?kx方程两边取对数lny=lna-kx

令t=lny,m=-k,n=lna,拟和曲线t=n+mx 执行以下程序拟和求得参数 x1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

y1=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204]; t=log(y1); aa=polyfit(x1,t,1) 运行结果 aa =

-0.2969 8.1591 即得y1=e^(-0.2969*x+8.1591) 运行程序得到精确曲线 x

. . . . .

插值和拟合

实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab一些命令及编程实现插值建模。

实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。

实验内容：

一、插值

1．插值的基本思想

·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数y= f （x）产生；

·构造一个相对简单的函数y=P(x)；

·使P通过全部节点，即P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；

·用P (x)作为函数f ( x )的近似。

2．用MA TLAB作一维插值计算

yi=interp1(x，y，xi，'method')

注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值；缺省时：线性插值）。注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。

练习1：机床加工问题

x 0 3 5 7 9 11 12

数学建模插值与拟合实验题

1. 处理2007年大学生数学建模竞赛A题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形

（1）对1994-2005年出生婴儿的性别比进行拟合，并以此预测2006-2015年间的性别比。

（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各年的育龄妇女生育率进行拟合；

（3）按时间分布对城、镇、乡生育率进行分析，以时间为自变量，生育率为因变量，对城、镇、乡的生育率进行拟合，并预测2006-2015年间的生育率。

（4）将某年的城镇化水平PU(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之

比,Karmeshu(1992年)研究发现20世纪50年代以来发达国家随着经济发展水平的提高，城镇人口的增长相对农村要快一些，但是随着城镇化水平的提高，并趋向100%时，速度会减缓，城镇化水平的增长曲线大致表现为一条拉伸的“S”型Logistic曲线[4]，对附录2中所给出2001年—2005年中国人口1%调查数据进行曲线拟合，求得该曲线，并绘制2001-2050年的城镇化水平的曲线图。

2. 处理2011年大学生数学建模竞赛A题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中的数据，完成下列问题

（1

北京交通大学毕业设计（论文）

数据拟合方法研究

中文摘要

在我们实际的实验和勘探中，都会产生大量的数据。为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据。需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。

本文介绍了几种常用的数据拟合方法，线性拟合、二次函数拟合、数据的n次多项式拟合等。并着重对曲线拟合进行了研究，介绍了线性与非线性模型的曲线拟合方法，最小二乘法、牛顿迭代法等。在传统的曲线拟合基础上，为了提高曲线拟合精度，本文还研究了多项式的摆动问题，从实践的角度分析了产生这些摆动及偏差的因素和特点，总结了在实践中减小这些偏差的处理方法。采用最小二乘法使变量转换后所得新变量离均差平方和最小，并不一定能使原响应变量的离均差平方和最小，所以其模型的拟合精度仍有提高的空间。本文以残数法与最小二乘法相结合，采用非线性最小二乘法来得到拟合效果更好的曲线模型。随着计算机技术的发展，实验数据处理越来越方便。但也提出了新的课题，就是在选择数据处理方法时应该比以往更为慎重。因为稍有不慎，就会非常方便地根据正确的实验数据得出不确切的乃至错误的结论。所以提高拟合的准确度是非常有必要的

关键词：数据拟合、最小二乘法、曲线拟合、多项式摆动、

适合数学建模的人看下

随机性模型与模拟方法

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随机变量 蒙特卡罗方法 随机数的生成 模拟

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一、随机变量

何谓随机变量？随机变量是一个其值不可 预测的变量。虽然一个随机变量在个别试验 中其结果不确定，但在大量重复试验中其结 果是具有统计规律的。正是随机变量的这种 规律性使我们可以利用它来建模。例如我们 可以利用下述的数据：时间t(秒) 0 变量X 1 1 2 0 2 3 2 4 1 5 2 6 0 7 1 8 0 9 2

得出一个模型。

适合数学建模的人看下

X是一个离散的随机变量并取值于 0,1和2。我们 不可能给出 X 与 t 的确定的关系式，但是可以通 过数 X 的不同值出现次数来描述这随机型 的规律列表如下：频数 频率

X

0 3 0.3

1 3 0.3

2 4 0.4

这个表给出了随机变量 X 的变化规律，频率告 诉某个特定的事件发生的频繁程度。如果我们需要 构造一个含有随机变量的模型，可以假设这个规律 总是成立的，模型的假设可以基于这几个数据之上。 实际操作时可以把频率分布当作概率函数来处理， 但应注意概率是频率的极限值，这两者是有差异的。 在处理一个简单的理论模型时，对概率函数

适合数学建模的人看下

必须作出合适的选择

数学建模的绝大部分的方法,简单的介绍和分析,避免你到处找方法!做学术论文等都可以用到的!

目录

一、主成分分析法 ....................................................................................................... 2 二、因子分析法............................................................................................................ 5 三、聚类分析 .............................................................................................................. 9 四、最小二乘法与多项式拟合 ................................................................................. 16 五、回归分析（略） .....................

目录

一、主成分分析法 ....................................................................................................... 2 二、因子分析法............................................................................................................ 5 三、聚类分析 .............................................................................................................. 9 四、最小二乘法与多项式拟合 ................................................................................. 16 五、回归分析（略） ................................................................

试题1：

汶川大地震的反思

汶川大地震造成令人震惊的人员伤亡和财产损失。

我校宿舍楼H型，7层楼面，于是我们面临一个无法回避的现实问题：一旦遇有意外事件（例如火灾）发生，宿舍楼内的学生是否能够有组织地、尽快地通过走廊和楼梯疏散撤离出去。学校想进行一次紧急疏散人员的演习，演习之前需要考虑许多方面，如宿舍楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个的系统工程问题。

我们做以下三个方面的研究：

1.实地考察宿舍楼的布局，绘制出平面简图；

2.建立数学模型针对不同时间段内给出学生的疏散路线和计算出全部人员撤离完毕所用的时间；

3.就我们所得到的结论建议给学校领导、后勤保卫部门。

试题2：

最低生活保障问题

温家宝总理在十届人大三次会议所作的《政府工作报告》中指出，要贯彻落实科学发展观，着力解决与人民群众切身利益相关的突出问题，高度重视解决城乡困难群众基本生活问题，维护社会稳定，努力构建社会主义和谐社会。

1999年国务院颁布《城市居民最低生活保障条例》，规定对持有非农业户口的城市居民，凡共同生活的家庭成员人均收入低于当地城市居民最低生活标准的，均可从当地政府获得基本生活物质帮助。据民政部统计，截至2004年12月底，

石家庄经济学院 信息工程学院 1 数学建模与创业计划实践部

学习目标

1.能表述建立数学模型的方法、步骤；

2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类；

4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤

—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System

Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．

可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具