高中自主招生数学

高校自主招生数学问题

陶平生

全国重点大学自主招生考试是自2006年开始的一个新的考试门类，目前，这种考试有三大联盟：即，以清华为首的七校联盟，简称“华约”（清华、上海交大、西安交大、南京大学、浙江大学、中国科大、中国人大）；以北大为首的十三校联盟，简称“北约”（北大、北航、北师大、复旦、南开、武大、厦大、川大、山东大学、兰州大学、中山大学、华中科大、香港大学）（注：复旦、南开两校今年起退出北约单独干）；以及以北京理工大学为首的九校联盟，简称“卓越联盟”（北理工、大连理工、华南理工、天津大学、同济大学、重庆大学、东南大学、西北工大、哈尔滨工大）．

其试题特点是注重基础，知识全面，强化应用，突出能力，灵活多变，并与大学的知识内容及思想方法有所衔接，部分试题具有一定的高等数学以及数学竞赛背景．

自2013年起，自主招生试题已由各有关高校自行命题，改为由国家考试中心命题，目前还没有制定考试大纲，今年仍然按三个联盟分别命题，明年，或许又将合为一卷，这正如三国演义开篇所说：“话说天下大势，分久必合，合久必分”．

自主招生试题，包括中学所涉及的全部知识（而不单是按某个省的教材），内容可能会有某些超越．

试题例讲

1、对于数列?an?：1,3,3,3,5,

高校自主招生数学问题

陶平生

全国重点大学自主招生考试是自2006年开始的一个新的考试门类，目前，这种考试有三大联盟：即，以清华为首的七校联盟，简称“华约”（清华、上海交大、西安交大、南京大学、浙江大学、中国科大、中国人大）；以北大为首的十三校联盟，简称“北约”（北大、北航、北师大、复旦、南开、武大、厦大、川大、山东大学、兰州大学、中山大学、华中科大、香港大学）（注：复旦、南开两校今年起退出北约单独干）；以及以北京理工大学为首的九校联盟，简称“卓越联盟”（北理工、大连理工、华南理工、天津大学、同济大学、重庆大学、东南大学、西北工大、哈尔滨工大）．

其试题特点是注重基础，知识全面，强化应用，突出能力，灵活多变，并与大学的知识内容及思想方法有所衔接，部分试题具有一定的高等数学以及数学竞赛背景．

自2013年起，自主招生试题已由各有关高校自行命题，改为由国家考试中心命题，目前还没有制定考试大纲，今年仍然按三个联盟分别命题，明年，或许又将合为一卷，这正如三国演义开篇所说：“话说天下大势，分久必合，合久必分”．

自主招生试题，包括中学所涉及的全部知识（而不单是按某个省的教材），内容可能会有某些超越．

试题例讲

1、对于数列?an?：1,3,3,3,5,

历年自主招生试题分类汇编——导数

7. （2014年华约）已知n?N*,x?n,求证:n?n(1?)nex?x2.

xxn【证明】原不等式等价于n?x?n((1?)?e)n.

n 当x2?n,上述不等式左边非正,不等式成立;

2xn 当x2?n时,由ey?1?y(y?0)及贝努力不等式(1?y)n?1?ny(n?1,y??1),

xxxxnx2nx2nn 从而n((1?)?e)?n((1?)?(1?))?n(1?2)?n(1?n?2)?n?x2,即证.

nnnnn7. （2013年华约）已知f(x)?(1?x)ex?1 求证:(1)当x?0,f(x)?0;

(2)数列{xn}满足xnexn?1?exn?1,x1?1,求证:数列{xn}单调递减且xn?1. 2n【解】(1)当x?0时,f?(x)??xex?0,所以f(x)在(0,??)上递减,所以f(x)?f(0)?0. (2)由xnexn?1?e?1得exnxn?1exn?1,结合x1?1,及对任意x?0,ex?x?1,利用数学归纳法?xnxx易得xn?0对任意正整数n成立,由(1)知f(xn)?0,即en?1?xnen, 即xnexn?1?xnexn,因为xn?0,所以exn?

2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试

数学试题

请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题．每题20分，共100分． 1．已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长．

22．求过抛物线y?2x?2x?1和y??5x?2x?3的交点的直线方程．

2

3．在等差数列{an}中，a3??13,a7?3，数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的最小项，并指出其值为何？

4．在?ABC中，a?b?2c，求证：?C?600．

5．是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？

6．C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由．

7．求f(x)?x?1?2x?1?........?2011x?1的最小值．

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2018-2019学年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试

数学试题

请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题．每题20分，共100分．温馨提示：多少汗水曾洒下，金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”! 多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

1．已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长．

2．求过抛物线y?2x2?2x?1和y??5x2?2x?3的交点的直线方程．

3．在等差数列{an}中，a

2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试

数学试题

请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题．每题20分，共100分． 1．已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长．

22．求过抛物线y?2x?2x?1和y??5x?2x?3的交点的直线方程．

2

3．在等差数列{an}中，a3??13,a7?3，数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的最小项，并指出其值为何？

4．在?ABC中，a?b?2c，求证：?C?600．

5．是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？

6．C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由．

7．求f(x)?x?1?2x?1?........?2011x?1的最小值．

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2009年鄂州高中自主招生考试数学试题

一、选择题（3分*12=36分）

1、已知a=2009x+2008，b=2009x＋2009，c=2009x+2010，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

2、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2＋2x＋2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）

O A x O B x O C

x O x D

y y y y 3、第二象限有一点P（x , y），且x?5,y?7，则点P关于原点的对称点的坐标是（ ） A、（－5，7） B、（5，－7） C、（－5，－7） D、（5，7） 4、若方程x2＋（4n＋1）x＋2n=0（n为整数）有两个整数根，则这两个根（ ） A、都是奇数 B、都是偶数 C、一奇一偶 D、无法判断 5、如右下图，等边ΔABC外一点P到三边距离分别为h1，h2，h3，且h3＋h2－h1=3，其中PD= h3，PE= h2，PF= h1。则ΔABC的面积SΔABC=（ ）

A、

2013年华约数学真题

2012华约数学真题

2011华约数学真题 一、选择题

1.设复数z满足|z|<1且

.

则|z| ＝ ( )

2.在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )

3.已知

线l的斜率为 ( )

，过点(－1, 1)的直线l与该函数图象相切，且(－1, 1)不是切点，则直

4.若的最小值和最大值分别为 ( )

6.已知异面直线a，b成60°角.A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面 ( ) A.有且只有一个 B.有且只有两个 C.有且只有三个 D.有且只有四个

7.已知向量小值为( )

则

的最

8.AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且点，则

的正切值为 ( )

，C为抛物线准线与x轴的交

10.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（） A.存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B.存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C.存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 D.任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 二、解

鄂州高中2017届自主招物理试题

一、选择题（每小题5分，共50分。 -每小题给出的四个选项中只有一个选项正确。）

1、磁带录放机可高速播放正常录制的声音。一位正常录制的男中音的声音经过高速播放后听起来象

女生的声音，那么经过高速播放后，有关声音作出改变的说法正确的是 A．提高了声音的响度 B．降低了声音的响度 C．提高了声音的音调 D．降低了声音的音调

2、如图所示，有一口直深井与水平地面成60°角，为了井底的照明，可以利用一

面平面镜将与水平地面成30°角的太阳光照入井底。则平面镜与水平面所成的夹角?应该为

A．30° B．45° C．60° D．75°

3、如图，在一个足够深的水池底部安装了一只射灯（不计大小），当池内无水时，射灯发出一束光

恰好照在左边池壁的上边沿处形成一个光斑S。现保持射灯位置及光束方向不变，往池内不断灌水，直至灌满水池。则随着水位上升，关于光斑位置描述的说法正确的是 A．光斑将从S点起沿池壁逐渐向下移动

B．光斑将从池壁上某点起沿池壁逐渐向上移动直到S点 C．光斑将从S点起沿池壁先向下移动后向上移动 D．光斑将从池壁上某点起沿池壁先向上移动后向下移动

南充高中2016年面向省内外自主招生考试

数 学 试 卷

（时间：120分钟 满分：150分）

第Ⅰ卷（填空题、选择题）

一、填空题（每小题6分，共84分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）） 1、已知a?b?3,ab??1,则a?b? 2、若x?x?1?0则2x?3x?x? 3、若x?0,xy?0,则y?x?1?x?y?5? 4、1?2?3???2011?2012?2011???3?2?1等于 的平方

5、在有理数范围内分解因式：(x?3)(x?1)(x?2)(x?4)?24? 6、甲、乙、丙三名学生分20支相同的铅笔，每人至少1支，则不同的分配方法有 种

7、已知a、b、2分别为三角形三边的边长，且a、b为方程，则三角形的周长为 (3x2?4x?1)(3x2?4x?5)?12的根（a、b可以相等）

8、一动点P从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知动点P每秒前进或后退1个单位,设xn表示第n秒时点P在数轴的位置所对应的数（如x4?