小波包分解公式

一、

首先，小波包的一些基本的基本要弄懂，就是小波包是从原始信号，分级向下分解。如下图所示。

这就是小波包树，其中节点的命名规则是从 （1，0）开始，叫1号， （1，1）是2

号，，，，依此类推，（3，0）是7号，（3，7）是14号。 每个节点都有对应的小波包

系数，这个系数决定了频率的大小，也就是说频率信息已经有了，但是时域信息在哪里呢？ 那就是 order。 这个order就是这些节点的顺序，也就是频率的顺序。

比如，节点的排序是 1，2，3，，，，14， 那么频率就按先1号的频率变化，后2号的，再3号的，，，然后14号的。

图1

来看一个实例：

采样频率为1024Hz，采样时间是1秒，有一个信号s是由频率100和200Hz的正弦波混合的，我们用小波包来分解。 clear all clc

fs=1024; %采样频率

f1=100; %信号的第一个频率 f2=300; %信号第二个频率

t=0:1/fs:1;

s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %生成混合信号

[tt]=wpdec(s,3,'dmey'); %小波包分解，

一、

首先，小波包的一些基本的基本要弄懂，就是小波包是从原始信号，分级向下分解。如下图所示。

这就是小波包树，其中节点的命名规则是从 （1，0）开始，叫1号， （1，1）是2

号，，，，依此类推，（3，0）是7号，（3，7）是14号。 每个节点都有对应的小波包

系数，这个系数决定了频率的大小，也就是说频率信息已经有了，但是时域信息在哪里呢？ 那就是 order。 这个order就是这些节点的顺序，也就是频率的顺序。

比如，节点的排序是 1，2，3，，，，14， 那么频率就按先1号的频率变化，后2号的，再3号的，，，然后14号的。

图1

来看一个实例：

采样频率为1024Hz，采样时间是1秒，有一个信号s是由频率100和200Hz的正弦波混合的，我们用小波包来分解。 clear all clc

fs=1024; %采样频率

f1=100; %信号的第一个频率 f2=300; %信号第二个频率

t=0:1/fs:1;

s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %生成混合信号

[tt]=wpdec(s,3,'dmey'); %小波包分解，

陕西理工学院毕业设计

小波包在图像处理中的应用

刘昊云

（陕西理工学院 物理与电信工程学院 通信工程专业1202班，陕西 汉中 723003）

指导教师：陈莉

[摘 要]图像是人类获取和交换信息的主要来源，因此，图像处理涉及到人类生活的方方面面，而小波分析在

图像处理领域应用广泛，如：图像去噪、图像压缩、图像融合、图像分割等。本文主要围绕小波分析在图像去噪和图像压缩这两个方面的应用展开论述。在对图像进行处理时，首先利用小波函数对图像进行空间分解,小波变换的空间分解遵循塔式结构，小波包的空间分解遵循小波包树形结构，再设置相应阈值进行系数筛选，最后经小波逆变换进行图像重构。图像的去噪和压缩实质上都是对小波分解后的高频系数、低频系数做相应处理，然后重构系数，达到图像去噪、压缩的效果。本文在小波变换和小波包的理论基础分析之上，利用MATLAB软件仿真实现了小波变换和小波包的图像去噪与压缩，并结合仿真结果，将两者

针对暂态信号的时频分布特点,提出了采用小波包的去噪新方 法。首 先采用小波包变换对暂态信号进行多尺度分解,搜索子频带范数随尺度变化而增大并达到峰 值的子频带,然后对子频带内的小波系数进行阈值处理,最后进行信号重构。理论分析和实 验结果表明本方法简单、有效。

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2009年2 月 第24卷第2期

电 工 技 术 学 报

TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY

Vol.24 No. 2

Feb. 2009

基于平稳小波包分解和希尔伯特变换的

故障特征自适应提取

刘毅华1 王媛媛1 宋执环

1,2

（1. 浙江大学宁波理工学院 宁波 315100 2. 浙江大学控制科学与工程学系 杭州 310027）

摘要 提出一种自适应地提取信号特征分量的故障检测方法。采用逐层推进的平稳小波包分解算法，运用希尔伯特变换，在对信号进行小波包分解的同时，对分解结果进行瞬时频率和瞬时幅值分析，根据设定的分量提取和信号分解规则，实现信号分解路径的自主搜索，自适应地构建信号的小波包分解树，对信号进行多分辨率的频谱分析，达到信号消噪和特征分量提取的目的。仿真研究表明该方法的分量提取规则简单、目标明确，信号分析结果简洁，具有运算时间少、数据存储量小的特点和良好的抗噪性能，所提取的故障特征分量的时-频-幅值信息清晰、易于检测。

关键词：平稳小波包变换 希尔伯特变换 自适应信号分析 多分辨率频谱分析 故障检测 中图分类号：TM711

Adaptive Fault Feature

因式分解

公式及方法大全

待定系数法(因式分解)

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在

在因式分解时，一些可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

常用的因式分解公式：

因式分解

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

分析 由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

解 设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

因式分解

比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

说明 本题也可用 例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．

分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法

一、基础训练

22 221．(1)x＋ ＋4＝(x＋2) (2)m－4m＋ ＝(m－2)

(3) －4mn＋n＝( －n) (4)x－xy＋ ＝(x－

2222222212y) 22 (5)9x+（ ）+4y=（ ）； (6)9a+（________）+25b=（3a-5b）

22、已知9x-6xy+k是完全平方式，则k的值是______．

3.4x mx 9是完全平方式，则m= .

4．x+ a xy+16y是完全平方式，则a= ．

5、把下列各式分解因式： 222

（1）－4ab+12ab－9b= （2）(a2 1)2 4a2223（3）1-x+4xy-4y=

26．已知a+14a+49=25，则a的值是_________

7、把下列各式分解因式

2 22(1)a+8a+16 (2)p－22p＋121 (3)4x－20x＋25

(4)a－8ab＋16b

(7)－x＋2xy－y (8)－4－

(10)x＋4x＋4 (11)m＋m＋

42222 22 22

—平方差公式

温故知新 什么叫因式分解？ 因式分解与整式乘法有 什么联系？ 我们学过哪些乘法公式？

温故知新1) ( x 5)( x 5) _______ x 252

9x y 2) (3x y )(3x y ) ______2

2

观察以上式子是满足什么乘法公式运算？

(a b)( a b) a b (整式乘法)2 2

a b (a b)(a b) (分解因式)2 2

利用乘法公式把某些多项式因式分解的方法叫做公式法

说一说 找特征

b a ▲2

2

(a ▲ b )( a b) ▲

①左边 两个因式的平方差；只有两项

②右边

两因式和 与差相乘

相同项 相反项

牛刀小试下列多项式能转化成( )2-( )2的形式吗？如果 能，请将其转化成( )2-( )2的形式。 (1) m2 -81 = m2 -92 (2) 1 -16b2 = 12-(4b)2 (3) 4m2+9 不能转化为平方差形式

(4) a2x2 -25y 2 = (ax)2 -(5y)2 (5) -x2 -25y2 不能转化为平方差形式

多项式具有什么特征时， 可以用平方差公式因式分解？ (1)多项式是 二项式

(2)每一项都可以写成 平

运用公式法进行因式分解

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式

a2?b2?(a?b)(a?b)

a2?2ab?b2?(a?b)2

立方和、立方差公式 a3?b3?(a?b)?(a2?ab?b2) 补充：欧拉公式：

a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca) ?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2333 特别地：（1）当a?b?c?0时，有a?b?c?3abc

（2）当c?0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】

1. 把a?2a?b?2b分解因式的结果是（

常用的因式分解公式

常用的因式分解公式：

待定系数法(因式分解)

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析 由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解 设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下． 例2 分解因式：x4-2x3-