n重积分

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

第九章 重积分

教学内容

二重积分、三重积分的概念和性质，二重积分、三重积分的计算和应用。 教学目的、要求

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分中值定理。 2.熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。

3.掌握二重积分在极坐标系下的计算方法，掌握三重积分在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的计算方法。

4.会用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、体积、曲面面积）和物理量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）。 重点与难点

1重点：二重积分的概念与计算。

2难点：三重积分的计算，重积分的应用。

第一节 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积

设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z f x,y (f x,y 在D上连续)且f x,y 0,这种立体称为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算:

用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域 1, 2, , n ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体 分划成n个小曲顶柱

补充内容 一．二重积分

定义：设D为xy平面上的有界闭区域，f(x,y)为定义在D上的函数。用任意的曲线把D分成n个小区域?1,?2,??n. 以??i表示小区域的面积，这些小区域构成D的一个分割T, 以di表示小区域?i的直径，称T?maxdi为分割T的细度。在每个?i上任取一点

1?i?nn(?i,?i)，作和式?f(?i,?i)??i，称它为函数f(x,y)在D上属于分割T的一个积分和。

i?1如果

n lim?f?(i?,i?)?i

T?0i?1存在，则称f(x,y)在D上可积，此极限值就称为f(x,y)在D上的积分，记为

??Df(x,y)d?，即

n

??Df(x,y)?d?T?0li?mi?1f?i(?i?,?)i。

定理：有界闭区域上的连续函数必可积。

性质：1. 若f(x,y)在区域D上可积，k为常数，则kf(x,y)在D上也可积，且

??Dkf(x,yd)??k??fx(y,d?)

D 2. 若f(x,y),g(x,y)在D上都可积，则f(x,y)?g(x,y)在D上也可积，且

??[fD(x,y

§5.三重积分

数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！） 1.球面:x2?y2?z2?a2?a?0?表示以原点为球心，半径为a的球面。

2.柱面：平行于定直线L并沿定曲线C移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。

?f(x,y)?0一般地，方程f(x,y)?0表示以曲线C:?为准线，母线平行于z轴的柱面。

z?0?类似可以写出方程f(y,z)?0和f(z,x)?0表示的曲面。 注：当准线是直线时，柱面退化为平面。

几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）

x2y2（1）2?2?1表示母线平行于z轴的椭圆柱面。特别地，当a?b时，它表示母线平行

ab于z轴的圆柱面。这里的定直线L就是z轴。

（2）y2?2px?p?0?表示母线平行于z轴的抛物柱面。

x2z2（3）-2?2?1表示母线平行y轴的双曲柱面。

ab

3.旋转曲面：平面曲线C绕该平面上一条定直线L旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。 其中平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线L叫做旋转曲面的轴。

例如平面曲线C:??f(y,z)?0,绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为

?x?0f(?x2?y2,z)?0。

记忆口诀：绕

§5.三重积分

数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！） 1.球面:x2?y2?z2?a2?a?0?表示以原点为球心，半径为a的球面。

2.柱面：平行于定直线L并沿定曲线C移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。

?f(x,y)?0一般地，方程f(x,y)?0表示以曲线C:?为准线，母线平行于z轴的柱面。

z?0?类似可以写出方程f(y,z)?0和f(z,x)?0表示的曲面。 注：当准线是直线时，柱面退化为平面。

几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）

x2y2（1）2?2?1表示母线平行于z轴的椭圆柱面。特别地，当a?b时，它表示母线平行

ab于z轴的圆柱面。这里的定直线L就是z轴。

（2）y2?2px?p?0?表示母线平行于z轴的抛物柱面。

x2z2（3）-2?2?1表示母线平行y轴的双曲柱面。

ab

3.旋转曲面：平面曲线C绕该平面上一条定直线L旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。 其中平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线L叫做旋转曲面的轴。

例如平面曲线C:??f(y,z)?0,绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为

?x?0f(?x2?y2,z)?0。

记忆口诀：绕

第9章 重积分

重积分是定积分概念的推广，其被积函数是多元函数，积分范围是平面或空间的一个有界闭区域，两者虽然形式不同，但本质都是一种和式的极限．本章主要介绍二重积分和三重积分的概念、性质、计算方法以及它们在几何和物理方面的一些应用．

§1 二重积分的概念及性质

一、两个实例

1.曲顶柱体的体积

所谓曲顶柱体是指以xOy面上的有界闭区域D为底，以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面为侧面，以曲面z?f?x,y?(其中f?x,y?是D上的非负连续函数)为顶的这样一种立体?(如图9-1)．

下面运用第5章中计算曲边梯形面积的思想来计算上述曲顶柱体

(1)分割：将曲顶柱体?分割成若干小曲顶柱体 将闭区域D任意分割成n个小闭区域??i，??i同时也表示第i个小区域的面积．以每个小区域??i(i?1,2,?,n)的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将曲顶柱体分成n个小曲顶柱体(如图9-2),设其体积为?Vi(i?1,2,?,n),则曲顶柱体体积

n的体积.现将具体计算过程阐述如下:

第九章 重积分

(A)

1．填空题

(1) 设P?x,y??x2y，Q?x,y??x3y2，定义于D:0?x?1，0?y?1，则

??P?x,y?d? ??Q?x,y?d?

DD(2) 设曲顶柱体的顶面是z?f?x,y?，?x,y??D，侧面是母线平行于z轴，准线为D

的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为V? 。

(3) 在极坐标系中，面积元素为 。 2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小

(1) 围成。

(2) 围成。

3．利用二重积分性质，估计积分I???2x2?2y2?9d?的值，其中D是圆形闭区域

D2322D与，其中积分区域是由圆周????????x?yd?x?yd?x?2?y?1?2所????DD23与其中积分区域D由x轴，y轴以及直线x?y?1所 ????x?yd?x?yd?，????DD??x2?y2?4。

4．交换积分?2aadx?02ax?x22a?xf?x,y?dy的积分次序。

5．交换积分?dy?122?yf?x,y?dx的积分次序。

y?aa2?y26．交换二次积分?dy?0af?x,y?的积分次序。

7．计算???3x?2y?d?，其中D是由两坐

第九章 重积分

A

1、 填空题

1）交换下列二次积分的积分次序

（1）（2）（3）（4）（5）

?dy?012?yy2yf?x,y?dx?______________________________________________

??201dy?2f?x,y?dx?______________________________________________

y01dy?f?x,y?dx?_______________________________________________

01?y2?1?y2y?dy?0f?x,y?dx?___________________________________________

?dx?140elnx0f?x,y?dy?______________________________________________

f?x,y?dx?________________________________________

（6）

?dy?1?y?4?2?4?y2）积分

?20dx?e?ydy的值等于__________________________________

x223)设D??x,y?0?x?1,0?y?1，

篇一：同济大学高数第10章 重积分

多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分.它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分.本章主要介绍二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用.

10.1 二重积分的概念及性质

10.1.1 二重积分的概念

实例1 设函数z?f(x,y)在有界闭区域D上连续，且f(x,y)?0．以函数z?f(x,y)所表示的曲面为顶，以区域D为底，且以区域D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图10.1.1所示．求该曲顶柱体的体积V．

图10.1.1 图10.1.2

对于平顶柱体,它的体积就等于底面积乘高.现在曲顶柱体的顶是曲面,当点(x,y) 在D上变动时,其高度z?f(x,y)是一个变量,因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下

第一步(分割).用一组曲线网将区域D任意分成n个小区域??1,??2,???i,???n，其中记号??i (i = 1，2，?，n)也用来表示第i个小区域的面积．分别以每个小区域的边界

第九章 重积分

§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值

I???x2?y2dxdy 其中D为：x2?y2?4

D ( I???x2?y2dxdy=?.4.2?.?.4.2?D1316?) 32、设D为圆域x2?y2?a2,a?0,若积分

??D?=a?x?ydxdy12，求a的值。

222解：

??D3a?x?ydxdy=2.3?.a a?8

2221413、设D由圆(x?2)2?(y?1)2?2围成,求??3dxdy

D 解：由于D的面积为2?, 故??3dxdy=6?

D4、设D：{(x,y)|3?x?5,0?y?1}，

I1???ln(x?y)dxdy,I2???[ln(x?y)]2dxdy，比较I1, 与I2的大小关系

DD解：在D上，ln(x?y)? [ln(x?y)]2,故I1?I2

5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 x2?y2?1, 和曲面z?[f(xy)]2所围的

立体的体积，可用二重积分表示为V???[f(xy)]2dx

《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级_____________ 姓名____________ 学号_________________

第十一章 习题一 曲线积分与格林公式

（为了节省纸张和便于收发，请您双面打印）

一．选择题

1．设L为圆周x2?y2?1，L1为该圆周在第一象限的部分，则 （ ） （A）xds?4xds； （B）

LL1???Lyds?4?yds；

L1L1（C）

?Lx2sinyds?4?x2sinyds； （D）?x2cosyds?4?x2cosyds．

L1L22．设L为沿右半圆周x?1?y从点A(0,?1)经点B(1,0)到点C(0,1)的路径，L1为

L上从点B到点C的路径，则积分?|y|dx?y3dy等于 （ ）

L（A）0； （B）2?L1|y|dx?y3dy； （C）2?|y|dx； （D）2?y3dx．

L1L13．设G为一个平面单连通区域，P、Q在G上具有一阶连续偏导数，则积分

?L Pdy?Qdx与路径无关的充分必要条件是 （ ）

（A）

?P?Q?P?