数列前n项和Sn的关系

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求数列{an}的前n项和的方法

（1）倒序相加法 此种方法主要针对类似等差数列中 （2）公式法 此种方法是针对于有公式可套的数列，如an?a1?an?1?a2???,具有这样特点的等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找数列． 例：等差数列求和 出对应的公式． 公式： ①等差数列： Sn?a1?a2???an ?a1?(a1?d)???[a1?(n?1)d] ① 把项的次序反过来，则： n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22n(n?1)d ?nan?2Sn? Sm?n?Sm?Sn?mnd Sn?an?(an?d)???[an?(n?1)d]② ①+②得： n个???????????????2Sn??a1?an??(a1?an)???(a1?an) SnSn?m?Sm?(n?2m,m,n?N*) nn?2m②等比数列： ?n(a1?an) n(a1?an)Sn? 2 （3）错位相减法 此种方法主要用于数列{anbn}的求和，其中{an}为等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，只需用Sn?qSn便可转化为

题型三 由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an

1

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0 (n≥2)，a1＝. 2

?1?

(1)求证：?S?为等差数列；

?n?(2)求an的表达式．

2．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足：10Sn＝a2n＋5an＋6，且a1，a3，a15成等比数列．

(1)证明：数列{an}是等差数列，并求出其通项an；

2m

(2)设bn＝，Mn是数列{bn}的前n项和，求使得Mn<对所有的n∈N*都成立的实

20an·an＋1

数m的取值范围．

1

答案

1．(1)证明 ∵an＝Sn－Sn－1 (n≥2)， an＋2Sn·Sn－1＝0 (n≥2)，

∴Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0.

11

∵Sn≠0，∴－＝2 (n≥2)．

SnSn－1

?1?11

由等差数列的定义，可知?S?是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．

S1a1?n?

11

(2)解 方法一 由(1)，知＝＋(n－1)d

SnS1

1

＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝. 2n

1

当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－；

2n(n－1)

1

当n＝1，a1＝，不满足上式，

21

(n＝1)，2

故an＝

1－ (

数列前n项和的求法Revised on November 25, 2020

专题二： 数列前n 项和的求法

一、倒序相加法求数列的前n 项和 如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 例1：设等差数列{a n }，公差为d ，求证：{a n }的前n 项和S n =n(a 1+a n )/2 例2：求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

二、用公式法求数列的前n 项和

对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

例3：求数列

的前n 项和S n ： 例4：已知3

log 1log 23-=x ，求n x x x x +???+++32的前n 项和. 例5：设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=

n n S n S n f 的最大值. 点拨：这道题只要经过简单整理，就

数列系列

等比数列前n项和

一、思维导图

?na1,q?1??出现高次幂?公式化简?n 等比数列前n项和Sn??a1(1?q)?,q?1出现S,a式子?消去S?nnn?1?q?出现新数列?求首项和公比???

二、例题精析

1、（2018榆林四模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且

S327a?,则5?__________ S628a3[解析]：当q?1时，S3?3a1,S6?6a1,此时，

S31?,不符合题意，故q?1， S62S327a52811a1(1?q3)a1(1?q6)32 ??,?1?q?,?q?,??q?S3?,S6?,S628273a391?q1?q

2、（2018全国一模）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1?2S5?3S3,则{an}的公比等于__________

[解析]：S1?2S5?3S3?2(S5?S3)?S3?S1,?2(a5?a4)?a3?a2,?

3、（2018大连模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n?N),且S1,S2,S3成等差数列，则数列{an}的公比q?__________

[解析]：知S1,S2,S3成等差数列，有2S2?S1?S3,?2(a1?a1q)?2a1

等差数列的前n项和说课稿

高一数学组 孔德华

一 教学目标

1.掌握等差数列前N项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.

（1）了解等差数列前N项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；

（2）用方程思想认识等差数列前N项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前N项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；

2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.

3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.

4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.

二 教学重难点

教学重点：等差数列前N项和公式的推导和应用

教学难点：公式推导的思路．

推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前 项和公式有

等比数列的前n项和（第一课时）

许昌二高 张莉

一、教材分析

本节内容在全书及章节的地位：《等比数列前n项和》（第一课时）是新人教版必修5第2章第5节。《等比数列的前n项和》（第一课时）是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

二、教学目标

知识与技能目标：理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．

过程与方法目标 ：通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．

情感、态度与价值目标：通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.

三、教学重点、难点

重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． 难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．

四、学情教法

《等比数列的前n项和》说课稿

数学组 等待三天

一、教材分析

教学内容

《等比数列的前n项和》是高中数学必修五第二章第五节的内容，本节计划授课2课时，今天我的说课为第一课时.

地位与作用

本节是数列这章中的一个重要内容,在现实生活中有着广泛的实际应用，另外公式推导过程中所渗透的数学思想方法,是学生今后学习和工作的必备数学素养． 二、学情分析

知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和、等比数列的定义、通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.

任教班级学生特点：我班学生是普通班学生，但思维较活跃.

依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我将突破如下重难点： 教学重点、难点

重点：等比数列的前n项和公式的推导和公式的简单应用． 难点：：错位相减法的生成和等比数列前项和公式的运用 三、教学模式与教法、学法

教学模式 ：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导． 学生的学法：突出探究、发现与交流． 四、【教学过程分析】 1．创设情境、提出问题 在这个环节，我分两个部分来完成.首先复习旧知,铺垫新知.接着用多媒体向学生讲述西游记猪八戒向孙悟空借钱（

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2．5等比数列的前n项和(1)

一.选择题：

1.等比数列?an?的各项都是正数，若a1?81,a5?16,则它的前5项和是 ( ) A.179 B.211 C.243 D.275

2.等比数列?an?中,a1?2, 前3项和S3?26,则公比q为 ( ) A.3 B.?4 C.3或?4 D.?3或4

3.等比数列?an?的前n项和Sn?3n?a,则a等于 ( ) A.3 B.1 C.0 D.?1

4.已知等比数列?an?的前n项和Sn?54,前2n项和S2n?60,则前3n项和S3n?( ) A.64 B.66

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2．5等比数列的前n项和(1)

一.选择题：

1.等比数列?an?的各项都是正数，若a1?81,a5?16,则它的前5项和是 ( ) A.179 B.211 C.243 D.275

2.等比数列?an?中,a1?2, 前3项和S3?26,则公比q为 ( ) A.3 B.?4 C.3或?4 D.?3或4

3.等比数列?an?的前n项和Sn?3n?a,则a等于 ( ) A.3 B.1 C.0 D.?1

4.已知等比数列?an?的前n项和Sn?54,前2n项和S2n?60,则前3n项和S3n?( ) A.64 B.66

《等差数列的前n项和》（第一课时）说课稿

人教版普通高中课程标准教科书 数学 必修五

学校：四川省安岳中学

各位专家、同仁，大家好：

《数列》一章的内容蕴含了很多数学之美，且随着时间的推移，这种感觉愈久弥新。今天，我说课的课题便是其中之一：《等差数列前n项和的公式》的第一节内容，接下来，我将从教材分析、教法学法、教学过程、板书设计、效果分析等五个方面来展开本节的说课内容：

一、教材分析

1.地位与作用：

等差数列前n项和的公式是《数列》一章中的重要基础知识，公式有广泛的实际应用，是今后继续学习高等数学的基础，能体现解决数列问题的通性通法，它与前面学过的等差数列的通项公式、性质有着密切的联系，同时又为即将用到的错位相减法求等比数列前n项和作好知识上的准备，在《数列》一章中起着承上启下的作用，在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它解决数列求和问题。

等差数列求和公式的推导，采用了“倒序相加法”，思路的得来获益于等差数列{an}任意的第k项与倒数第n-k+1项的和都等于首项a1与末项an的和这一性质的认识和发现，并且通过对等差数列求{an}和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法。

本节内容，以公式的推导为载体，可考查