函数如何求值域

用判别式法法求值域

一、 判别式法

分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

二、例题讲解

1、求函数y 2x

x22 4x 7 2x 3的值域。

由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：xy 2xy 3y 2x 4x 7整理得：(y 2)x 2(y 2)x 3y 7 0当y 2时，上式可以看成关于x的二次方程，该方程的x范围应该满足f(x) x 2x 3 0即x R此时方程有实根即△ 0，△ 2(y 2)] 4(y 2)(3y 7) 0 y [ 222229

2,2]. 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是y 2,y

将y 2,y

2、求函数y 9229292）代回方程检验。 ,2)。 分别代入检验得y 2不符合方程，所以y [ x 1x 2x 2的值域。

2解答：先将此函数化成隐函数的形式得：yx (2y 1)x 2y 1 0，(1)

这是一个关于x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方

前言：

总有人求助如何学好数学，这个问题很宽泛，并非寥寥数语能够厘清。 有一点很明确，学好数学的必要条件是了解数学。

高中数学可以归结为两个“三位一体”：教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。

知识结构的三位一体：数学思想，数学方法，典型习题。

三要素之间的关系：典型习题归纳数学思想，数学思想指导数学方法，数学方法解决典型习题。

数学思想举例：数形结合的思想等。 数学方法举例：配方法、反证法、倍差法等。 典型习题举例：恒成立问题、是否存在问题等。

教学体系的三位一体：教、学、练。

老师教什么：数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的是优秀学生，深入理解各种思想的是顶尖学生。

学生怎么学：课堂紧跟老师，课下善于提问。 如何做练习：

01，选题：中学数学最大的误区就是题海战术，有的老师不学无术只会告诉你多做题。多做题没用，多做类型才有用。典型习题，做一顶

百。

02，做题：一题多解。对于选定的习题，运用尽量多的方法去解决，然后比较各个方法的优劣，归纳出某类型题对应的最佳方法。 03，总结：针对错题。大量统计表明，我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。通过总结，避免两次踏入同一条水沟。

由上可知，我讲数学的特点是方法论、重总结。

工欲善其事

高考数学函数值域测试

1.函数y=x2+

11

(x≤－)的值域是2x

2.函数y=x+ 2x的值域是3.设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=___ 时，x12+x22有最小值_____.

4.已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］

(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围.

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记

(1)求函数f(x)=

BC CA

=x. AB

S1

的解析式并求f(x)的定义域. S2

(2)求函数f(x)的最小值.

6．设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+

1

). m 1

(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.

(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值.

(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. 7．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(

数学复习内容

第5讲 求函数值域的常用方法及值域的应用

高考要求

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳

(1)求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域

(2)函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目

此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强

(3)运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 典型题例示范讲解

例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

如果要求λ∈［,

23

］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 34

命题意图 本题主要考查建立函数关系式

训练例题

1. 若集合S?????y|y???1?x??1,x?R???,T??y|y?log??2??2(x?1),x??1?，则S?T等于

?A．{0} B．{y|y?0} C．S D．T 2. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是（ ）

1A.y?52?x B.y?(12)1?x C.y?1?2x D. y?12x?1 3. 定义在R上的函数y?f(x)的值域为［a，b］,则f(x?1)的值域为（ ）

A.［a,b］ B.［a+1,b+1］ C.［a－1,b－1］ D.无法确定

4. 函数y =

2x?1的定义域是(-?，1)?[2,5]，则其值域是（ ） A.(-?,0)?[112,2] B.(-?,2) C.(-?,2)?[2,+?] D.(0,+?)

5. 函数y?lg[x2?(k?3)x?4]的值域为R，则实数k的取值范围是（ ） A．?7?k?1 B．k??7或k?1 C．?1?k?7 D．k??7或k?1 6. 已知函数f(x)满足2f(x)?f(11x

求函数的值域是高中数学的一个重点和难点,也是每年高考必考内容,本文将结合实例介绍求函数值域的常用方法.

Z HON GXU E J￣ UE C L OX ANKA O

解题方法与技巧

一 -一

例谈函数值域的常用求法广西都安县瑶族中； (3 7 0韦牧￣ 50 0 )求函数的值域是高中数学的一个重点和难点，也是每年高考必考内容，文将结合实例介绍求函数值域的本常用方法.一

五、值法最

当函数在其定义域内连续时，如一_ 在[,i厂 )口 h￣ (连续，、分别表示 fC )[,]的最大值和最小 M r在“6上值， _在[,上值域是[ M]则厂 ) n (, . 【 5求函数 y g 1 2ox的值域.例 1:l( - cs )解：为 0 1 2ox 3所以≤ l3因< - cs￣, g.

、

配方法

配方法是求二次函数值域的主要方法.【 1求函数一、_例】/二的值域 .

解因 -++一 ( ),: X 2一 9 为 2 z专+ 9所以一j_ 2 z≤号.+-十2又由函数的定义域知≥o所以已知函数的值域为，

所以函数 y g 1 2ox的值域为(。 l3 .=l( - cs )一。,] g六、形结合法数

“数缺形时少直观，少数时难入微”运用数形结形，

合求函数

专题一：求函数值域的常用方法及值域的应用

1.重难点归纳

(1)求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域

(2)函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强

(3)运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 2.值域的概念和常见函数的值域

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.

常见函数的值域：

一次函数y?kx?b?k?0?的值域为R.

?4ac?b2?,??a?0二次函数y?ax?bx?c?a?0?，当时的值域为??，当a?0时

?4a?2?4ac?b2?的值域为???,.， ?4a??反比例函数y?指数函数y?axk?k?0?的值域为?y?Ry?0?. x?a?0且a?1?的值域为?y

求函数值域的几种方法

方法1:直接法(观察法)适用于较简单的函数，从解析式观察，利用

x 0, x 0, x 0 等，直接得出它的值域。2

例1、求下列函数的值域。(1) y x 72

(2) y 2 x 1, x 1, 2,3, 4,5 (3) y 3x 2

方法2、配方法适用于二次函数，同时要注意闭区间内的值域。 例2、求下列函数的值域。

(1) f ( x) x 4 x 12

(2) f ( x) x x 1

方法3、换元法对形如 y ax b cx d 型的函数均可用 “换元法”化为二次函数在区间上的值域问题求 解。 例3、求下列函数的值域。

(1) y x 1 x (2) y x x 1

方法4、分离常数法适用于分式型的函数。

例4、求下列函数的值域。

2x 1 (1) y x 3 2 2x 1 (2) y 2 x 1

方法5、判别式法能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零

高一数学函数的值域试题

一．选择题

1．（2006 陕西）函数f（x）=

（x∈R）的值域是（ ）

2．函数y=（x∈[2，6]）的值域是（ D ）

4．函数

y=的值域是（ B ）

二．填空题 6．函数

的值域为

7．函数

的值域是的值域是 （0，

．

8．求函数y=x+

的值域．

9．函数f

（x）=x+|x﹣2|的值域是

10．已知函数，则函数f（x）的值域为

11．函数的值域f（x）=2x﹣3+的值域是

12．函数

的值域是．

13．函数的值域：y=

为

．

14．函数y=x﹣2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为 {﹣1，0，3} ．

2

15．下列函数中在（﹣∞，0）上单调递减的．①④

．

；②y=1﹣x；③y=x+x；

22

16．已知二次函数f（x）=2x﹣4x+3，若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则a的取值范围是 0＜a＜ ．

2

17．函数f（x）在[﹣3，3]上是减函数，且f（m﹣1）﹣f（2m﹣1）＞0，则m的取值范围是 （0，2] ．

三．解答题

18．求下列函数的值域．

（1）y=﹣x+x+2；

（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；

2

（3）y=x﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]； （4）y=

．

2

19．求函数y=

的值域．

20．分别求下列函数的值域： （1）y=

2

专题一：求函数值域的常用方法及值域的应用

1.重难点归纳

(1)求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域

(2)函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强

(3)运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 2.值域的概念和常见函数的值域

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.

常见函数的值域：

一次函数y?kx?b?k?0?的值域为R.

?4ac?b2?,??a?0二次函数y?ax?bx?c?a?0?，当时的值域为??，当a?0时

?4a?2?4ac?b2?的值域为???,.， ?4a??反比例函数y?指数函数y?axk?k?0?的值域为?y?Ry?0?. x?a?0且a?1?的值域为?y