高等数学笔记手写
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高等数学笔记
第1章 函数
§1 函数的概念 一、区间、邻域
自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 建立数轴后：
建立某一实数集A与数轴上某一区间对应
区间：设有数 a,b,a
a称为 (a,b) 的左端点，b称为 (a,b) 的右端点。
a?(a,b),b?(a,b)
闭区间： [a,b]={x|a≤x≤b}
a∈[a,b],b∈[a,b]
文章来源：http://www.codelast.com/
半开区间： [a,b)={x|a≤x≤b},a∈[a,b),b?[a,b)
(a,b]={x|a a，b都是确定的实数，称 (a,b),[a,b),(a,b],[a,b] 为有限区间，“ b?a ”称为区间长度。 记号： +∞ ——正无穷大 ?∞ ——负无穷大 区间： [a,+∞)={x|a≤x} (a,+∞)={x|a 称为无穷区间（或无限区间） 文章来源：http://www.codelast.com/ 邻域：设有两个实数 a,δ(δ>0) ，则称实数集 {x|a?δ a 称为 N(a,δ) 的中心， δ>0 称为邻域 N(a,δ) 的半径。 去心邻域：把 N(a,δ) 的中心点 a 去掉，称为点 a 的去心邻域，记为 N(a
高等数学完全归纳笔记（全）
一、函数与极限 ························································································································· 2
1、集合的概念 ···················································································································· 2 2、常量与变量 ···················································································································· 3 2、函数 ······························································································································· 4 3、函数的简单性
高等数学蔡高厅手稿及笔记
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高等数学
AnnalsofMathematics,157(2003),919–938
LargeRiemannianmanifolds
whichare exible
ByA.N.Dranishnikov,StevenC.Ferry,andShmuelWeinberger*
Abstract
Foreachk∈Z,weconstructauniformlycontractiblemetriconEuclideanspacewhichisnotmodkhypereuclidean.WealsoconstructapairofuniformlycontractibleRiemannianmetricsonRn,n≥11,sothattheresultingmani-foldsZandZ areboundedhomotopyequivalentbyahomotopyequivalencewhichisnotboundedlyclosetoahomeomorphism.Weshowthatfortheself(Z)→K (C (Z))fromlocally -spacestheC -algebraassemblymapK
niteK-homologytotheK-th
高等数学（一）
编号：
《高等数学（一）》课 程 自 学 辅 导 材 料 配套教材： 《高等数学（一）微积分》 主 编： 章学诚 出 版 社： 武汉大学出版社 版 次： 2004年版 适应层次： 本 科 内 部 使 用 2012年9月 ●●●●●
目 录 第一部分 自学指导 第1章：函数及其图形…………………………………………………………………3 第2章：极限和连续……………………………………………………………………3 第3章：一元函数的导数和微分………………………………………………………3 第4章：微分中值定理和导数的应用…………………………………………………3 第5章：一元函数积分学………………………………………………………………3 第6章：多元函数微积分………………………………………………………………3 第二部分 复习思考题 一．单选题 ……………………………………………………………………………4 二．填空题 ……………………………………………………………………………24 三．计算题 ………………………
高等数学教材
df(x)dx 与 dx解 不相等.设F?(x)?f(x),则
例1 (E01) 问
????f?(x)dx是否相等?
d??f(x)dx??dx(F(x)?C)?F?(x)?0?f(x)
d而由不定积分定义?f?(x)dx?f(x)?C，所以??f(x)dx???f?(x)dx.
dxddx例3 (E03) 检验下列不定积分的正确性：
（1）xcosxdx?xsinx?C；（2）xcosxdx?xsinx?cosx?C; 解 （1）错误. 因为对等式的右端求导，其导函数不是被积函数：
???xsinx?C???xcosx?sinx?0?xcosx.
（2）正确. 因为
?xsinx?cosx?C???xcosx?sinx?sinx?0?xcosx.
1．填空题
（1）若f(x)的一个原函数为lnx2，则f(x)? 。 解：因为?f(x)dx?lnx2?c 所以f(x)?2x2? x2x（2）若?f(x)dx?sin2x?c，则f(x)? ． 解：f(x)?2cos2x
（3）若?f(x)dx?xlnx?c，则f?(x)? ． 解：f(x)?lnx?1，f?(x)?（4）d?e?xd
专升本 - 高等数学
2011年陕西省普通高等教育专升本招生考试考前冲刺密卷
高等数学
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)在每小题的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1．函数f(x，y)在点(x0，y0)处的偏导存在是函数f(x，y)在该点连续的( )． A．充分条件不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件
2．lim →
x0
?x02tanxdxx4＝( )．
1
A．0 B． C．1 D．2
2
113．若函数f(x)满足f(x)＝x＋1－??1f(x)dx，则f(x)＝( )．
2
1111
A．x－ B．x－ C．x＋ D．x＋ 3223
22
4．设区域D由y＝x，x＝y围成，则D的面积为( )．
121A． B． C．1 D．1 333
5．曲面x2＋y2＝1＋2z2表示( )．
A．旋转单叶双曲面 B．旋转双叶双曲面 C．圆锥面 D．椭球面
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
π
0，?上的最大值为________． 6．函数f(x)＝x＋2cosx在??2?
x2＋ax－6
7．若lim ＝5，则a＝________.
x→2x－2
π8．定积分
高等数学复习
第七章 常微分方程
1．常微分方程的基本概念
常微分方程的阶
线性微分方程和非线性微分方程
y(n)?a1(x)y(n?1)???an?1(x)y??an(x)y?g(x) n阶微分方程的特解和通解
一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）
例 试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.
dy(1)?x2?y;dx3dy?dy?(2)x???2?4x;dx?dx?2d2y?dy?(3)x2?2???5xy?0;(4)cos(y??)?lny?x?1.dx?dx? 例 验证函数y?(x2?C)sinx(C为任意常数)是方程
dy?ycotx?2xsinx?0 dx的通解, 并求满足初始条件y|2．可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
x??2?0的特解
dy?f(x)g(y) dx齐次方程
dy?y??f?? dx?x?dy?2xy的通解. dx例 求微分方程
例 求微分方程dx?xydy?y2dx?ydy的通解 例 求解微分方程
dyyy??tan满足初始条件dxxxyx?1??6的特解
3．一阶线性微分方程 形如
dy?
高等数学求导公式
I.基本函数的导数 01.?C???0；
02.?x?????x??1；
03.?sinx???cosx； 04.?cosx????sinx；
05.
?tanx???sec2x； 06.?cotx????csc2x；
07.?secx???secxtanx； 08.?cscx????cscxcotx；09.?ax???axlna； 10.?ex???ex；
11.?log1ax???xlna； 12.?lnx???1x；
13.
?arcsinx???11?x2；
14.?arccosx????11?x2；15.?arctanx???11?x2； 16.
?arccotx????11?x2。
II.和、差、积、商的导数 01.?u?v???u??v?； 02.?Cu???Cu?； 03.?uv???u?v?uv?； 04.??u??u?v?uv??v???v2(v?0)。
III复合函数的导数 若y?f?u?,u???x?，则
dydx?dydududx 或 y??x??f??u????x?。
? 计算极限时常用的等价无穷小
12limsinx?x limtanx?x lim?1?cosx??x
x?0x?0x
高等数学教案
第一章 函数与极限 §1.1 映射与函数 1.直积或笛卡儿乘积: 设A，B是任意两个集合， A?B?{(x , y)x?A且y?B}. 2.两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形区域. 例如 .
3.点a是数轴上一点，??0，点a的?邻域:
(a?? , a??)
-----高等数学教案 第一章 函数与极限 第1页 共94页-----
[a , b]?[c , d]?{(x , y)x?[a , b] , y?或 {xa???x?a??} 或 {xx?a??} 记为U(a , ?).
4.点a的去心?邻域:
(a?? , a)?(a , a??)
或
{xa???x?a或a?x?a??} 或 {x0?x?a??} 记为U(a , ?). 5.点a的左?邻域: (a?? , a).
-----高等数学教案 第一章 函数与极限 第2页 共94页-----
?6.点a的右?邻域: (a , a??).
7.函数是实数集到实数集的映射f.单值函数是指对于定义域Df内的任何实