初中函数与几何综合题

一次函数几何综合题

1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半

2

轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）． （1）求点D的坐标．

（2）求直线BC的解析式．

（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】 【解析】 试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可； （2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．

2

试题解析：（1）x﹣7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， ∵OA＞OB， ∴OA=4，OB=3，

过D作DE⊥

例2 如图6—2，已知直线PA 是一次函数y=x+n(n>0)的图象，直线PB 是一次函数y=一2x+m(m>n)的图象．

(1)用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；

(2)若点Q 是PA 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积是65，AB=2，试求P 点的坐标，并写出直线PA 与PB 的解析式．

例3 已知：如图6—3，直线y=一 x+1和x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，

以线段AB 为边在第一象限内作等边三角形ABC ．如果在第一象限内有一点P(m ，2

1

)，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，求m 的值． 5．如图6—7，Rt △AOB 的顶点A 是直线y=x+m 与双曲线y=x

m 在第一象限的交点，且S △AOB =3．(2)求△ACB 的面积．

6．已知：如图6—8，函数y l 、y 2、y 3的图象是过同一点A 的三条直线，

其中函数y 1的图象还过原点，A 点坐标是(3，1)，设函数y 2、y 3的图象与y 轴的交点是B 、C ，OA

=OB ，且S △0BA ∶S △ABC =2∶5，求函数y l 、y 2、y 3的解析式．

例1 如图7一l ，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90o ，延长BA 至E

一次函数与几何图形综合专题讲座

思想方法小结 ： （1）函数方法．

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．

（2）数形结合法．

数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．

知识规律小结 ：

（1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；

当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交． ②当k，b异号时，即－当b=0时，即－b＞0时，直线与x轴正半轴相交； kb=0时，直线经过原点； kb当k，b同号时，即－﹤0时，直线与x轴负半轴相交．

k③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限； 当b＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=

聚焦中考几何综合题

聚焦中考几何综合题◆朱松林质点运动型例1将一副三角尺如图 1所示拼接：含 3￣角的 0三角尺 ( B AA C)的长直角边与含 4。角的三角尺 5一

、

②当 P点位置如图 3所示时，同 ( 2)可得/ D=0 _P F 3。. . P A厶4 n肋 7。. D: D . 5

(△AC ) D的斜边恰好重合. A 2/3, AC已知 B:、 P是上的—个动点. () 1当点 P运动到/AB _ C的平分线上时，连接 D, D P求 P的长； (当点 P在运动过程中出现 P= C时， 2) DB求此时 P A的度数； D ( ) P运动到什么位置时， D, B, 3点以 P, Q为顶点的平行四边形的顶点 Q恰好在边 B C上？出此时求￣DB P Q的面积 .

图3

( C=如图 4在 D B 3) P 3, P Q中， c/ p B/o,,‘.

’

AC 9。 .‘D B= 0 . P上AC. .

根 (中论知Dc吾据1结可，尸， )= s唧： c导一×= . P . .

图 1

解析： 1如图 1 D￣A在 AD F中， ( )作 F C, P用勾股定理求解； 2当 P= C时，分图 2和图 3两 () DB要种情况

1、 直线y??2x?2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC?OB （1）求AC的解析式；

（2）在OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q，试探究BP与PQ的

数量关系，并证明你的结论。

（3）在（2）的前提下，作PM⊥AC于M，BP交AC于N，下面两个结论：①

的值不变；②

MQ?ACPM

MQ?AC的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。

PMy

Q B M o C

2、如图①所示，直线L：y?mx?5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。 （1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；

（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B

两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。 （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直

角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③。问：当点B在 y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

A P x

yyBNxAOxEyPBOBAOFAMx

图①

代数几何综合题

【题型特征】 代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决.

为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题.

【解题策略】 几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式.

类型一 坐标系、函数为背景

典例1 (2014·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.

(1)求y与x之间的函数表达式;

(2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式;

10.4x+ y

5x+1

1、若分式 的值为零，则x= 。 2、不改变分式的值，把分式 的分子、分

3x—21

x+0.2y5母各基系数化为整数，则为 。 1

3、计算： +（x—2）—1= 。

x+2

4、用科学数法表示—1350000= ；0.000018= 。 m—2nm—2n

5、计算： +3mn = 。

3mn4ab4ab

6、计算：（a—b+ ）（a+b— ）= 。

a—b a+b4x2x+1

7、方程 = 的解是 。

2x—1x—2

8、某市为了治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？设原计划每天铺设x米管道，根据题意可列得方程 。

11x29、已知x＋=3，求4= 。10、使分式

1、 直线y??2x?2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC?OB （1）求AC的解析式；

（2）在OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q，试探究BP与PQ的

数量关系，并证明你的结论。

（3）在（2）的前提下，作PM⊥AC于M，BP交AC于N，下面两个结论：①

的值不变；②

MQ?ACPM

MQ?AC的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。

PMy

Q B M o C

2、如图①所示，直线L：y?mx?5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。 （1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；

（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B

两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。 （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直

角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③。问：当点B在 y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

A P x

yyBNxAOxEyPBOBAOFAMx

图①

二次函数与圆的综合题

1．已知：如图，抛物线y??323x?x?3的图象与x轴分别交于AB，两点，与y33轴交于C点，⊙M经过原点O及点A，C，点D是劣弧OA上一动点（D点与AO，不重合）．

（1）求抛物线的顶点E的坐标； （2）求⊙M的面积；

（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使2FG?，试探究当点D运动到何处时，直线 GA与⊙M相切，并请说明理由．

2.如图，已知二次函数y?mx?(m?3)x?3(m＞0) (1) 求证：它的图象与x轴必有两个不同的交点,

(2) 这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1?x2)，与y轴交于点C，且AB=4，

2

⊙M过A，B，C三点，求扇形MAC的面积S。

(3) 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，PD⊥x轴于D,使△PBD被直线BC分成面积比为1：2的两部分?若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

3.抛物线y?ax2?bx?c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x?1 B(3,0),C(0,3)

（1）求二次函数y?ax2?bx?c的解析式；

初三总复习——几何综合题

几何综合题常研究以下几个方面的问题：①证明线段、角的数量关系（包括相等、和差、倍、分关系以及比例关系）；②证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆等）；③面积计算问题；④动态几何问题等等。 在解几何综合问题时，常常需要画图并分解其中的基本图形，挖掘其中隐含的数量关系，另外，也需要注意使用数形结合、方程、分类讨论等数学思想方法来解决问题。有时借助变换的观点也能帮我们找到更有效的解决问题的思路。 在做几何综合题时，建立综合与分析的思维方法，思维受阻时及时改变方向;熟悉常用的辅助线;强化变换的意识;从特殊或极端位置探究结论;熟悉导角导边的能力。 一. 掌握基本图形的性质，掌握通法 CB1. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=AD=4，?CAD?30?,AB?BD，求线段BC的长. D 2．如图，已知梯形ABCD中, AD∥BC，AD=2,BC=4, 对角线AC=5, BD=3,试求此梯形的面积。 A D B C 3、如图，四边形AB