椭圆周长近似计算公式

年第刀‘刀

期

数学通报

梅,

,

刀‘刀

办,

,

‘

文

中」的推广是不同的那里相应于三维空间,,

办由此可以验证卫‘

式成立

但

‘

式不成‘

的情形是分别在四面体四个面或其延展面上的四个点共面的条件参考资料刘毅

此例表明本文推广定理的结论不能取的形式即梅耐劳斯定理和塞瓦定理的空间推广,

,

三维空间中塞瓦定理

数学通报

,

定理的结论形式是不尽相同的最后我们指出,

张晗方

定理的高维推广数学通报

,

梅耐劳斯定理的本文推广与

椭圆周长近似公式周祖遣首都师大数学系

设椭圆的长半轴为的理论知,

,

短半轴为

,

由定积分

由椭圆的两个半轴的各种平均值,

和

,

使我们想到它们

椭圆的周长一‘

为

如

关

万

‘丫一“

‘‘‘一“

,

‘

,

,

其中函数表示,

止二二,

训了灭丁丽二是椭圆的离心率

,

‘

,

,

、

、

、

这是第二

一

丽了

可嚓正好与半径为、饭石的圆面,

类椭圆积分

它的被积函数的原函数不能用初等

积分值必须利用近似积分法或展开成,

等等椭圆的面积

无穷级数来求出

也可以由查椭圆积分表得到、

利用级数公式二二、

积相等因而我们有理由相信以不等式中各数。为半径的圆周长丽句及币淤耳甲了武

骊的

都可作为椭圆周长的近似值

为了将这些值与公

一

恤

干二一

几

艺一一一一一蔽一一一一一一

…

丁’

一几‘

山

式

作精确比较

,

下面我们分别将它们按

正整次幂展成幂级数石训了二飞百了

一,

圆周率π的近似计算方法

班级 学号 姓名

众所周知，圆周率π是平面上圆的周长与直径之比，它等于3.141 592 6…。古代人把3作为它的近似值。π是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道:\历史上一个

国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志.\古

今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值的计算方法.

古人计算圆周率，一般是用割圆法（不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长）。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。公元263年，刘徽通过提出著名的割圆术，得出 π ＝3.14，通常称为\徽率\，他指出这是不足近似值。割圆术用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。后来祖冲之通过割圆法求得圆周率3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 ，得到 π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精

椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用

-----------三探椭圆周长的计算（终结篇）

四川省美姑县中学 周钰承

★ 关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。

★ 内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式，

本文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希

望广大读者喜欢。

★ 目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算 二、两个高精度的椭圆周长初等公式 三、椭圆周长公式集锦与评价

一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算

宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，但其周长不能准确的计算出来。经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。

在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是：

xa22?yb22?1，a?0,b?0.

参数方程是： x?acos?,y?bsin?,?0???2?? 函数图像为：

若某条光滑曲线，能用参数方程表示：

x?X?t?，y?Y?t?

??t??，该曲线长度可表示为：

L?22????????X't?Y'tdt

数学实验的课件

数学实验

实验二 定积分的近似计算

数学实验的课件

实验二、 实验二、定积分的近似计算问题背景和实验目的定积分计算的基本公式是牛顿-莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关 函数。

数学实验的课件

实验二、 实验二、定积分的近似计算矩形法定积分的定义：

∫

b

a

f ( x )dx = nlim →∞ x1 x2LL

x →0 i =1

∑ f (ξ ) x ,i i

n

ξi ∈ [ xi 1 , xi ]

xi xi

LL LLi

xn xn 1 = xn

x0 =

x1

x2

L L xi 1

xi = xi xi 1 ,

x = max xi

数学实验的课件

矩形法 矩形法定积分的近似：

∫

b

a

f ( x )dx ≈ ∑ f ( ξi ) xi , n 充分大，△x 充分小i =1

n

通常我们取 x1 = x2 = L = xn

h = b a n

点 ξi ∈ [

数学实验的课件

数学实验

实验二 定积分的近似计算

数学实验的课件

实验二、 实验二、定积分的近似计算问题背景和实验目的定积分计算的基本公式是牛顿-莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关 函数。

数学实验的课件

实验二、 实验二、定积分的近似计算矩形法定积分的定义：

∫

b

a

f ( x )dx = nlim →∞ x1 x2LL

x →0 i =1

∑ f (ξ ) x ,i i

n

ξi ∈ [ xi 1 , xi ]

xi xi

LL LLi

xn xn 1 = xn

x0 =

x1

x2

L L xi 1

xi = xi xi 1 ,

x = max xi

数学实验的课件

矩形法 矩形法定积分的近似：

∫

b

a

f ( x )dx ≈ ∑ f ( ξi ) xi , n 充分大，△x 充分小i =1

n

通常我们取 x1 = x2 = L = xn

h = b a n

点 ξi ∈ [

提供封头表面积计算方法

第 3期20 0 7年 7月

锅

炉

制

造

No 3 .

BOI R MANUF LE ACTURI NG

J 12 7 u. O0

文章编号： N 3—14 (0 7 0 0 6 0 C2 29 20 )3— 0 6— 4

椭圆封头表面积计算公式的讨论刘超平邱宗君陈莉蓉吴宗东，,,(. 1新疆时代石油工程有限公司，疆克拉玛依 84 0 2长庆油田生产运行处，西西安 7 0 2 )新 3 00;.陕 10 1

摘

要：通过对椭圆封头表面积的两个公式的推导及数值验算，出 J4 4 2 0得 B 7 6— 0 2给出的公式为精确计算公

式，并分析另一公式误差存在的原因及与影响误差大小的因素。 关键词：椭球；圆形封头；椭表面积；误差中图分类号：Q 5 T 02文献标识码： A

Dic so lulto r u a o l o d l s usin Cac a in Fo m l fEl ps i a i He d r S fc e a e ura e Ar aL u Ch o n i a pig’ QuZ o g n, hnLrn W o g o g i h nj’ C e i g, uZ n d n’ u o,

( . eD

提供封头表面积计算方法

第 3期20 0 7年 7月

锅

炉

制

造

No 3 .

BOI R MANUF LE ACTURI NG

J 12 7 u. O0

文章编号： N 3—14 (0 7 0 0 6 0 C2 29 20 )3— 0 6— 4

椭圆封头表面积计算公式的讨论刘超平邱宗君陈莉蓉吴宗东，,,(. 1新疆时代石油工程有限公司，疆克拉玛依 84 0 2长庆油田生产运行处，西西安 7 0 2 )新 3 00;.陕 10 1

摘

要：通过对椭圆封头表面积的两个公式的推导及数值验算，出 J4 4 2 0得 B 7 6— 0 2给出的公式为精确计算公

式，并分析另一公式误差存在的原因及与影响误差大小的因素。 关键词：椭球；圆形封头；椭表面积；误差中图分类号：Q 5 T 02文献标识码： A

Dic so lulto r u a o l o d l s usin Cac a in Fo m l fEl ps i a i He d r S fc e a e ura e Ar aL u Ch o n i a pig’ QuZ o g n, hnLrn W o g o g i h nj’ C e i g, uZ n d n’ u o,

( . eD

公式名称次数密度 组距

数学公式各组次数/组距 (最大值-最小值)/组数 全距/1+3.322*lgN 全距/组数 (上限+下限)/2 上限-相邻组的组距/2 下限+相邻组的组距/2x

说明

字母含义

组中值

开口组只有上限 开口组只有下限 简单x x n f

n

x

算术平均数x

xf fn

加权

:平均数 ：单位变量值 ：总体单位数 ：权数

H

调和平均数H

1 x

简单

m 1 x *m

加权

H :平均数 x :单位变量值 n :总体单位数 m :权数

G

n

几何平均数G f

f

x xf

简单 加权

G :平均数 n :项数

:连乘

Me

L

2

s m 1 *d fm

下限公式

中位数

Me

f

U

2

sm 1 *d fm

上限公式

计数 中位数所在后各组累计 s m 1 : 数 f m :中位数所在组的次数 d :中位数所在组的组距M o :众数 L :中位数所在的下限 U :中位数所在的上限 1 :众数所在组的次数与前一组

M e :中位数 L :中位数所在的下限 L :中位数所在的下限 U :中位数所在的上限 中位数所在组前各组累 s m 1 :

M

o

L

1 1 2 2 1 2

*d

下限公

路线平曲线小于600m时，在曲线上设置超高。超高方式为，整体式路基采用绕路基中线旋转。 超高设计和计算

3.6.1确定路拱及路肩横坡度：

为了利于路面横向排水，应在路面横向设置路拱。按工程技术标准，采用折线形路拱，路拱横坡度为2%。由于土路肩的排水性远低于路面，其横坡度一般应比路面大1%～2%，故土路肩横坡度取3%。 3.6.2超高横坡度的确定：

为抵消车辆在曲线路段上行驶时所产生的离心力，当平曲线半径小于不设高的最小半径值时，应在路面上设置超高，而当平曲线半径大于不设超高时的最小半径时，即可不设超高。拟建公路为山岭重丘区三级公路，设计行车速度为40km/小时。按各平曲线所采用的半径不同，对应的超高值如表： 表3-1 圆曲线半径与超高 表3-1 圆曲线半径(m) 超高值(%) 圆曲线半径(m) 超高值(%) 600～390 1 150～120 5 390～270 2 120～90 6 270～200 3 90～60 7 200～150 4 当按平曲线

一、曲线要素计算

已知：JDZH、JDX、JDY、R、LS1、LS2、LH、T、A1、A2（LH=LS1+LS2+圆曲线长）

1、求ZH点（或ZY点）坐标及方位角

L?DZH?ZHZHx?L?L5/(40R2ls1)y?L3/(6Rls1)?T?A1?i?l2/(2Rls1)?180/???DX?ZHX?xcosA1?i?ysinA1?DY?ZHY?xsinA?i?ycosA11?

2中桩距离，左正右负）

?ZHZH?JDZH?T??ZHX?JDX?TcosA1 ?ZHY?JDY?TsinA1?2、求HZ点（或YZ点）坐标及方位角

?T?T????BDX?X?NcosT ?BDY?Y?NsinT?七、纵断面高程计算

（1） 直线段上高程计算 已知：直线上任一点桩号（ZH）、高程（H）、纵坡（i）

DH?H?i*(DZH?ZH)

（2） 竖曲线上高程计算

已知：竖曲线起点桩号（ZH）、起点高程（H）、竖曲线半径R、起点坡度（i）、k（凸曲线+1、凹曲线-1）

?HZZH?JDZH?T?LH??HZX?JDX?TcosA2 ?HZY?JDY?TsinA2?3、求解切线长T、外距E、曲线长L

（1）圆曲线

四、圆曲线上各桩号点坐标及