余弦和正切公式(2)

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案

自主梳理1．(1)两角和与差的余弦

cos(α＋β)＝_____________________________________________，

cos(α－β)＝_____________________________________________.

(2)两角和与差的正弦

sin(α＋β)＝_____________________________________________，

sin(α－β)＝_____________________________________________.

(3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π

2，k∈Z)

tan(α＋β)＝_____________________________________________，

tan(α－β)＝_____________________________________________.

其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

疱工巧解牛

知识?巧学

一、两角和的余弦公式

1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

学法一得 这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.

2.用两点间的距离公式推导C(α+β).

图3-1-5

如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,

考点5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式

1. （15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考） 若cos(??)?的值是______.

【考点】二倍角的余弦，三角函数的化简求值. 【答案】?π31n(is，则23?)?π67 9π31， 3【分析】∵cos(??)?∴sin(2??)?cos(π6ππ2ππ?2??)?cos(2??)?2cos2(??)?1 263317?2?()?1??.

3922. （15泰州一模）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．

（1）求sin（α+

π）的值； 4????????（2）若P关于x轴的对称点为Q，求OP?OQ的值．

【考点】 平面向量数量积的运算；两角和的正弦函数． 【解】（1）∵角α的终边经过点P（3，4），∴sin??43，cos??…（4分） 55∴sin??π?ππ42327????sin?cos?cos?sin?????2．…（7分） 4?44525210?（2）∵P（3，4）关于x轴的对称点为Q，

（3，?4）∴Q．…（9分）

????????∴OP?(3,4),OQ?(3,?4)，

????????∴OP?OQ?3?3?4?(?4)??7． …（14分

§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式

三维目标

1、知识与技能：1．通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.

2、过程与方法：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用，进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高分析问题、解决问题的能力

3、情感态度与价值观：理解转化的变形，认识事物的相关性以及善于发现和勇于探索的科学精神。 重点难点

学习重点：二倍角公式推导及其应用.

学习难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 教学过程

复习导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式，

cos sin tan

复习练习：

1、cos240cos690 sin240sin690tan450 tan15031 tan450tan150

公式推导：

1212

sin750cos750 cos750sin750 2、sin37.50cos7.

§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式

三维目标

1、知识与技能：1．通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.

2、过程与方法：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用，进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高分析问题、解决问题的能力

3、情感态度与价值观：理解转化的变形，认识事物的相关性以及善于发现和勇于探索的科学精神。 重点难点

学习重点：二倍角公式推导及其应用.

学习难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 教学过程

复习导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式，

cos sin tan

复习练习：

1、cos240cos690 sin240sin690tan450 tan15031 tan450tan150

公式推导：

1212

sin750cos750 cos750sin750 2、sin37.50cos7.

7.正弦、余弦、正切函数的图象和性质（2）

【复习目标】能借助三角函数的性质，解决一些简单的三角函数的奇偶性、单调性、周期

性和对称性问题

【活动过程】

活动一 基础训练 x?1. 函数y?3sin(?)的最小正周期为 242. 函数y?sinxtanx的奇偶性是 3．函数y?3sin?2x??????的单调增区间为____________ 3?4. 函数y=|sinx|的最小正周期为 ，单调递减区间是 ___________ 5. 函数f(x)?3sin?2x?π??的图象为C，如下结论中正确的序号是__________ 3?11?2π?①图象C关于直线x?0?对称； π对称； ②图象C关于点?，312??π?π5π?③函数f(x)在区间??，?内是增函数； ④由y?3sin2x的 图角向右平移个

3?1212???单位长度可以得到图象。

6．关于x的方程3sinx?cosx?2m?1?0在?0,??上有两个不等的实数根,则实数m 的取值范围是

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习

一、知识要点：

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)S(???):sin(???)?sin?cos??cos?cos?； (2)C(???):cos(???)?cos?cos??sin?sin?； (3)T(???):tan(???)?tan??tan?.

1?tan?tan?2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S(2?):sin2??2sin?cos?α；

(2)C(2?):cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?； (3)T(2?):tan2??22222tan?.

1?tan2?3．常用的公式变形

(1)tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?)； (2)cos??21?cos2?1?cos2?； ,sin2??2222(3)1?sin2??(sin??cos?),1?sin2??(sin??cos?),sin??cos??4．函数f(x)?asinx?bcosx(a,b为常数),可以化为f(x)?2sin(??).

4?a2?b2sin(x??)?a2?b2cos(x??),其中

?(?)可由a,b的值唯一确定．

两个技巧

(1)

3.1.3二倍角的正弦、余 弦、正切公式高一数学 必修 4 第三章 三角恒等变换

一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan 若上述公式中 ，

你能否对它进行变形？

R 二 sin 2 2 sin cos 倍 R cos 2 cos 2 sin 2 角 公 2 tan k k Z k , tan 2 ,且 2 式： 2 2 4 1 tan

对于 C 2 能否有其它表示形式？

cos 2 2 cos 12

cos 2 1 2 sin 2

公式中的角是否为任意角？

注意：①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如 4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，

3.1.3二倍角的正弦、余 弦、正切公式高一数学 必修 4 第三章 三角恒等变换

一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan 若上述公式中 ，

你能否对它进行变形？

R 二 sin 2 2 sin cos 倍 R cos 2 cos 2 sin 2 角 公 2 tan k k Z k , tan 2 ,且 2 式： 2 2 4 1 tan

对于 C 2 能否有其它表示形式？

cos 2 2 cos 12

cos 2 1 2 sin 2

公式中的角是否为任意角？

注意：①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如 4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

一、知识点 公式 1、 二倍角公式

2? sin?2s?in2222c? o s cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?

2? tan?2ta?n

1?ta2n?2、 公式拓展

cos2??sin2?1?tan2??万能公式：cos2??cos??sin??

cos2??sin2?1?tan2?22 sin2??2sin?cos?? tan2??2sin?cos?2tan??

sin2??cos2?1?tan2?2tan?

1?tan2?22升幂公式：1?cos2??cos?，1?cos2??2sin? 1?cos??2cos2?2，1?cos??2sin2?2

1?sin2??sin2??cos2??2sin?cos??(sin??cos?)2 降幂公式：cos??21?cos2?1?cos2?2，sin?? 222 (sin??cos?)?1?sin2? 二、例题

（一） 利用倍角公式求值的问题 例1、利用倍角公式求下列各式的值

2tan1500cos （2）1?2sin