余弦和正切公式(2)
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案
自主梳理1.(1)两角和与差的余弦
cos(α+β)=_____________________________________________,
cos(α-β)=_____________________________________________.
(2)两角和与差的正弦
sin(α+β)=_____________________________________________,
sin(α-β)=_____________________________________________.
(3)两角和与差的正切(α,β,α+β,α-β均不等于kπ+π
2,k∈Z)
tan(α+β)=_____________________________________________,
tan(α-β)=_____________________________________________.
其变形为:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).2.辅助角公式:a sin α+b cos α=a2+b2sin(α+φ)
高中数学两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3 - 1 - 2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识巧解学案
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
疱工巧解牛
知识?巧学
一、两角和的余弦公式
1.比较cos(α-β)与cos(α+β),根据α+β与α-β之间的联系:α+β=α-(-β),则由两角差的公式得cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
学法一得 这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用,同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中,因为角α、β是任意角,所以在C(α+β)中,角α、β也是任意角.
2.用两点间的距离公式推导C(α+β).
图3-1-5
如图3-1-5,在直角坐标系xOy内作单位圆O,以O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,作出角α、-β,使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4,再以OP2为始边,作角β,使它的终边交单位圆于点P3,这样就出现了α、β、α+β这样的角,设角α、-β的始边交单位圆于点P1,则P1(1,0).设P2(x,y),根据任意角的三角函数的定义,有sinα=y,cosα=x,即P2(cosα,sinα);同理,
两角和与差的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式
考点5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式
1. (15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考) 若cos(??)?的值是______.
【考点】二倍角的余弦,三角函数的化简求值. 【答案】?π31n(is,则23?)?π67 9π31, 3【分析】∵cos(??)?∴sin(2??)?cos(π6ππ2ππ?2??)?cos(2??)?2cos2(??)?1 263317?2?()?1??.
3922. (15泰州一模)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边经过点P(3,4).
(1)求sin(α+
π)的值; 4????????(2)若P关于x轴的对称点为Q,求OP?OQ的值.
【考点】 平面向量数量积的运算;两角和的正弦函数. 【解】(1)∵角α的终边经过点P(3,4),∴sin??43,cos??…(4分) 55∴sin??π?ππ42327????sin?cos?cos?sin?????2.…(7分) 4?44525210?(2)∵P(3,4)关于x轴的对称点为Q,
(3,?4)∴Q.…(9分)
????????∴OP?(3,4),OQ?(3,?4),
????????∴OP?OQ?3?3?4?(?4)??7. …(14分
3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式学案 (1)
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式
三维目标
1、知识与技能:1.通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.
2、过程与方法:通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用,进一步掌握联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高分析问题、解决问题的能力
3、情感态度与价值观:理解转化的变形,认识事物的相关性以及善于发现和勇于探索的科学精神。 重点难点
学习重点:二倍角公式推导及其应用.
学习难点:如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 教学过程
复习导入:大家首先回顾一下两角和(差)的正弦、余弦和正切公式,
cos sin tan
复习练习:
1、cos240cos690 sin240sin690tan450 tan15031 tan450tan150
公式推导:
1212
sin750cos750 cos750sin750 2、sin37.50cos7.
3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式学案 (1)
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式
三维目标
1、知识与技能:1.通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.
2、过程与方法:通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用,进一步掌握联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高分析问题、解决问题的能力
3、情感态度与价值观:理解转化的变形,认识事物的相关性以及善于发现和勇于探索的科学精神。 重点难点
学习重点:二倍角公式推导及其应用.
学习难点:如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 教学过程
复习导入:大家首先回顾一下两角和(差)的正弦、余弦和正切公式,
cos sin tan
复习练习:
1、cos240cos690 sin240sin690tan450 tan15031 tan450tan150
公式推导:
1212
sin750cos750 cos750sin750 2、sin37.50cos7.
§3.4 正弦、余弦、正切函数的图象和性质(2)
7.正弦、余弦、正切函数的图象和性质(2)
【复习目标】能借助三角函数的性质,解决一些简单的三角函数的奇偶性、单调性、周期
性和对称性问题
【活动过程】
活动一 基础训练 x?1. 函数y?3sin(?)的最小正周期为 242. 函数y?sinxtanx的奇偶性是 3.函数y?3sin?2x??????的单调增区间为____________ 3?4. 函数y=|sinx|的最小正周期为 ,单调递减区间是 ___________ 5. 函数f(x)?3sin?2x?π??的图象为C,如下结论中正确的序号是__________ 3?11?2π?①图象C关于直线x?0?对称; π对称; ②图象C关于点?,312??π?π5π?③函数f(x)在区间??,?内是增函数; ④由y?3sin2x的 图角向右平移个
3?1212???单位长度可以得到图象。
6.关于x的方程3sinx?cosx?2m?1?0在?0,??上有两个不等的实数根,则实数m 的取值范围是
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习
一、知识要点:
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)S(???):sin(???)?sin?cos??cos?cos?; (2)C(???):cos(???)?cos?cos??sin?sin?; (3)T(???):tan(???)?tan??tan?.
1?tan?tan?2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S(2?):sin2??2sin?cos?α;
(2)C(2?):cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?; (3)T(2?):tan2??22222tan?.
1?tan2?3.常用的公式变形
(1)tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?); (2)cos??21?cos2?1?cos2?; ,sin2??2222(3)1?sin2??(sin??cos?),1?sin2??(sin??cos?),sin??cos??4.函数f(x)?asinx?bcosx(a,b为常数),可以化为f(x)?2sin(??).
4?a2?b2sin(x??)?a2?b2cos(x??),其中
?(?)可由a,b的值唯一确定.
两个技巧
(1)
3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式(1)
3.1.3二倍角的正弦、余 弦、正切公式高一数学 必修 4 第三章 三角恒等变换
一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan 若上述公式中 ,
你能否对它进行变形?
R 二 sin 2 2 sin cos 倍 R cos 2 cos 2 sin 2 角 公 2 tan k k Z k , tan 2 ,且 2 式: 2 2 4 1 tan
对于 C 2 能否有其它表示形式?
cos 2 2 cos 12
cos 2 1 2 sin 2
公式中的角是否为任意角?
注意:①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数,它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其它如 4α是2α的两倍,α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍,
3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式(1)
3.1.3二倍角的正弦、余 弦、正切公式高一数学 必修 4 第三章 三角恒等变换
一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan 若上述公式中 ,
你能否对它进行变形?
R 二 sin 2 2 sin cos 倍 R cos 2 cos 2 sin 2 角 公 2 tan k k Z k , tan 2 ,且 2 式: 2 2 4 1 tan
对于 C 2 能否有其它表示形式?
cos 2 2 cos 12
cos 2 1 2 sin 2
公式中的角是否为任意角?
注意:①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数,它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其它如 4α是2α的两倍,α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍,
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 讲义
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、知识点 公式 1、 二倍角公式
2? sin?2s?in2222c? o s cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?
2? tan?2ta?n
1?ta2n?2、 公式拓展
cos2??sin2?1?tan2??万能公式:cos2??cos??sin??
cos2??sin2?1?tan2?22 sin2??2sin?cos?? tan2??2sin?cos?2tan??
sin2??cos2?1?tan2?2tan?
1?tan2?22升幂公式:1?cos2??cos?,1?cos2??2sin? 1?cos??2cos2?2,1?cos??2sin2?2
1?sin2??sin2??cos2??2sin?cos??(sin??cos?)2 降幂公式:cos??21?cos2?1?cos2?2,sin?? 222 (sin??cos?)?1?sin2? 二、例题
(一) 利用倍角公式求值的问题 例1、利用倍角公式求下列各式的值
2tan1500cos (2)1?2sin