直线的法向量和斜率的关系

直线斜率的求法

直线的斜率是反映直线倾斜程度的特征量，在解决有关直线的方程问题中占据着重要的地位.下面例析直线斜率的几种常见求法，以期帮助同学们掌握斜率这一重要知识点.

一、 已知倾斜角定义求

例1 如图，菱形ABCD中， ADC 1200，分别求出BC、CD、AC、BD所在直线的斜率.

分析：准确的找出（或求出）所求直线的倾斜角是关键. 每一条直线都有唯一的倾斜角，直线与横坐标轴正半轴方向的夹角即为该直线的倾斜角.

解：因为在菱形ABCD中， ADC 1200，

所以， BAD 600， ABC 1200，

故kBC tan(1800

1200)=tan60 ；

因为CDPABPx轴，所以直线CD倾斜角为0，故kCD tan00 0; 00

又因为菱形的对角线是相应角的角平分线，

所以 BAC 300， DBA 600，

所以 DBx 1800 DBA 1200，

所以，kAC tan300

kBD tan1200 点评：由直线的倾斜角求斜率，必须正确利用直线的倾斜角与斜率的

000关系：k tan （其中 0,180 且 90）.要注意斜率k随着倾斜角

的变化而变化的趋势：当 00时，k 0；当00 900时，k为正且随着 的增大而增大；当 90

数学说课教案

直线的倾斜角和斜率

一 、教材结构与内容分析

直线的倾斜角与斜率是高二数学教材第二册（上）第七章第一节的内容，是在学生已经掌握了函数的图像和三角以及向量的知识后学习的。它是解析几何的第一课时，可以让学生认识到数形结合这种数学思想方法的重要性，同时为进一步学习直线的方程做知识铺垫。

二、教学目标

1．基础知识目标：使学生了解直线的方程和方程的直线概念，理解直线的倾斜角和斜率的概念。

2．能力训练目标：培养学生观察、归纳、联想等发现规律的一般方法，并初步了解数形结合的数学思想。

3．情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣，师生共同构建和谐课堂。

三、教学重点、难点和关键

1．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念。 2．教学难点：斜率概念的学习。 3．关键：正确理解斜率的概念。 四、教法和学法

为了体现以学生发展为本，体现循序渐进与启发式的教学原则，我进行了这样的教法设计：在教师的引导下，创设情境，确立学生的课堂主体地位，通过一系列问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学概念形成过程中所蕴含的数学思想方法，同时辅以多媒体手段，结合师生共同讨论，培养学生观察、讨论、归纳等学习数学的方法。

五、教学过程设计

（一）创设情境，引入主题

用一个二元一次

课堂导学

三点剖析

一、直线的方向向量

【例1】 已知点A(1,3,0),B(2,4,3)以AB的方向为正向,建立数轴,试求点P,使得AP∶PB =1∶3.

思路分析：求点P,不妨先设P(x,y,z)再利用条件构造等式. 解：设P(x,y,z)， 由已知PB=3AP， ∴OB?OP=3(OP?OA)， ∴4OP=OB+3OA，

13OB+OA， 4413∴(x,y,z)=(2,4,3)+(1,3,0)

445133=(,,). 4445133∴x=,y=,z=,

4445133即点P(,,).

444OP=

温馨提示

求一点坐标,通常先设出点,再寻找条件等式或构造方程组求解. 二、平行与垂直

【例2】已知三棱锥O—ABC中，OA=OB=1，OC=2，OA，OB，OC两两垂直，如何找出一点D，使BD∥AC，DC∥AB？

思路分析:首先建立空间直角坐标系，利用点的坐标来解决平行问题.

解：建立如下图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).

由BD∥AC,DC∥AB?BD∥AC,DC∥AB,因此

?x??1,?(x,y?1,z)?k1(?1,0,2)???y?1, ??(?x,

直线的倾斜角与斜率

课前热身

1.下列说法中正确的是( )

A.一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角.

B.直线的倾斜角α的取值范围是第一或第二象限角. C.和x轴平行的直线，它的倾斜角为180°.

D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率. 2.下列多组点中，三点共线的是( ) A.(1，4)，(-1，2)，(3，5) C.(1,0),(0,-13B.(-2,-5),(7,6),(-5,3) D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)

),(7，2)

3.已知直线l1的方程是ax-y+b＝0,l2的方程是bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是( )

4.设点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )

A.k≥

34或k≤-4

34

B.k≥D.-

3434或k≤-

14

C.-4≤k≤

知识要点

≤k≤4

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平

求直线的斜率的几种基本方法

重庆市 唐小荣 一、利用定义)2(tan π

αα≠=k

例1（教材）如图1，直线1l 的倾斜角1α =30°，直线2l ⊥1l ，求1l ，2l 的斜率． 解：1l 的斜率3

330tan 01=

=k ，的倾斜角00021203090=+=α，2l ∴的斜率3120tan 02-==k 2α

二、利用两点式 如果直线过))(,(),(212211x x y x B y x A ≠、，那么可用公式1

212x x y y k --=

求直线的斜率

例2 求经过两点)1,2(A 和)2,(m B 的直线l 的斜率 解：当2=m 时，221==x x ，所以直线l 垂直于x 轴，故其斜率不存在。 当2≠m 时，则直线l 斜率1212x x y y k --==212--m =2

1-m 。 例3 如图2，已知直线l 过点P )2,1(-，且与以A )3,2(--，B )0,3(为端点的线段相交。求直线l 的斜率的取值范围。

解：直线PA 的斜率是,5)2(1)3(21=-----=k 直线PB 的斜率2

1)1(3202-=---=k ，当直线l 由PA 变化与Y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由锐角)5(tan =αα增至900，斜

直线的倾斜角与斜率

这章我们来学习平面几何，以前研究平面几何，我们是直接依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。现在我们采用另一种研究方法：坐标法，就是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质，这种方法叫解析几何法，解析几何法的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，请同学们在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。

教学目标:

理解直线的倾斜角的概念，理解斜率的概念和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 一．导学问题： 1. 平面内，确定直线的条件是什么？这里“确定”的含义是什么？ 预设的回答：两点确定一条直线。

2. P是平面直角坐标系内任一点，请过P作一条直线，和同桌比较你们所作直线是否相同，并思考你们所作的直线有什么不同。

师：可见过一点的直线有无数条，要想过一点确定一条直线，还得加上直线的方向，我们用直线的倾斜角来刻画，那么什么是直线的倾斜角？

3.直线倾斜角的定义是什么，并在定义中标出你认为的关键词。 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线向．．．．．．l．．上方向之间所成的角α

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直线与圆的位置关系的培优

一．切线性质、切线判定（2种方法的分析与比较） 1、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于D，E是AC上一点。 （1）、若E是AC的中点，则DE是⊙O的切线，为什么？ （2）、若DE是⊙O的切线，则E是AC的中点，为什么？ B D C E A

2. 如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？

3．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连AC交⊙O于D，过D作⊙O的切线

EF，交BC于E点.求证：OE//AC.

BEODCFA切线相关拓展

二． 三角形与圆相切（内切 RT切 三切 双切） 1. 已知正三角形的边长为6，则该三角形的外接圆半径，内切圆的半径各为____________。

范文范例 学习指导

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2、三角形的三边长分别为5㎝、12㎝、13㎝，则三角形的内切圆的面积为______

（五）直线和圆的位置关系

一、知识回顾

1、直线和圆的三种位置关系：

（1）如果直线和圆有两个公共点，那么就说直线和圆 ．

（2）如果直线和圆有一个公共点，那么就说直线和圆 ，这条直线叫的 ，这个点叫做圆的 ．

（3）如果直线和圆没有公共点，那么就说直线和圆 ．这条直线叫做圆的 ．

2、直线和圆的三种位置关系：

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： d>r d=r d<r 3、切线的的判定与性质：

（1）切线判定定理：经过半径的 ，并且 的直线是圆的切线． （2）圆的切线垂直于 ．

二、例题讲解

例1、填空题：

（1）如图1，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，且∠A=30°，⊙O半径为2cm，则CD=

（2）如图2，AB切⊙O于C，点D在⊙O上，∠EDC=30°，弦EF∥AB，CF=2，则EF=

（3）如图3，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm,小圆半径为5cm，且大圆的弦AB切小圆于P，则

例2、如图，AB为⊙O直径，

课题：直线和圆的位置关系 教材分析 圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课，在今后的解题及几何证明中，将起到重要的作用. 学情分析 初三学生活泼好动好奇心和求知欲都非常强，并且在初一，初二基础上初三学生有一定的分析力，归纳力。根据他们的特点，联系生活实际中的问题结合本节课适合学生的学习材料注重激发学生的求知欲让他们真正理解这节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上，进行的为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课。通过直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的位置关系，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和化归思想的认识。 教法设计 复习点和圆的位置关系，引导学生用类比的方法来研究直线与圆的位置关系，在直线与圆的位置关系的判定的过程中，通过观察采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神。学生质疑这一环节充分培养学生敢于提问的习惯，做到不懂就问。学生小结，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。 1,学生观察照片，把观察到的情况用自己的语言说出来，抽象出几何图形在学

（五）直线和圆的位置关系

一、知识回顾

1、直线和圆的三种位置关系：

（1）如果直线和圆有两个公共点，那么就说直线和圆 ．

（2）如果直线和圆有一个公共点，那么就说直线和圆 ，这条直线叫的 ，这个点叫做圆的 ．

（3）如果直线和圆没有公共点，那么就说直线和圆 ．这条直线叫做圆的 ．

2、直线和圆的三种位置关系：

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： d>r d=r d<r 3、切线的的判定与性质：

（1）切线判定定理：经过半径的 ，并且 的直线是圆的切线． （2）圆的切线垂直于 ．

二、例题讲解

例1、填空题：

（1）如图1，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，且∠A=30°，⊙O半径为2cm，则CD=

（2）如图2，AB切⊙O于C，点D在⊙O上，∠EDC=30°，弦EF∥AB，CF=2，则EF=

（3）如图3，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm,小圆半径为5cm，且大圆的弦AB切小圆于P，则

例2、如图，AB为⊙O直径，