阿基米德三角形面积最小值

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做学

菇于三角移面置 值的一个定理‘四川省射洪县柳树中学 6 2 9 2 0 9—

吼

在许多参考书上均有这样一类题：求过定点的直线与坐标轴围成的三角形面积的最小三三；堋 值，及此时直线的方程 .该题解法较多 .主要有形 判别式法，基本不等式法 .通过研究发现有下面般性的结论： 期,一

:一睇舢

01 2 3 I

定理：

面

△ ABC

中 .边

利用该结论解此类问题非常方便、迅速 . 例 1直线过 P( 1、 2 )且与轴、 y轴正向交于 A、 B两点，求., x A O B面积取最小值时的方程 . 解：由定理知， . ' x AO B面积最小时， P为A B 的中点 . 易求 A( 2, O ), K m=一2,^ B方程为一2=一

A B、 A t 2所在的直线为定直线， 边 B C所在的直线是经过 B 4 C 内一定点 P的动直线，过 P作 I D/ '/ 交A B于 D. P E// AB交 A C于 E.那么直线 BC变动时 -", AD C面积的最小值为 2 s D∞ .此时 P为线段 B c的中点 . 证明：过 C作C F上 EP于 F,过 P作 P C .上 AB于 G,令 I ADl=m、 l弼{=h、 l f=

高考数学与阿基米德三角形

一、主要概念及性质

1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些基本性质有： 2、主要性质：

性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。

证明：设A(x1,y1),B(x2,y2)，M为弦AB中点，则过A的切线方程为y1y?p(x?x1)，过B的切线方程为：y2y?p(x?x2)，联立方程组得：

?y1y?p(x?x1)?yy?p(x?x)2?2 ?2?y1?2px1?y2?2px?22解得两切线交点Q??y1y2y1?y2?,?，进而可知QM?x轴。 2p2??性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线。

证明：设Q(x,y)，由性质1，x?y1y2y?y2,y?1，所以有 y1y2?2px。由 2p2A,B,C三点共线知

y1?y0y1?y2?

y12y22y12??x02p2p2p即 y12?y1y2?y1x0?y2x0?y12?2py0 将 y?y1?y2,y1y2?2px 代入得 y0y?p(x?x0) 2即为Q点的轨迹方程。

性质3：抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹。

性质4：若直线l与抛物线没有公共点，

高考数学与阿基米德三角形

一、主要概念及性质

1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些基本性质有： 2、主要性质：

性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。

证明：设A(x1,y1),B(x2,y2)，M为弦AB中点，则过A的切线方程为y1y?p(x?x1)，过B的切线方程为：y2y?p(x?x2)，联立方程组得：

?y1y?p(x?x1)?yy?p(x?x)2?2 ?2?y1?2px1?y2?2px?22解得两切线交点Q??y1y2y1?y2?,?，进而可知QM?x轴。 2p2??性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线。

证明：设Q(x,y)，由性质1，x?y1y2y?y2,y?1，所以有 y1y2?2px。由 2p2A,B,C三点共线知

y1?y0y1?y2?

y12y22y12??x02p2p2p即 y12?y1y2?y1x0?y2x0?y12?2py0 将 y?y1?y2,y1y2?2px 代入得 y0y?p(x?x0) 2即为Q点的轨迹方程。

性质3：抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹。

性质4：若直线l与抛物线没有公共点，

详解三角形面积公式的由来和演变

第25卷　第5期

Vol.25No.5昭通师范高等专科学校学报

JournalofZhaotongTeacherπsCollege2003年10月

Oct.2003

三角形面积公式的由来和演变

饶克勇

(昭通师范高等专科学校数学系,　云南　昭通　657000)

[摘　要]　系统揭示三角形面积公式的由来、演变及应用.[关键词]　三角形;　面积;　公式

[中图分类号]O123.6　　　[文献标识码]A2)0520021206

TriaπOrignandEvolution

RAOKe2yong

(DentofMathematics,ZhaotongTeacherπsCollege,Zhaotong657000,China)

Abstract:Bringtolighttriangularareaformulasπorign,evolutionandusesystematically.Keywords:triangle;area;formula

三角形是平面几何中最简单的基本图形,在后继学习及日常生活中有广泛的应用.中小学生对于三角形面积公式是熟悉的,并能用公式计算三角形的面积;但对于日常生活中有关面积的测算却时常会感到束手无策.其原因之一是对三角

宝 鸡 高 新 第 一 小 学

数 学 课 导 学 案

年级 五年级 科 目 共2课时，第1课时 预设上课时间 学习目标 重点 难点 数学 课题 上课教师 三角形的面积 备课时间 主备教师 王亚兰 8月26 日 本期总计第 课时 月 日（星期 ） 1.在自主探索中经历推导三角形面积计算公式的过程。 2.能运用公式直接计算三角形的面积，解决生活中的简单问题。 在自主探索中经历推导三角形面积计算公式的过程。 能运用面积计算公式计算相关图形的面积并解决一些实际问题。 教学时间 环节 自 主 探 究 一、激趣导入 用学生的红领巾引出三角形面积，让学生看课题提出自己想知道的问题，激发学习情趣。 二、探究新知： （一）学生自学活动单问题导读部分，完1.自学课本56页后，动手剪两个完全相同的三角形，并把它们拼成一个平行四边形，观察拼成的平行四边形，回答下面的问题: 平行四边形的底是原三角形的 平行四边形的高是原三角形的 平行四边形的面积是 因为平行四边形的面积 = 底 × 高，所以三角形的面积= 如果用S表示三角形

理解三角形面积计算公式的推导,会根据公式进行计算。

教学内容：《三角形面积》教案设计

兴国县南坑中心小学刘祖汤

一、教案背景

1、学习对象：小学五年级学生学科：数学

2、课时：2

3、学生课前准备：三角板、三根不同长度的小棒、直尺

二、教学课题：三角形面积

三、教学目标：

1、使学生探索三角形的面积计算公式推导，发展空间观念。

2、渗透转换的思想，积极动脑思考的良好学习习惯。

四、教学分析：1、理解平行四边形面积计算，推导三角形面积是平行四边形面积的一半，因此，三角形面积公式是底×高÷2。

2、教学重点：理解三角形面积计算公式的推导，会根据公式进行计算。

3、教学难点：理解三角形面积公式的推导过程。

五、教学方法：讲、练相结合

教学过程：

一、复习

①以前已学过的的平面图形的面积计算公式。

②说一说长方形和平行四边形的面积计算公式。

提问：①长方形的面积＝长×宽

②平行四边形的面积＝底×高

二、导入新课

1、（教师做好教具）用两个完全一样的三角形（如锐角三角形、

理解三角形面积计算公式的推导,会根据公式进行计算。

钝角三角形、直角三角形)能拼成平行四边形吗？开始操作，分组让学生拼一拼，说说你是怎样拼的？

2、提问：看哪一组发现什么关系？

①这个平行四边形

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

《三角形面积的计算》说课稿

亚东二小韩兴华

一、教学内容

1.教材分析

今天我说课的内容是选自全日制聋校实验教材数学第十一册“三角形面积的计算”第一课时：教学三角形面积的计算公式。它是在学生充分认识了三角形的特征及掌握了长方形、正方形与平行四边形面积计算的基础上进行的, 若想使学生理解掌握好三角形面积公式，必须以平行四边形的面积计算以及三角形的底和高的相关知识为基础，运用迁移和同化理论，使三角形面积的计算公式这一新知识纳入到学生原有知识体系中。三角形面积计算同时也是梯形面积公式推导的前提和基础。在实际生活中，三角形面积计算也有着广泛的应用，因此要求学生必须认真学好这一内容。

2.教学目标

现代数学教学要求实现以人的发展为本的教学目标，教学应重视学生对数学学习的情感态度，对数学的认识思考及运用数学知识解决问题等方面目标的落实，强调学生在数学活动中的体验、感受、经历与探索，注意培养学生的创新意识与实践能力，根据新的教学理念与教材的编排特点，结合聋生已有的认知水平，以新的课程标准为指导，我制订了以下教学目标。

（1）通过操作让学生主动探索三角形面积计算公式，经历三角形面积公式的探索过程，进一步感受“转化”的数学思想。

（2）使学生理解三角形面积计算公式，能正确地计

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

含有小数的三角形面积计算

1．填空

（1）270平方厘米＝（ ）平方分米 1.4公顷＝（ ）平方米

（2）一个三角形的底是4分米，高是30厘米，面积是（ ）平方分米。

（3）一个三角形的高是7分米，底是8分米，和它等底等高的平行四边形的面积是（ ）平方分米。

（4）一个三角形的面积是4.8平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是（ ）

（5）一个三角形的面积比它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米，平行四边形的面积是（ ）平方分米，三角形的面积是（ ）平方分米。

（6）一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等，如果三角形的高是10米，那么平行四边形的高是（ ）米；如果平行四边形的高是10米，那么三角形的高是（ ）米。

（7）9800平方米=（ ）公顷 3.45公顷=（ ）公顷（ ）平方米

2．判断题。

（1）两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。（ ）

（2）等底等高的两个三角形，面积一定相等。（ ）

（3）三角形面积等于平行四边形面积的一半。（ ）

（4）三角形的底越长，面积就越大。（ ）

（5）三角形的底扩大2倍，高扩大3倍，面积就扩大6倍。（ ）

3

4 4.8分米

厘米