高中数学正弦函数余弦函数的性质

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知识?巧学

由任意角的三角函数的定义和三角函数的图象,可知正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，即y=sinx ，x ∈R ,y=cosx ，x ∈R .通过正、余弦函数的图象，可知它有如下的主要性质.

一、周期性

1.对于函数y=sinx ，x ∈R ，y=cosx ，x ∈R 的周期可由诱导公式一或通过观察它们的图象得出：任何一个常数2kπ(k ∈Z 且k≠0)都是这两个函数的周期，它们的最小正周期都是2π. 设T 是y=sinx 的最小正周期，且0＜T ＜2π，根据周期函数的定义，当x 取定义域内每一个值时，都有sin(x+T)=sinx.令x=

2π，代入上式，得sin(2π+T)=sin 2π=1. 但是sin(2

π+T)=cosT ，于是cosT=1，这表明T 的值是0,2π,…，即T=2kπ,k ∈Z ，这与0＜T ＜2π相矛盾.所以不存在小于2π的最小正周期,即y=sinx 的最小正周期为2π.

2.y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)型的函数的周期仅与函数解析式中x 的系数ω

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实用文档 2021年高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）课时作业 新人

教A 版必修4

课时目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期性及奇偶性．

1．函数的周期性

(1)对于函数f (x )，如果存在一个______________，使得当x 取定义域内的

____________时，都有____________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__________________．

2．正弦函数、余弦函数的周期性

由sin(x ＋2k π)＝________，cos(x ＋2k π)＝________知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是______函数，____________________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________．

3．正弦函数、余弦函数的奇偶性

(1)正弦函数y ＝

sin x 与余弦函数y ＝cos x 的定义

课题 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

教学目标

知识与技能了解周期函数、周期、最小正周期的定义．

过程与方法会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期

情感态度价值观

掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函

数的奇偶性．

重点判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”难点会判断简单三角函数的奇偶性

教学设计

教学内容教学环节与活动设计

探究点一周期函数的定义

一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常

数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝

f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不

为零的常数T叫做这个函数的周期．

(1)证明函数y＝sin x和y＝cos x都是周期函数．

(2)满足条件：f(x＋a)＝－f(x)(a为常数且a≠0)的函

数y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如

果不是，说明理由．

如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么

kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期．

(1)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈Z，

且k≠0)一定也是周期．例如，正弦函数y＝sin x和余

弦函数y＝cos x的最小正周期都是，它们的所有周

期可以表示为

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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)

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1.请回答：什么叫做周期函数？ 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期.

2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是 多少？最小正周期是多少？ 2k (k Z且k 0) 正弦函数、 余弦函数都是周期函数，都是它们的周期，最小正周期均是 2 .

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3.函数的周期性对于研究函数有什么意义？对于周期函数，如果我们能把握它在一个周期

内的情况，那么整个周期内的情况也就把握了 .这是研究周期函数的一个重要方法，即由一个周期

的情况，扩展到整个函数的情况.

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1.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性. (重点) 2.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小， 会求给出的三角函数的单调区间.(重点、难点)

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一、奇偶性探究1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？y1 -3 5 2

正弦曲线关于原点O对称 x 2

-2

3 2

-

2

O-1

3 2

2

5

第二课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质（二）

（一）复习与引入 上节课，我们学习了两种作正余弦函数的图象的方法，其中我们经常要用到的是五点法作图。（一图了事）

教师在黑板上用五点法画出函数y=sinx，y=cosx的图象（列表、描点、连线），同时说明五个关键点的坐标。强调作正余弦函数要抓住五个关键点。 （二）新课

一、正余弦函数作图 例1 画出下列函数的简图 （1）y=1+sinx,x∈[0,2π]; 说明：

1、第（1）题由教师演示（列表，描点，作图），第（2）题由学生自行完成，教师校对； 2、作正弦、余弦函数的图象必须抓住五个关键点；

3、第（1）题中的函数与函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象之间有何关系？（由函数y=sinx,x∈[0,2π]上的每一点向上平移一个单位长度或图象向上平移一个单位长度）第（2）题中的函数与函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象之间有何关系？（关于x轴对称）

4、口答：请根据函数y=sinx，y=cosx的图象，画出函数y=sinx-1，y=1-cosx的图象。 5、推广并归纳：y=sinx+m，y=cosx+n可由y=sinx，y=cosx经过怎样的变换而得到？（在y轴上平行移动）若在自变量

第二课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质（二）

（一）复习与引入 上节课，我们学习了两种作正余弦函数的图象的方法，其中我们经常要用到的是五点法作图。（一图了事）

教师在黑板上用五点法画出函数y=sinx，y=cosx的图象（列表、描点、连线），同时说明五个关键点的坐标。强调作正余弦函数要抓住五个关键点。 （二）新课

一、正余弦函数作图 例1 画出下列函数的简图 （1）y=1+sinx,x∈[0,2π]; 说明：

1、第（1）题由教师演示（列表，描点，作图），第（2）题由学生自行完成，教师校对； 2、作正弦、余弦函数的图象必须抓住五个关键点；

3、第（1）题中的函数与函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象之间有何关系？（由函数y=sinx,x∈[0,2π]上的每一点向上平移一个单位长度或图象向上平移一个单位长度）第（2）题中的函数与函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象之间有何关系？（关于x轴对称）

4、口答：请根据函数y=sinx，y=cosx的图象，画出函数y=sinx-1，y=1-cosx的图象。 5、推广并归纳：y=sinx+m，y=cosx+n可由y=sinx，y=cosx经过怎样的变换而得到？（在y轴上平行移动）若在自变量

第二课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质（二）

（一）复习与引入 上节课，我们学习了两种作正余弦函数的图象的方法，其中我们经常要用到的是五点法作图。（一图了事）

教师在黑板上用五点法画出函数y=sinx，y=cosx的图象（列表、描点、连线），同时说明五个关键点的坐标。强调作正余弦函数要抓住五个关键点。 （二）新课

一、正余弦函数作图 例1 画出下列函数的简图 （1）y=1+sinx,x∈[0,2π]; 说明：

1、第（1）题由教师演示（列表，描点，作图），第（2）题由学生自行完成，教师校对； 2、作正弦、余弦函数的图象必须抓住五个关键点；

3、第（1）题中的函数与函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象之间有何关系？（由函数y=sinx,x∈[0,2π]上的每一点向上平移一个单位长度或图象向上平移一个单位长度）第（2）题中的函数与函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象之间有何关系？（关于x轴对称）

4、口答：请根据函数y=sinx，y=cosx的图象，画出函数y=sinx-1，y=1-cosx的图象。 5、推广并归纳：y=sinx+m，y=cosx+n可由y=sinx，y=cosx经过怎样的变换而得到？（在y轴上平行移动）若在自变量

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正弦函数余弦函数的图象和性质

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正弦函数余弦函数的图象和性质(一 正弦函数余弦函数的图象和性质 一)

复习回顾 思考导学 学习新课 课时小结0

y

x

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1.

sin a, cosa, tan a 的几何意义是什么?yT

1

PA

正弦线MP

o

M

1

x

余弦线OM

正切线AT

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y = x2 2x的图象 2.如何用描点法作出函数 如何用描点法作出函数 图象? 如何用(1)列表 列表

1 0 1 2 y = x 2 2x 3 0 1 0

x

3 31 2 1 0

y

(2) 描点

.

1

(3)连线 连线

.

2

.

x返回

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1.能否用描点法作函数 y =sin x, x∈[0 2 ]的图象 能否用描点法作函数 能否用 , π 图象?只要能够确定该图象上的点 (x,sin

3.6正弦函数、余弦函数的图像和性质

教学目标：

1．会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像；

2.简化正弦、余弦函数的绘制过程，会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；

3．了解周期函数与最小正周期的意义，会求y=Asin(ωx+ψ)的周期；

4．通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质，培养学生的数形结合的能力。

教学重点：正弦函数、余弦函数的图象形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）

教学难点：1.利用正弦线画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象； 2.利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线； 3.周期函数与（最小正）周期的意义。 教学过程：

一、复习引入：

1.引进弧度制以后，y=sinx和y=cosx都可以看做是定义域为(-∞,+∞)的实变量函数。作为函数，我们首先要关注其图像特征。本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法。

2.复习正弦线、余弦线的概念

前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？

设任意角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），过点P作x轴的垂

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正弦函数余弦函数的图象和性质

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y

x

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1.

sin a, cosa, tan a 的几何意义是什么?yT

1

PA

正弦线MP

o

M

1

x

余弦线OM

正切线AT

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y = x2 2x的图象 2.如何用描点法作出函数 如何用描点法作出函数 图象? 如何用(1)列表 列表

1 0 1 2 y = x 2 2x 3 0 1 0

x

3 31 2 1 0

y

(2) 描点

.

1

(3)连线 连线

.

2

.

x返回

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1.能否用描点法作函数 y =sin x, x∈[0 2 ]的图象 能否用描点法作函数 能否用 , π 图象?只要能够确定该图象上的点 (x,sin