非线性调和方程的对应泛函

主要研究了Laplace算子△、双重Laplace算子△^2的Navier边界问题的第1和第2Hardy不等式。并由此得出一些推论.同时也讨论了Dirichlet边界问题的情况.

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20 0 7年 6月

湛江师范学院学报J OURNAL OF Z ANJ ANG H I NoRM AL COLL EGE

J n。0 7 u . 2 0V o128 N O 3 . .

第 2 8卷第 3期

非线性调和方程 Na e v r问题的 H d a y不等式 r熊辉

(莞理工学院数学教研室，东东莞 53 0 )东广 2 8 8摘要：要研究了 L pae子△、重 L pae子△主 alc算双 al算 c。的 N ve边界问题的第 1和第 2Had ai r ry不等式。并由此得出一些推论 .同时也讨论了 D r h e边界问题的情况 . i c lt i

关键词： ry不等式；和算子；调和算子； Had调双最佳常数中图分类号： 7 . O1 5 8文献标识码： A文章编号：0 6 4 0 ( 0 7 0—0 2— 0 10— 7220)3 03 4

0引言 对于如下半线性椭圆型 Na ir ve问题 (这时同时也是 D r he问题 ) i c l

《 计 算 方 法 》

期 末 论 文

论文题目 非线性方程的数值解法

学 院 专 业 班 级 姓 名 学 号 指 导 教 师 日 期

目 录

摘要 第1 章 绪论

1.1 问题的提出和研究目的和意义 1.2 国内外相关研究综述 1.3 论文的结构与研究方法 第2 章 非线性方程的数值解法 2.1 二分法 2.2 迭代法

2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶 2.4 牛顿迭代法 2.5 牛顿法的改进 2.6 插值

摘要",

数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。

在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如",在地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的踪影。本文讨论了非线性方程的数值解法：非线性方程的二分法、迭代法原理、牛顿迭代法，迭代法的收敛性条件及适合非线性方程的插值法等等。

第1 章 绪论

可以证明插值多项式L (x) n 存在并唯一。拉格朗日插值多项式的算法",step1.输入

非线性方程的数值解法

第三章 非线性方程(组)的数值解法

一．取步长h=1，试用搜索法确立f(x)=x3 2x 5含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于10 3。 【详解】

由于是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。f(0)= 5，

f(1)= 5，f(2)= 1，f(3)=16，因此，(2,3)中有一个正根。这就确立

了含根区间。

接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于10 3，计算结果如下表 迭代次数

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ak

bk

xk

2 2 2 2 2.0625 2.0938 2.0938 2.0938 2.0938 2.0938

3 2.5000 2.2500 2.1250 2.1250 2.1250 2.1094 2.1016 2.0977 2.0957

2.5 2.250 0 2.125 0 2.062 5 2.093 8 2.109 4 2.101 6 2.097 7 2.095 7 2.094 7

非线性方程的数值解法

二．对方程f(x)=x2 2sinx 2=0，用二分法求其在区间[1.5,2]内的根，要求误差小于0.01。 【详解】

用二分法求解方程在[1.5,2]内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表

非线性方程和常微分方程的解法

实验8 非线性方程和常微分方程的解法

一、实验目的

学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。

二、实验内容与要求

1. 非线性方程的整值解

（1）最小二乘法

格式：fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。

[例1.72] 求方程x e 0的解。

>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);

>>xl=fsolve(fc,0)

xl=

0.5671

问题1.28：求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解，如何求之？

先用命令fplot（’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10]）作图1.13，注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ，0]”是作y=0直线，即x轴。方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：

>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);

>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)

得出结果：

ans=

0.5918 3.1407 6.2832 9.4248

【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co

目 录

1引言 ............................................................................................................................................ 1 2线性赋范空间....................................................................................................................... 1

2.1预备知识............................................................................................................................. 2 2.2线性赋范空间的一些性质 .................................................................................................

非线性方程和常微分方程的解法

实验8 非线性方程和常微分方程的解法

一、实验目的

学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。

二、实验内容与要求

1. 非线性方程的整值解

（1）最小二乘法

格式：fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。

[例1.72] 求方程x e 0的解。

>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);

>>xl=fsolve(fc,0)

xl=

0.5671

问题1.28：求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解，如何求之？

先用命令fplot（’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10]）作图1.13，注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ，0]”是作y=0直线，即x轴。方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：

>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);

>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)

得出结果：

ans=

0.5918 3.1407 6.2832 9.4248

【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co

计算方法课程实验报告

实验名称 非线性方程求根

班级 教师 动创新13 姓名 封敏丽 赵美玲 地点 学号 201302400104 数学实验中心 序号 评分 一、 实验目的 ① 掌握二分法、牛顿迭代法等常用的非线性方程迭代算法； ② 了解迭代算法的设计原理及初值对收敛性的影响。 二、用文字或图表记录实验过程和结果 题目 求方程f(x)?x3?x2?3x?3?0在1.5 附近的根.（误差限为??1e?6,??1e?9） （1）编程实现二分法，并求解上述非线性方程的根（有根区间自己确定）。 （2）设计弦截法，计算原方程的根。 参考答案 原方程的根为x?1.732051 （1）有根区间取[1.5 2]； 用Matlab进行运算，先编写程序如下： f=input('输入函数f(x)='); qujian=input('输入区间='); err=input('输入误差='); a=qujian(1); b=qujian(2); yc=1; k=0;%计二分法的次数 while((b-a)>err&yc~=0); c=(a+b)/2; x=a;

调和方程狄利克雷内外问题的唯一性及稳定性。

（1）原理 3.1 （极值原理） 对于不恒等于常数的调和函数u(x,y,z)，其在区域?的任何内点上的值不可能达到它在?上的上界或下界。

推论1 在有限区域?内调和、在???上连续连续的函数必在边界?上取得最大值和最小值；

推论2 设u及v都是区域?内的调和函数，且在???上连续。如果在?的边界?上成立着不等式u?v，那么在?内上述不等式也成立；并且只有在u?v时，在?内才会有等式成立的可能。

（2）调和方程狄利克雷内问题

??2u?2u?2u3.1)??u?2?2?2?0......( ?x?y?z??u??g.......................(3.2)?现在证明解如果存在必是唯一的，而且连续的依赖于所给定的边界条件f.

证：假设有两个调和函数u1(x,y,z)和u2(x,y,z)，它们在有界区域?的边界?上完全相同，则它们的差u?u1?u2在?中也满足方程（3.1），而在?上等于零。于是按照极值原理的推论1，函数u在区域?上最大值及最小值均为零，即u?0.因此u1?u2，即狄利克雷内问题的解是唯一的。

?其次，设在区域?的边界?上给定了函数f和f，而且在?上处处成立f?f??，这里

非线性方程求根 一、证明：对任意初始值01,13x ??∈????，由不动点迭代12k x k x -+=，k=0,1,2,…产生的序

列{}k x 都收敛于方程2x x -=在1,13??????的唯一

根p 。

若要求p 的近似值的误差不超过410-（取初始值023x

=），试估计迭代次数。

解：由()12k x k k x x ?-+==知迭代函数()2x

x ?-= 对[]1/3,1x ∈，有 ()()()[][]1,1/30.5,0.79371/3,1x ???∈=????? 另外有

()1/32ln 22

ln 20.55011x x ?--'=-≤=< 由定理得本题证明部分。

为使解p 的近似值k x 的误差不超过410-，根据误

差估计式：

10,1k k L x p x x L -≤--

令 410101k L x x L --<-，得k 应取为

10

4ln 10ln 111.22ln x x L k L ---->≈

取k=12可使近似解的误差不超过410-

二、证明： 设()x ?在[],a b 上连续可微，且()01x ?'<<，()x x ?=在[],a b 上有根*x ，0[,]x a b ∈，但*0x x ≠，则由

()1,

0,1,2...k k x x k ?+== 产生的迭代序列{}k x 单调收敛于*x 。

证明：因为()x x ?=在[],a b 上有根*x ，故有()**

x

调和方程狄利克雷内外问题的唯一性及稳定性。

（1）原理 3.1 （极值原理） 对于不恒等于常数的调和函数u(x,y,z)，其在区域?的任何内点上的值不可能达到它在?上的上界或下界。

推论1 在有限区域?内调和、在???上连续连续的函数必在边界?上取得最大值和最小值；

推论2 设u及v都是区域?内的调和函数，且在???上连续。如果在?的边界?上成立着不等式u?v，那么在?内上述不等式也成立；并且只有在u?v时，在?内才会有等式成立的可能。

（2）调和方程狄利克雷内问题

??2u?2u?2u3.1)??u?2?2?2?0......( ?x?y?z??u??g.......................(3.2)?现在证明解如果存在必是唯一的，而且连续的依赖于所给定的边界条件f.

证：假设有两个调和函数u1(x,y,z)和u2(x,y,z)，它们在有界区域?的边界?上完全相同，则它们的差u?u1?u2在?中也满足方程（3.1），而在?上等于零。于是按照极值原理的推论1，函数u在区域?上最大值及最小值均为零，即u?0.因此u1?u2，即狄利克雷内问题的解是唯一的。

?其次，设在区域?的边界?上给定了函数f和f，而且在?上处处成立f?f??，这里