极限与连续函数的概念

一、函数、极限、连续重要概念公式定理

（一）数列极限的定义与收敛数列的性质

数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.

收敛数列的性质：

(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞

=,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞

=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞

=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.

(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .

（二）函数极限的定义

（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)

1．海涅定理：()0lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞

=． 2.充要条件：(1)()()000lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=?==;

(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A

高等数学上册 第一章 函数与极限课件 好东西,一起分享

第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性

第一章

高等数学上册 第一章 函数与极限课件 好东西,一起分享

一、四则运算的连续性定理1:若函数 f ( x ), g( x )在点 x0处连续, f ( x) 则 f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ), ( g ( x 0 ) 0) g( x ) 在点 x0处也连续.

即连续函数经过四则运算后还是连续的。例如 sin x, cos x在 ( , )内连续,sin x 故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续. cos x

即三角函数在其定义域内连续.

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二、反函数的连续性定理2:单调递增(递减)的连续函数必有 单调递增(递减)的连续反函数.例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续, 2 2 故 y arcsin x 在[ 1,1]上也是单调增加且连续.

同理 y arccos x 在[ 1,1]上单调减少且连续;

y arctan x, y arc

函数的一致连续性

维普资讯

20 3 11 0年月

安庆师范学院学报 (自然科学版)J u n fAn n a h r ol g ( tr inc o ral qig Te c es C l e Nau al o e Sce e)

No 2003 v.Vo . No. 19 4

第 9卷第 4期

开区间上的连续函数覃运初(池学院数学系，广西宜州 5 6 0 )河 4 3 0

擒

要本文讨论开区间上的连续函数的有界性、一致性、介值性与最值性

关键词有界性；致连续性；值性；一介最值性中囝分类号 0 7 .文献标识码： 14 1 A文章编号 0 7 4 6 ( 0 3 0 - 0 4 - 0 10- 2 020)4 03 2

设函数，(在闭区间[ 6上连续，有 z)口，]则①,(在闭区间[ 6上有界， z)口，]即 M> O V z∈ F 6, l z)≤ M , a,]有厂( l

②,(在闭区间[ h _取到最大值与最小值， z)口， i t:即 zIz∈ F 6, f( ),, z ), a,]使 x。一，厂(:一M, V l且 ∈[ 6,,≤ f(≤ M口，]有， l z)⑧ V∈ m,] c F 6使厂( ) M,∈ a,], c

第一章 函数与极限（§10连续函数的运算与初等函数的连续性）

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性

要求：会利用函数的连续性求函数的极限，会讨论分段函数的连续性。 重点：利用函数的连续性求函数的极限。 难点：分段函数连续性的讨论。

作业：习题1－10（P,24)5)6)7),33)4),4 86）1问题提出 为了讨论函数的连续性，用定义逐点讨论将是很困难的．但是，如果我们用连续函数的一些特殊性质来讨论将会方便得多，因此来讨论连续函数的四则运算，复合运算，从而讨论我们主要研究对象――初等函数连续性．

一、连续函数的和、差、积及商的连续性

定理1 有限个在某点连续函数的和（差）是在该点的连续函数． 定理2 有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数．

定理3 两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数，且分母在该点不为零．

sinxcosx,cotx?，因为sinx,cosx在区间(??,??)内连续，cosxsinx故由定理3知正切tanx和余切函数cotx在它们的定义域内是连续函数．

例1． 函数tanx?结论2 三角函数在它们的定义域内是连续函数．

二、反函数与复合函数的连续性

定理4 如果函数y?f(x)在区间Ix上单调

第一章 函数、极限与连续

第一讲：函数

一、是非题

1．y? （ ） x2与y?x相同；

2.y?(2x?2?x)ln(x?1?x2)是奇函数； （ 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ 4. y?x2(x?0)是偶函数； （ 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ 7.复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域； （ 8.y?f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界。 （ 二、填空题

1.函数y?f(x)与其反函数y?

第一章、函数、极限和连续（约20%）

一、函数

（一）．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。

1、函数的概念：

设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数x?D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y?f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。y的取值范围叫函数的值域。已知函数

f(x)的定义域，求函数f(g(x))的定义域。

2、定义域的求法原则

（1）分母不为零 （2）x，x?0 （3）lnx,x?0 （4）arcsinx,arccosx,?1?x?1

（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集 例1、 求的定义域：（1）y?4?x2?ln?x2?1?

（2） y?1+x?ln?4?x??（3）y?【提升】

1 x?3x2?4?1 x?1例2、 当0?x?1是函数f(x)的定义域，求f(sin2x)的定义域。 例3、当0?x?4是函数f(x?2x?4)的定义域，求f(x)的定义域。

3、表达式、函数值

例4、下列各对函数中，两个函数相等的是 ———————

专插本数学复习题（兰 星）

第一章 函数、极限与连续

第一讲：函数

一、是非题

1．y? （ ） x2与y?x相同；

2.y?(2x?2?x)ln(x?1?x2)是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. y?x2(x?0)是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）

6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ） 7.复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域； （ ） 8.y?f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界。

专插本数学复习题（兰 星）

第一章 函数、极限与连续

第一讲：函数

一、是非题

1．y? （ ） x2与y?x相同；

2.y?(2x?2?x)ln(x?1?x2)是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. y?x2(x?0)是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）

6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ） 7.复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域； （ ） 8.y?f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界。

数列、函数极限和函数连续性

数列极限

定义1（??N语言）：设?an?是个数列，a是一个常数，若???0，?正整数N，使得当n?N时，都有an?a??，则称a是数列?an?当n无限增大时的极限，或称?an?收敛于a，记作liman?a，或an?a?n????.这时，也称?an?的极限

n???存在.

定义2（A?N语言）：若A?0,?正整数N，使得当n?N时，都有an?A,则称

??是数列?an?当n无限增大时的非正常极限，或称?an?发散于??，记作

liman???n???或an????n????，这时，称?an?有非正常极限，对于??,?的定

义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.

1.2 数列极限求法的常用定理

定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若?an?和?bn?为收敛数列，则

?an?bn?,?an?bn?,?an?bn?也都是收敛数列，且有

lim?an?bn??liman?limbn, lima?b?lima?limb.?nn?nnn??n??n??n??n??n??

?an?若再假设bn?0及limbn?0，则??也是收敛数列，且有

《高等数学》（微积分）教案

【教学内容】§1.1 函数

【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】2学时 【教学过程】

一、组织教学，引入新课

极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。 二、讲授新课 （一）实数概述 1、实数与数轴 （1）实数系表 （2）实数与数轴关系

?封闭性??有序性（3）实数的性质： ?

?稠密性?连续性?2、实数的绝对值

?x,x?0（1）绝对值的定义：x??

?x,x?0?（2）绝对值的几何意义 （3）绝对值的性质

练习：解下列绝对值不等式：① x?5?3，② x?1?2 3、区间

（1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间

设a与b均为实数，且a?b，则

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《高等数学》（微积分）教案

数集{xa?x?b}为以a、b为端点的闭区间，记作[a，b] 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的开区间，记作（