高等数学上第一章思维导图

高等数学

多元函数微分法 及其应用学习总结

一．知识结构图

多元函数微分学：

? ? ? ? ? ? ? ?

基本概念（区域.定义.极限.连续） 偏导数（定义.计算.高阶偏导数）

全微分（定义.计算.必要条件.充分条件） 多元复合函数导数（链式法则.全导数） 隐函数求导法则（一个方程.方程组）

多元函数微分学的几何应用（曲线以及曲面的切线和法平面） 方向导数及其梯度

多元函数最值及其求法

二．内容提要

1) 二次极限定义： 设f（x，y）的区域D内有定义，p0(x0,y0)是D的聚点，若??>0，???0，

当点P(x,y)满足0?|pp0|

x?x0,y?yolimf(x,y)?A或

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A.

2） 二元函数连续性定义

设函数Z?f(x,y)在点p0(x0,y0)的某个邻域U(P0,?)内有定义，若

x?x0,y?y0limf(x,y)?f(x0,y0)，则称二元函数Z?f(x,y)在点p0(x0,y0)处连续，点

p0(x0,y0)称为f(x,y)的连续点。

设函数Z?f(x,y)在点p0(x0,y0)的某个邻域U(P0,?)内有定义，分别给自变量x,

第一章 从实验学化学-1- 化学实验基本方法

过滤 一帖、 二低、 三靠 分离固体和液体的混合体时， 除去液体中不溶性固体。（漏斗、 滤纸、玻璃棒、 烧杯）

蒸发 不断搅拌， 有大量晶体时就应熄灯， 余热蒸发至干， 可防过热而迸溅 把稀溶液浓缩或把含固态溶质的溶液干， 在蒸发皿进行蒸发

蒸馏 ①液体体积②加热方式③温度计水银球位置④冷却的水流方向⑤防液体暴沸 利用沸点不同除去液体混合物中难挥发或不挥发的杂质（蒸馏烧瓶、 酒精灯、 温度计、 冷凝管、 接液管、 锥形瓶）

萃取 萃取剂： 原溶液中的溶剂互不相溶； ② 对溶质的溶解度要远大于原溶剂； ③ 要易于挥发。 利用溶质在互不相溶的溶剂里溶解度的不同， 用一种溶剂把溶质从它与另一溶剂所组成的溶液里提取出来的操作， 主要仪器： 分液漏斗

分液 下层的液体从下端放出， 上层从上口倒出 把互不相溶的两种液体分开的操作， 与萃取配合使用的

过滤器上洗涤沉淀的操作 向漏斗里注入蒸馏水， 使水面没过沉淀物， 等水流完后， 重复操作数次

配制一定物质的量浓度的溶液 需用的仪器 托盘天平（或量筒）、 烧杯、 玻璃棒、 容量瓶、 胶头滴管

主要步骤： ⑴ 计算 ⑵ 称量（如是液体就用滴定管量取） ⑶ 溶解（少量水， 搅拌，

第一章 函数与极限分析基础

函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁

第一章

第一节 映射与函数一、集合 二、映射 三、函数

机动

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结束

一、 集合1. 定义及表示法

定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集*表示 M 中排除 0 的集 ; M

M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： M x x 所具有的特征

ai

n i 1

自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n

例: 整数集合 Z x x N 或 x N p p 与 q 互质 p Z, q N , 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理

高等数学（上）第一章练习题

一．填空题 1． lim?xsinx????12sinx????_________. xx?x?x?a?2． lim???9， 则a?__________. x??x?a??x2?ax?b3． 若lim?5，则a?___________,b?___________.

x?11?xex?e?x?24． lim?__________.

x?02x?(1?2x)1xx?05． f(x)??在x?0连续，则k?

?ln(1?x)?kx?06． 已知当x?0时，1?ax?2?13?1与cosx?1是等价无穷小，则常数a?________.

?x2?kx?17． 设f(x)?? 处处连续, 则k?__________.

?cos?xx?1?a?bx2?8．设f(x)??sinbx??x9．lim1?2?3n??x?0x?0 在x?0处间断,则常数a和b应满足关系____________.

?nn?1n?

10．lim?sinx?1?sinx????x???

11．lim?x2?x?1?ax?b?

高等数学（上）第一章练习题

一．填空题 1． lim?xsinx????12sinx????_________. xx?x?x?a?2． lim???9， 则a?__________. x??x?a??x2?ax?b3． 若lim?5，则a?___________,b?___________.

x?11?xex?e?x?24． lim?__________.

x?02x?(1?2x)1xx?05． f(x)??在x?0连续，则k?

?ln(1?x)?kx?06． 已知当x?0时，1?ax?2?13?1与cosx?1是等价无穷小，则常数a?________.

?x2?kx?17． 设f(x)?? 处处连续, 则k?__________.

?cos?xx?1?a?bx2?8．设f(x)??sinbx??x9．lim1?2?3n??x?0x?0 在x?0处间断,则常数a和b应满足关系____________.

?nn?1n?

10．lim?sinx?1?sinx????x???

11．lim?x2?x?1?ax?b?

高等数学第一章函数与极限试题

一. 选择题

1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有

（A） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数f(x)?1x,则 ex?1?1（A） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点

（C） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.

x?113．设f(x)=x，x≠0,1,则f[f(x)]= ( )

11A） 1－x B） 1?x C） X D） x

4．下列各式正确的是 ( )

xA） lim(1+ 1=1 B） x?0?x)lim(1x=e

x?0?1+ x)x?xC） lim(1－ 1=-e D） lim(1+ 1x??x))=e

x??x 1

5．已知limx?ax??(x?a)x?9，则a?(

习题1—1（A ）

1．判断下列论述是否正确？并说明理由：

（1）有理数集是实数集的子集，但不能说实数集是实数集的子集，因为一个集合的子集所含的元素一定比该集合所含的元素“少”；

(2) 由于函数()y f x =的图像与其反函数1()x f

y -=的图像是同一条曲线，因此这两个函数实际是同一个函数；

(3) 若将函数(),()y f t t g x ==复合为复合函数(()),y f g x =函数()t g x =的值域必须为 函数()y f t =的定义域；

(4) 函数()y f x =在点集I 上有界的充分必要条件是它在I 上有最大值与最小值；

(5) 过函数()y f x =定义域内的任意一点做x 轴的垂线，该垂线与函数的图形必交于且只交于一点；

(6) 函数x

y 1=是其定义域内无界函数． 答：（1）不正确．集合本身也是其子集．

（2）不正确．如x y ln =与y

x e =是不同的函数，前者是指数函数，后者是对数函数．

（3）不正确．如x t t y -==1ln ，，复合为)1ln(x y -=，函数x t -=1的值域为全体

实数，而函数t y ln =的定义域为全体正实数．

（4）不正确．)(x f 在I 上有最大值与最小值是)(x f 在I

第一章 函数与极限习题课

Ⅰ 数列与函数的极限

一、数列极限1.数列极限的定义 数列极限的定义

lim x n = a n→ ∞

ε > 0, N > 0, 使n > N时, 恒有 x n a < ε.几何解释: 几何解释

a εx 2 x1 x N + 1

2εa

a+εx N + 2 x3x

当n > N时, 所有的点 x n 都落在 ( a ε , a + ε )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.

2.数列极限的运算法则 .

(1) lim(ax n ± byn ) = a lim x n ± b lim yn = aA ± bBn→ ∞ n→ ∞ n→ ∞

( 2) lim( x n yn ) = lim x n lim yn = ABn→ ∞ n→ ∞ n→ ∞

x n lim x n A ( 3) lim ( B ≠ 0时 ) = n→ ∞ = n→ ∞ y lim yn B nn→ ∞

3.数列极限的主要性质 .

(1)有界性：若 lim x n = A, 则 M > 0, 使得 | x n |< M 有界性：n→ ∞

( 2)唯一性：若 lim x n

高等数学上(同济版)第一章课件

第一章函数与极限 第一章函数与极限

第五节 极限运算法则一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则1

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一、 无穷小运算法则定理1. 定理 有限个无穷小的和也是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设

ε >0,

当 当

时,有 时,有

取 δ = m { δ1 , δ2 }, 则当 0 < x x0 <δ 时, 有 in

α + β ≤ α + β < ε +ε =ε 2 2因此 这说明当 时, 为无穷小量 .2

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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 举例说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 无穷小之和不一定 举例说明 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 例如，n n n lim 2 + 2 + 2 + =1 n→ ∞ n +π n +2 π n +n π

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定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证: 设x→ 0 x

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

高等数学上册导学案 目 录

第一部分 常考题型与相关知识提要 1 第二部分 理工大学01—08级高等数学(上)期末试题集（8套题） 18 01—08级高等数学(上)期末试题试题参考解答 26

第三部分 高等数学(上)期末模拟练习题（5套题） 39

模拟试题参考解答 46

第四部分 09级高等数学（上）考前最后冲刺题（1套题） 57

第一部分 常考题型与相关知识提要

题型一 求极限的题型 相关知识点提要 须熟记下列极限: (1)基本的极限：

?0, q?1? 1）limqn??， 2）limna?1,(a?0)，limnn?1 1, q?1n??n??n???发散, q?1,q??1??0,n?m?anxn?