勾股定理是谁最早提出并证明的
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勾股定理的证明方法
篇一:勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明(看前5个就可以了)
【证法1】(课本的证明)
做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即
11
a2?b2?4?ab?c2?4?ab
22, 整理得 a2?b2?c2.
【证法2】(邹元治证明)
以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积
1ab
等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、
C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,
∴ ∠D
学位论文-—勾股定理的无字证明勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明
【证法1】(课本的证明)
abba aaca a cbc ab bcb cbbca a abb做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即
11a2?b2?4?ab?c2?4?ab22, 整理得 a2?b2?c2.
【证法2】(邹元治证明)
以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积
1ab2等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、
C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, GDb∴ ∠AHE = ∠BEF.
a∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, c∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. H∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
c∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 b正方形. 它的面积等于c2.
a∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, AE∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 9
运用勾股定理证明与计算
勾股定理
学习目标
掌握勾股定理,会用面积法证明勾股定理。
导学过程
一、 忆一忆
A1、直角△ABC的主要性质是:∠C=90°(用几何语言表示)
D(1)两锐角之间的关系:
(2)若D为斜边中点,则斜边中线是
C(3)若∠B=30°,则∠B的对边和斜边的关系是: 二、学一学 1、(1)、画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。 (2)、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长
B问题:你是否发现32+42与52,52+122和132的关系,即32+4252,52+122132,
命题1:如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么。
三、合作探究:
方法1、已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证: a2?b2?c2 证明:4S△+S小正=S大正
accbbaaabca
c bc根据的等量关系:由此我们得出勾股定理
ab的内容是
方法2、已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、 ∠C的对边为a、b、c。 求证:a2+b2=c2。
AD a根据如图所示,利用面积法证明勾股定理 b
cEcBbCaabcbabDCbAcaB
四、练一练:
勾股定理的十六种证明方法大学论文
勾股定理的十六种证明方法
【证法1】
此主题相关图片如下:
做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即 a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2) 整理得到:a^2+b^2=c^2。 【证法2】
以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的
正方形. 它的面积等于c^2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GH
勾股定理的逆定理(简)
一、课题:勾股定理的逆定理 二、课时数:1课时
三、主备人:简远福 四、执教人:简远福
五、班级:八(5)班 六、授课时间:2015年3月23日第二节
七、本组备课成员:向利奎、吴明瑞、简远福
17.2 勾股定理的逆定理(1)
教学目标
1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理. 2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系. 重点、难点
1.重点:掌握勾股定理的逆定理及证明. 2.难点:勾股定理的逆定理的证明. 3.难点的突破方法:
先让学生阅读课本第31页古埃及人制作三角形的方法,并要求学生做简单介绍,再动手操作,画好图形后剪下放到一起观察能否重合,激发学生的兴趣和求知欲,再探究理论证明方法.充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力,由实践到理论学生更容易接受.
为学生搭好台阶,扫清障碍.
⑴如何判断一个三角形是直角三角形,现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形,从而将问题转化为如何判断一个角是直角.
⑵利用已知条件作一个直角三角形,再证明和原三角形全等,使问题得以解决.
⑶先做直角,再截
勾股定理
北师大版八年级上册数学 第一章 探究勾股定理专项练习
探索勾股定理(01) 1.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,若CD⊥AB,DE
⊥BC
垂足分
别是D
、E.则图中全等的三角形共有( )
2.如图,在边长为4的等边三角形ABC中,AD是BC
边上的高,点E,F是AD上的两点,则图中阴影部分的面积是( )
4.如图,点A是5×5网格图形中的一个格点(小正方形的顶点),图中每个小
正方形的边长为1,以A为其中的一个顶点,面积等于5/2的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数是( )
5.如图,在把易拉罐中
的水
倒入
一
个圆
水杯的过程中,若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触,则此时水杯中的水深为( )
6.如图,将圆桶中的水倒入一个直径为40cm
,高为55cm的圆口容器中,圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度.若使容器中的水面与圆桶相接触,则容器中水的深度至少应为
( )
7.如图,△ABC中,有一点P在AC上移动.若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为( )
8
.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则
AC
勾股定理的别名
简介 勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”(相传大禹治水时,就会运用此定理来解决治水中的计算问题),在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。(毕达哥拉斯发现了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”)。 他们发现勾股定理的时间都比中国晚(中国是最早发现这一几何宝藏的国家)。目前初二学生开始学习,教材的证明方法大多采用赵爽弦图,证明使用青朱出入图。 勾股定理是一个基本的几何定理,它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。 勾股定理的来源 毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。 毕达哥拉斯 在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。埃及称为埃及三角形。 实际上,早在毕达哥拉斯之前,许多民族已经发现了这个事实,而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据,有案可查。相反,毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来,关于他的种种传说都是后人辗转传播的。可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平,其所以
“勾股定理的应用”
篇一:勾股定理的应用举例练习题
勾股定理的应用举例练习题
1、如图所示,已知在三角形纸片ABC中,BC=3,AB=6,∠BCA=90°.在AC上取一点E,以BE为折痕,使AB的一部分与BC重合,A与BC延长线上的点D重合,则DE的长度为( )
A.6B.3C. D.
2、如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1,一蚂蚁从A点出发,沿长方体表面爬到C1点处觅食,则蚂蚁所行路程的最小值为( )
A.B.C.
D.
3、小明家与学校的距离仅有500m,但需要拐一个直角弯才能到达,已知拐弯处到学校有400m,则家门口到拐弯处有( )
A.300mB.350m C.400mD.450m
4、小颖家在学校正东600米,小丽家在学校正北800米,小颖和小丽家的直线距离为( )
A.600米 B.800米 C.1000米D.不能确定
5、如图一个圆桶儿,底面直径为12cm,高为8cm,则桶内能容下的最长的木棒为( )
A.8cmB.10cm C.4cmD.20cm
6、如图,现要把阶梯形楼梯铺上地毯,所需地毯长度为( )
A.米B.4米C.8米 D.(4+)米
7、如图,一场大风后,一棵与地面垂直的树在离地面1m处的A点折断,树尖B
18.2 勾股定理的逆定理(1)
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18.2 勾股定理的逆定理
从容说课
本节从古埃及人画直角的方法谈起,然后让学生画一些三角形(已知三边,并且两边的平方和等于第三边的平方).从而发现画出的三角形是直角三角形.猜想如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,即教科书中的命题2,把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较,?引出逆命题的概念.接着探究证明命题2的思路,用三角形全等证明命题2后,顺势引出逆定理的概念.
命题1,命题2属于原命题成立,逆命题也成立的情况.为了防止学生由此误认为原命题成立,逆命题一定成立,教科书特别举例说明有的原命题成立,逆命题不成立. 本节的重点是,如何用三角形三边之间的关系判断一个三角形是否为直角三角形.难点是会应用直角三角形判别方法解决实际问题,教学时要给学生充分交流的时间和空间,在学生学会自主学习.
18.2 勾股定理的逆定理(一)
教学时间 第5课时 三维目标 一、知识与技能
1.掌握直角三角形的判别条件. 2.熟记一些勾股数.
3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法. 二、过程与方法
18.2 勾股定理的逆定理(1)-
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18.2 勾股定理的逆定理
从容说课
本节从古埃及人画直角的方法谈起,然后让学生画一些三角形(已知三边,并且两边的平方和等于第三边的平方).从而发现画出的三角形是直角三角形.猜想如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,即教科书中的命题2,把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较,?引出逆命题的概念.接着探究证明命题2的思路,用三角形全等证明命题2后,顺势引出逆定理的概念.
命题1,命题2属于原命题成立,逆命题也成立的情况.为了防止学生由此误认为原命题成立,逆命题一定成立,教科书特别举例说明有的原命题成立,逆命题不成立. 本节的重点是,如何用三角形三边之间的关系判断一个三角形是否为直角三角形.难点是会应用直角三角形判别方法解决实际问题,教学时要给学生充分交流的时间和空间,在学生学会自主学习.
18.2 勾股定理的逆定理(一)
教学时间 第5课时 三维目标 一、知识与技能
1.掌握直角三角形的判别条件. 2.熟记一些勾股数.
3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法. 二、过程与方法