121212的数列规律公式

一 定义（n≥2，n∈N）

1 等差：an－an?1=d 1′ 等比： 二 通项公式

1

?an=q（q≠0） an?1an?a1?(n?1)d （推导方法：累加法） an?am?(n?m)d?d=an?amn?m

1′an?a1?qn?1(a1?q?0) （推导方法：累乘法） an?am?qn?m?qn?m=anam三 ?an?性质

1 A是a与b的等差中项?a，A，b成等差数列2A?a?b?A=a+b。 221′ G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G?a?b?G??ab。

2 m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，则am?an?ap?aq；当n+m=2k时,得an?am=2ak 2′ m?n?p?q(m,n,p,q?N?) 则am?an?ap?aq；当n+m=2k时,得an?am=ak2 3 {an},{bn}为等差数列,则{an?k},{k?an},{an?bn},{kan?b}为等差数列. 3′{an},{bn}为等比数列,则{a1},{k?an},{an2},{a2n?1},{anbn}{n}为等比数列. anbn4 等差?an?中，an

求数列通项公式的常用方法

类型1、

an?1?an?f(n)型，（f(n)可求前n项和），

?a1?(a2?a1)????(an?an?1)求通项公式的方法称为累加法。

{an}的首项a1?1，an?1?an?2n（n?N*）求通项公式。

利0用an例.已知

解：

an?an?1?2(n?1)0

an?1?an?2?2(n?2)

0

an?2?an?3?2(n?3)…… a3?a2?2?2

0

?a2?a1?2?1

an?a1?2[1?2???(n?1)]?n2?n

2a?n?n?1 n∴

变式1.已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。

变式2. 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。

变式3. 已知数列{an}中, a1?1,an?3n?1?an-1(n?2)求数列?an?的通项公式.

1n(n?1)变式4. 已知数列

?a?满足an1?1，

an?1?an?，求

?an?的通项公式。

1

类型2、

an?1?f(n)?an型。

f(n)是常数时，可归为等比数列。

f(n)可求积，利用恒等式a?aa2a3???an(a?0,n?2)求通项公式的方法称为

n1na1a2

Just do it !

常见递推数列通项公式的求法

类型一：an?1?kan?b

（1）累加法：k?1时，an?1?an?b?{an}是等差数列，an?b?n?(a1?b)

例1：已知{an}的首项a1?1，an?1?an?2n（n?N*）求通项公式。

解：an?an?1?2(n?1)

an?1?an?2?2(n?2)

an?2?an?3?2(n?3)…… a3?a2?2?2

?a2?a1?2?1

an?a1?2[1?2???(n?1)]?n2?n

∴ a2n?n?n?1

（2）待定系数法：k?1时，设an?1?m?k(an?m)

∴ an?1?kam?bn?km?m，比较系数：km?m?b，、∴

k?1，

∴

{an?bk?1}是等比数列，公比为k，首项为ab1?k?1

1 ∴

an?bk?1?(abbb1?k?1)?kn? ∴

an?(a1?k?1)?kn?1?k?1 例2：已知{an}满足a1?3，an?1?2an?1求通项公式。

解：设an?1?m?2(an?m) an?1?2an?m ∴ m?1 ∴ {an?1?1}是以4为首项，2为公比为等比数列 ∴ an?1n?1?4?2

求数列通项公式的方法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。

an?1an3an?1an3an????{}是，则，故数列n?1nn?1nn2222222an3a23??1?1?(n?1)以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，21222n231n所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2。

22解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为

an?1an3?n?，说明数列n?1222aan3{n}?1?(n?1)是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列nn222{an}的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(

数学是中职必修课程之一,对学生将来的就业和升学都起着极其重要的作用。而等差数列是中职数学研究的两个基本数列之一。等差数列的前项和公式则是等差数列中的一个重要公式。作者围绕《等差数列的前n项和公式(一)》这节课的教学设计说明,通过试讲及修改的全过程,谈谈在新课程标准理念下对课堂教学设计的反恩和体会。

.

_

等差数列求和公式的教学反思杜莹梅(苏省丰县中等专业学校，苏丰县江江摘要：学是中职必修课程之一，学生将来的就业数对和升学都起着极其重要的作用。而等差数列是中职数学研究的两个基本数列之一等差数列的前项和公式则是等差数列 中的一个重要公式。者围绕《差数列的前 n作等项和公式 ( )一》这节课的教学设计说明，过试讲及修改的全过程，谈在新通谈课程标准理念下对课堂教学设计的反恩和体会。 关键词：差数列求和公式公式推导教学反思等

210 ) 2 7 0

二、学重难点教 ( )学重点一教1究并获得等差数列的前n和公式： .探项 2等差数列前 n和公式的初步应用学难点。 .项 ( )学难点二教“尾配对法”推导方法。首一

高中阶段数学新课程标准要求教师从片面注重数学知识的传授转变到注重培养学生的数学思维。教师不仅要关注学习结果，而且要关注学生的数学学习过程。在教学过程

杨辉三角的规律以及定理

1 二项式定理与杨辉三角

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。

杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。

由上式得出： (a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a

此代数式的系数为： 1 2 1

则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢？答案为： a

由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1

但 4

似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b)

的展开式。

展开式为： a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4

由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：

1 (11 0)

1 1 (11 1)

1 2 1 (11 2)

1 3 3 1 (11 3)

1 4 6 4 1 (11 4)

1 5 10 10 5 1 (11 5

)

1 6 15 20 15 6 1 (11 6)

杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10

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4.附公式函数列表

4.1行情函数

HIGH 最高价 返回该周期最高价。 用法： HIGH H 最高价

返回该周期最高价。 用法： H LOW 最低价 返回该周期最低价。 用法： LOW L 最低价

返回该周期最低价。 用法： L CLOSE 收盘价 返回该周期收盘价。 用法： CLOSE C 收盘价

返回该周期收盘价。 用法： C VOL 成交量 返回该周期成交量。 用法： VOL V 成交量

返回该周期成交量。 用法： V OPEN 开盘价

返回该周期开盘价。 用法： OPEN O： 开盘价

返回该周期开盘价。 用法： O

ADVANCE 上涨家数 返回该周期上涨家数。

用法： ADVANCE (本函数仅对大盘有效) DECLINE 下跌家数

返回该周期下跌家数。

用法： DECLINE (本函数仅对大盘有效) AMOUNT 成交额

深圳市财富趋势科技有限责任公司 第 2 页 共 15 页

返回该周期成交额。

用法： AMOUNT ASKPRICE 委卖

等差数列与等比数列通项求法,求和方法大全

数列通项公式的求法

一、观察法（关键是找出各项与项数n的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， （2）1,2（10）a, b, a, b, a, b, a b 0

1

24916

,3,4, （3）1,510172

,31,2212, （4）, ,52334

, , 45

2nn2

; （4）an ( 1)n 1 ; （3）an 答案：（1）an 10 1 （2）an n 2 n 1n 1n 1

n

n n 1

（5）an= 6）an=

2

1

n

8 1 an= 1 （8）an 6n 5 （7）n

9 10

n

1

2

n 1

1

9）an

1

n 1

1

2n

（10）an

1

n 1

1

2

1 1 a b

2

n(a1 an)n(a2 an 1)n(a3 an 2)n(n 1) na1 d 2222

二、公式法1、等差数列求和公式：Sn

(q 1) na1 n

2、等比数列求和公式：Sn a1(1 q)a1 anq

(q 1)

1 q 1 q

s1,n 1

3、 an

S S,n 2n 1 n

例2： 1. 等差数列 an 是递

求数列通项公式的11种方法方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用）

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法

二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：an?1?an?f(n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若an?1?an?f(n)(n?2)，

a2?a1?f(1)则

a3?a2?f(2)? ?an?1?an?f(n)

1

两边分别相加得 an?1?a1??f(n)

k?1n，a1?1，求数列{an}的通项公式。 例

辅导二： 数列的辅导一

知识点归纳：

?单调递增函数?1、数列的分类：?单点递减函数

?摇摆数列?2、观察法法求数列通项公式（找项与对应序数之间的关系）

①等差数列若?an?为等差数列，则an=a1+（n－1）d ②若?an?为等比数列，则an=a1q④摇摆数列 3、递推数列

①若?an?为等差数列，则它的递推公式法 ②若?an?为等比数列，则它的递推公式法 4、等差数列的通项求法 典例讲练：

n－1

③有分子分母的分别考虑

观察法求数列通项的求法：

例1：写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是如下各数：

13579，，，，，?357911（1）

12341，3，5，7，……

916254 1239 1?,2?,3?,??,9?2341011132，4,,??,111111 1?(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)2232342?24?46?68?8,,,1?33?55?77?9

111,,,??,（2）1?21?2?31?2?3?4

1,1111,,,,??,33?53?5?73?5?7?9 1?21?2?31?2?3?41?2?3???50,,,?，,??,22?32?3?42?3???50

（3）