复数三角形式的乘除运算公式推导

复数的三角形式及乘除运算

一、主要内容:

复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求:

1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.

4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点:

复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.

四、学习建议:

1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.

前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量

来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和

辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isin

复数的三角形式(二)

复数的三角形式( 复数的三角形式(二)

复数的三角形式(二)

例题： 例题： 例 1 . 复 数 z1 与 2+4i 的 积 是 2-16i , 复 数 z2 满 足z 1 z 2 (7 16i ) = 1 .如果复数 z1 的辐角主值是α,z2 的辐角 如果复数 的辐角主值是α i

主值是β β的值. 主值是β,求α+β的值 分析与解答： 分析与解答： β 的一个辐角； ①α+β是 z1z2 的一个辐角； 并由此确定α 的范围； ②必须先求出 z1 和 z2,并由此确定α、β的范围；

2 16i 1 8i 将其代入另一个条件， 将其代入另一个条件 由已知 z 1 = = = 3 2i ,将其代入另一个条件， 2 + 4i 1 + 2i 7 17i = 1 + 5i ,∴ z2=1-5i, 解得 z 2 = 3 2i

∴ α = arg z 1 = arg(3 2i ), π < α <

3π , 2

3π β = arg z 2 = arg(1 5i ), < β < 2π , 2 5π 7π < α+β< , ∴ 2 2

复数的三角形式(二)

又 z1z2=(-3-2i)(1-5

复数的三角形式(二)

复数的三角形式( 复数的三角形式(二)

复数的三角形式(二)

例题： 例题： 例 1 . 复 数 z1 与 2+4i 的 积 是 2-16i , 复 数 z2 满 足z 1 z 2 (7 16i ) = 1 .如果复数 z1 的辐角主值是α,z2 的辐角 如果复数 的辐角主值是α i

主值是β β的值. 主值是β,求α+β的值 分析与解答： 分析与解答： β 的一个辐角； ①α+β是 z1z2 的一个辐角； 并由此确定α 的范围； ②必须先求出 z1 和 z2,并由此确定α、β的范围；

2 16i 1 8i 将其代入另一个条件， 将其代入另一个条件 由已知 z 1 = = = 3 2i ,将其代入另一个条件， 2 + 4i 1 + 2i 7 17i = 1 + 5i ,∴ z2=1-5i, 解得 z 2 = 3 2i

∴ α = arg z 1 = arg(3 2i ), π < α <

3π , 2

3π β = arg z 2 = arg(1 5i ), < β < 2π , 2 5π 7π < α+β< , ∴ 2 2

复数的三角形式(二)

又 z1z2=(-3-2i)(1-5

复数三角形式解答题

1、若复数z满足z?1z?1，当复数z的辐角为30

0

时，求复数z的模。

2、已知复数z?1?

3i, 求复数

z?z?42?z2的辐角的主值.

3、设z满足

z?1z?12,argz?1z??3，求z.

4、已知向量OP的模|OP|＝r，幅角为?，求：(1)点P的坐标；(2)如果直线OP

分别交直线x＝r与y＝r于T、S两点，点T、S的坐标分别是多少？

5、已知复数z?2?3i,

z是z的共轭复数,求复数u?z?iz的辐角主值.

6、设0

数u的辐角主值argu.

7、设|z|=1，z5＋z=1，求复数z的值。

8、复数z的模是1且z2＋2z＋1是负实数，求z.

z

9、已知复数z满足zz－2iz=3－2ai(a∈R),且?

2?argz??，求a的取值范围。

10、已知：?(n?3),

0,?1,?2,…,?n?1是非零复数z=r(cosθ+isinθ)的n个不同的n次方根

(1)求证： ?0,?1,?2,…,?n?1组成等比数列; (2)求和sn=?0+?1??2?…+?n?1; (3)求积：T=?0??1??2?…??n?1.

11、设复数z1?3?i,z2?r(cos??isin?),其中r?0,?

复数三角形式解答题

1、若复数z满足z?1z?1，当复数z的辐角为300时，求复数z的模。

z2?z?42、已知复数z?1?3i, 求复数的辐角的主值.

2?z

3、设z满足z?1?1,argz?1??，求z.

z2z3

4、已知向量OP的模|OP|＝r，幅角为?，求：(1)点P的坐标；(2)如果直线OP

分别交直线x＝r与y＝r于T、S两点，点T、S的坐标分别是多少？

5、已知复数z?2?3i,

z是z的共轭复数,求复数u?z?iz的辐角主值.

6、设0

数u的辐角主值argu.

7、设|z|=1，z5＋z=1，求复数z的值。

8、复数z的模是1且z2＋2z＋1是负实数，求z.

z

9、已知复数z满足zz－2iz=3－2ai(a∈R),且?

2 ?argz??，求a的取值范围。

10、已知：?0,?1,?2,…,?n?1是非零复数z=r(cosθ

根(n?3),

(1)求证： ?0,?1,?2,…,?n?1组成等比数列; (2)求和sn=?0+?1??2?…+?n?1; (3)求积：T=?0??1??2?…??n?1.

+isinθ)的n个不同的n次方

11、设复数z1?

3?i,z2?r(cos??isin?),其中

详解三角形面积公式的由来和演变

第25卷　第5期

Vol.25No.5昭通师范高等专科学校学报

JournalofZhaotongTeacherπsCollege2003年10月

Oct.2003

三角形面积公式的由来和演变

饶克勇

(昭通师范高等专科学校数学系,　云南　昭通　657000)

[摘　要]　系统揭示三角形面积公式的由来、演变及应用.[关键词]　三角形;　面积;　公式

[中图分类号]O123.6　　　[文献标识码]A2)0520021206

TriaπOrignandEvolution

RAOKe2yong

(DentofMathematics,ZhaotongTeacherπsCollege,Zhaotong657000,China)

Abstract:Bringtolighttriangularareaformulasπorign,evolutionandusesystematically.Keywords:triangle;area;formula

三角形是平面几何中最简单的基本图形,在后继学习及日常生活中有广泛的应用.中小学生对于三角形面积公式是熟悉的,并能用公式计算三角形的面积;但对于日常生活中有关面积的测算却时常会感到束手无策.其原因之一是对三角

如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘! 编写：高洪海 2017年3月14日

3.2.2复数代数形式的乘除运算

一【自学目标】

1理解并掌握复数的乘法、除法定义及运算方法 2.掌握复数积与商的模运算并能熟练应用.

二【知识要点】

1：复数的乘法

（1）复数的乘法法则：设z1?a?bi,z2?c?di,a,b,c,d?R，z1z2?__________________。（2）复数的乘法运算满足交换律，结合律和分配律，即对任意的复数z1,z2,z3,有： z1z2?____________，

（z1z2）z3=___________；z1(z2?z3)=___________。 2：复数的除法

规定两个复数除法的运算法则:

a?bic?di?__________________________。 三【预习自测】

1. 复数

5i?2的共轭复数是（ ） A．i?2 B．i?2 C．?2?i D．2?i 2. 复数(1?322i)3的值是（ ） A．?i B．i C．?1 D．1

3. 如果复数

2?bi1?2i的实部和虚部互为相反数，那么实数b的值为（ ） A．2 B．?2

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一． 知识点总结

1）O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0 若O是?ABC的重心，则

S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3

故OA?OB?OC?0

2）O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA 若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，

tanB：tanC 则S?BOC：S?AOC：S?AOB?tanA：故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0

3）O是?ABC的外心?|OA|?|OB|?|OC|(或OA?OB?OC) 若O是?ABC的外心

：sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 则S?BOC：S?AOC：S?AOB?sin?BOC222故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?0

4）O是内心?ABC的充要条件是

OA?(AB|AB|?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

杨辉三角的规律以及定理

1 二项式定理与杨辉三角

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。

杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。

由上式得出： (a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a

此代数式的系数为： 1 2 1

则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢？答案为： a

由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1

但 4

似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b)

的展开式。

展开式为： a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4

由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：

1 (11 0)

1 1 (11 1)

1 2 1 (11 2)

1 3 3 1 (11 3)

1 4 6 4 1 (11 4)

1 5 10 10 5 1 (11 5

)

1 6 15 20 15 6 1 (11 6)

杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10