经济数学微积分公式

考研数学：微积分公式汇总

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一分耕耘一分收获。加油！

各种积分公式,公式大概分为四类,

北京理工大学

微积分-积分定理集锦

常用积分公式 定理

程功 2010/12/22

各种积分公式,公式大概分为四类,

定理

1.积分存在定理

1）当函数f(x)在区间 a,b 上连续时，称f(x)在区间 a,b 上可积.

2）设函数f(x)在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则f x 在区间 a,b 上可积。

2.性质：1 [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx（此性质可以推广到有限多个函数求和的

a

a

a

bbb

情况）。

性质2. kf(x)dx k f(x)dx k为常数

a

a

bb

假设a c b，性质3： f(x)dx f(x)dx f(x)dx（定积分对于积分区间具有可加性）

a

a

c

bcb

性质4: 1 dx badx b a

a

b

性质5：如果在区间 a,b 上f(x) 0,则 f(x)dx 0 (a b)

a

b

推论（1）：如果在区间[a,b]上，f(x) g x 则 f(x)dx g(x)dx(a b)

a

a

bb

推论（2）：

b

a

f()xdx fx a b

a

b

性质6：设M及m分别是函数f x 上的最大值与最小值，则

m(b a) f(x)dx M(b a)

a

b

3.定积分中值定理

如果函数f x

所有微积分公式《全》

·两角和与差的三角函数

　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　·和差化积公式：

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　·积化和差公式：

　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα·cosβ

《经济数学——微积分》第二章课件

第三节 无穷小与无穷大一、无穷小 二、无穷大 三、小结 思考题

《经济数学——微积分》第二章课件

一、无穷小(infinitesimal)1. 定义 如果函数 f ( x ) 当 x → x0 (或 x → ∞ ) 定义:时的极限为零 ，那么称 f ( x ) 为当 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小 .f (x) 为 当 x → x0 ( 或 x → ∞ ) 时 的 无 穷 小

ε > 0 , δ > 0 ,当0 < x x0 < δ 时，有 f ( x) < ε

《经济数学——微积分》第二章课件

例如, 例如∵ lim sin x = 0, ∴ 函数 sin x是当x → 0时的无穷小.x →0

1 ∵ lim = 0, x→∞ x

1 ∴ 函数 是当x → ∞时的无穷小. x

( ( 1) n ( ( 1) n ∵ lim = 0, ∴ 数列{ }是当n → ∞时的无穷小. n→ ∞ n n

注意 (1)无穷小是变量 不能与很小的数混淆 不能与很小的数混淆; )无穷小是变量,不能与很小的数混淆 (2)零是可以作为无穷小的唯一的数 )零是可以作为无穷小的唯一的数.

《经

(tgx)′=secx(ctgx)′= csc2x(secx)′=secx tgx(cscx)′= cscx ctgx(ax)′=axlna(logax)′=

1xlna

2

(arcsinx)′=

1

x2

1

(arccosx)′=

x21

(arctgx)′=

1+x2

1

(arcctgx)′=

1+x2

∫tgxdx= lncosx+C∫ctgxdx=lnsinx+C

∫secxdx=lnsecx+tgx+C∫cscxdx=lncscx ctgx+C

dxx1

arctg=+C∫a2+x2aa

dxx a1

ln=∫x2 a22ax+a+C

dx1a+x

=∫a2 x22alna x+Cdxx

=+Carcsin∫a2 x2

a

π

2

n

dx2

sec=∫cos2x∫xdx=tgx+C

dx2

csc=∫sin2x∫xdx= ctgx+C

∫secx tgxdx=secx+C

∫cscx ctgxdx= cscx+C

ax

∫adx=lna+C

x

∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫

dxx2±a2

=ln(x+x2±a2)+C

π

2

In=∫sinxdx=∫cosnxdx=

n 1

In 2n

∫∫∫

x2a22

x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C

22x2a2

四、基本求导法则与导数公式

１. 基本初等函数的导数公式和求导法则

基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1)

(C)??0 (3) (sinx)??cosx (5)

(tanx)??sec2x (7) (secx)??secxtanx

xx (9)

(a)??alna (log1ax)?? (11)

xlna

(arcsinx)??1 (13)

1?x2

(arctanx)??1 (15)

1?x2

函数的和、差、积、商的求导法则 设

u?u(x)，

v?v(x)都可导，则

（1） (u?v)??u??v? （2）（3）

（4）(uv)??u?v?uv? 反函数求导法则

(x?)???x??1 (cosx)???sinx

(cotx)???csc2x

(cscx)???cscxcotx

(ex)??ex

(lnx)??1x，

(arccosx)???11?x2

(arccotx)???11?x2(Cu)??Cu?（C是常数）

???u??u?v?uv??v

课题：第5章 线性代数 §5.2矩阵

1.矩阵的概念

教学目标：理解和掌握矩阵的有关概念， 重点难点：矩阵的有关概念 教学过程与内容：

§ 5.2.1 矩阵的概念与运算

考虑二元线性方程组

?a11x1?a12x2?b1 ?

ax?ax?b2?211222课时：2

其解的情况取决于未知量系数与常数项，因此将它们按照顺序组成一个矩形表

?a11 ??a?21a12a22b1?? b2??进行研究，更一般地，引进矩阵的概念。

1. 定义1 将m?n个数aij?i?1,2,?,m;j?1,2,?,n?组成一个m行n列的矩形表，称为m行n列矩阵，记为

?a11??a21A? ???a?m1a12a22am2a1n??a2n?? ?amn??只有一行的矩阵称为行矩阵，也称为行向量， 只有一列的矩阵称为列矩阵，也称为列向量， 所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵，记为O

2. 定义2 已知矩阵A,B,它们的行数相同且列数也相同，若对应位置上的元素皆相等，则称矩阵A等于矩阵B,记为

A?B 3. 几个概念：

? 零行 （一行的元素全为0） ? 非零行 （一行的元素不全为0）

1

?

《经济数学——微积分》第九章

二重积分的计算法( 第二节 二重积分的计算法(2)一、利用极坐标系计算二重积分 二、广义二重积分 三、小结 思考题

《经济数学——微积分》第九章

一、利用极坐标计算二重积分1 1 2 2 σ i = ( ri + ri ) θ i ri θ i 2 2 r = ri + ri 1 r = ri = ( 2ri + ri ) ri θ i 2 ri + ( ri + ri ) = ri θ i 2= ri ri θ i ,o

(polar coordinates)

θ = θ i + θ i σ iD

θ = θi

A

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ . D D

《经济数学——微积分》第九章

二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(1)区域特征如图r = 1 (θ)r = 2 (θ)

α ≤θ ≤ β,

D

1 (θ ) ≤ r ≤ 2 (θ ).o

β

α

∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθD

A

= ∫ dθ ∫α

β

2 (θ )

1 (θ )

f (r cosθ , r s

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

特殊角的三角函数值

例1.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值。

（1）已知tanx=3求其他的三角函数值 斜边

^2=a^2+b^2

Sinx=对/斜 cosx=邻/斜 tgX=对/邻 cotX=邻/对 sec x=1/cosx

①倒数关系：

②商的关系

③平方关系

两角和的正弦、余弦、正切公式

两角差的正弦、余弦、正切公式

倍角公式

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

降幂公式

积化和差公式

对数函数有下列性质：设a,b,c,x,y为任意正数，（α≠1，c≠1），α为任意实数

①

②； ；

③

④

⑤。 ； ；

：如果q≠1时，

例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和：

解：

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

由

一、极限运算法则

定理

设

（1）

（2） ，则 得级数收敛，其和为。

（3）

3.无穷小的运算性质：

（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。

（3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小。

.定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

2.意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论。 小结：当，m和n为非负整数时有

无穷小分出法

第十二章 微积分在经济中的应用

§1.1 微积分在经济中的应用内容网络图

微积分在经

济中的应用

数列在经济中的应用 复利

年有效收益

连续复利

成本函数 平均最小成本 需求函数 供给函数 均衡价格 收益函数 利润函数 最大利润 边际函数

供给弹性

弹性函数

需求弹性 收入流的现值 收入流的将来值 消费者剩余 生产者剩余

求最大利润

把经济中的某些问题转化为常微方程来求解

极限在经济中的应用

导数在经济中的应用 积分在经济中的应用 偏导数在经济中应用 常微分方程与差分方程 在经济中的应用

§1.2内容提要与例题

一、极限在经济中的应用

1.复利.

例1 X银行提供每年支付一次，复利为年利率8%的银行帐户，Y银行提供每年支付四次，复利为年利率8%的帐户，它们之间有何差异呢？

解 两种情况中8%都是年利率，一年支付一次，复利8%表示在每年末都要加上当前余额的8%，这相当于当前余额乘以1.08.如果存入100元，则余额A为

一年后：A=100（1.08）， 两年后：A=100（1.08）2，?，t年后：A=100（1.08）t.

而一年支付四次，复利8%表示每年要加四次（即每三个月一次）利息，每次要加上当前