多元函数非条件极值的解法

秒杀一切多元函数

2009年第3期第8卷(总第42期)

安徽电子信息职业技术学院学报

JOURNALOFANHUIVOCATIONALCOLLEGEOFELECTRONICS＆INFORMATIONTECHNOLOGY

No.32009

GeneralNo.42Vol.8

[文章编号]1671－802X(2009)03－0109－02

多元函数条件极值的解法探讨

张秀芳

（安徽省第一轻工业学校，安徽蚌埠

233010）

［摘要］通常我们在求函数条件极值问题时，原则上将条件极值问题转化成无条件极值问题来进行求解，本文介

绍了利用拉格朗日乘数法和方向导数法来解决条件极值问题，并将这两种方法进行了比较。

［关键词］条件函数；条件极值；拉格朗日乘数法；方向导数；梯度［中图分类号］O171.1［文献标识码］B

求函数在一个或多个条件函数限制下的极值，称为函数的条件极值。函数的条件极值问题有着重要的实用价值，在求函数极值问题时原则上将条件极值问题转化为无条件极值问题来进行求解。求解这类问题有几种方法，这里只介绍最为常用的拉格朗日乘数法和与之相似的方向导数法，并将它们进行了比较。

一、拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是在求多元函数条件极值中最常用的一种方法，下面具体地来看看这种方法。

求函数

秒杀一切多元函数

2009年第3期第8卷(总第42期)

安徽电子信息职业技术学院学报

JOURNALOFANHUIVOCATIONALCOLLEGEOFELECTRONICS＆INFORMATIONTECHNOLOGY

No.32009

GeneralNo.42Vol.8

[文章编号]1671－802X(2009)03－0109－02

多元函数条件极值的解法探讨

张秀芳

（安徽省第一轻工业学校，安徽蚌埠

233010）

［摘要］通常我们在求函数条件极值问题时，原则上将条件极值问题转化成无条件极值问题来进行求解，本文介

绍了利用拉格朗日乘数法和方向导数法来解决条件极值问题，并将这两种方法进行了比较。

［关键词］条件函数；条件极值；拉格朗日乘数法；方向导数；梯度［中图分类号］O171.1［文献标识码］B

求函数在一个或多个条件函数限制下的极值，称为函数的条件极值。函数的条件极值问题有着重要的实用价值，在求函数极值问题时原则上将条件极值问题转化为无条件极值问题来进行求解。求解这类问题有几种方法，这里只介绍最为常用的拉格朗日乘数法和与之相似的方向导数法，并将它们进行了比较。

一、拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是在求多元函数条件极值中最常用的一种方法，下面具体地来看看这种方法。

求函数

多元函数条件极值的几种求解方法

摘要

本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。

关键词

极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式

Multivariate function of several conditional extreme value

solution

Abstract

This paper mainly discusses the multivariable function conditional extreme value problem solving, including the unconditional extreme value, conditional extreme value concept of multivariate function is introduced, and several method

２００５年１２月安阳工学院学报Ｄｅｅ．２００５第６期（总第１８期）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｙａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＮｏ．６（Ｇｅｎ．Ｎｏ．１８）

海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用

张丽丽王军民耿向平

（河南财经学院河南郑州４５０００２）

摘要：本文提出了利用海塞矩阵计算多元函数条件极值的一种新方法，并结合几个例子分类讨论这种方法在实际问题中的应用，同时针对一篇已经发表的文章，我们指出了它的问题，并运用本文所列方法，给出了正确的解法。

关键词：海塞矩阵；多元函数；条件极值；稳定点

中图分类号：０１７５．２７文献标识码：Ａ文章编号：１６７３—２９２８（２００５）０６—００７９—０３

《数学分析》是大多数高校的必开课程，有着十分重要的基础作用，多元函数的极值问题又是这门课程里面非常重要的部分，而且在实践中应用非常广泛，对它的研究就显得十分必要。本文首先介绍多元函数极值问题的一些理论，然后分类讨论不同约束条件下的求解方法，这些方法具有一定的普遍性，同时针对一篇已经发表的文章，我们指出了其中一个例子解法中的错误，并采用本文的方法，给出正确的解题方法。

在《数学分析》…教材中，多元函数有如下定义：

设凡元函数Ｙ＝八菇）＝八石，，ｚ：，Ａ，戈。）定

２００５年１２月安阳工学院学报Ｄｅｅ．２００５第６期（总第１８期）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｙａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＮｏ．６（Ｇｅｎ．Ｎｏ．１８）

海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用

张丽丽王军民耿向平

（河南财经学院河南郑州４５０００２）

摘要：本文提出了利用海塞矩阵计算多元函数条件极值的一种新方法，并结合几个例子分类讨论这种方法在实际问题中的应用，同时针对一篇已经发表的文章，我们指出了它的问题，并运用本文所列方法，给出了正确的解法。

关键词：海塞矩阵；多元函数；条件极值；稳定点

中图分类号：０１７５．２７文献标识码：Ａ文章编号：１６７３—２９２８（２００５）０６—００７９—０３

《数学分析》是大多数高校的必开课程，有着十分重要的基础作用，多元函数的极值问题又是这门课程里面非常重要的部分，而且在实践中应用非常广泛，对它的研究就显得十分必要。本文首先介绍多元函数极值问题的一些理论，然后分类讨论不同约束条件下的求解方法，这些方法具有一定的普遍性，同时针对一篇已经发表的文章，我们指出了其中一个例子解法中的错误，并采用本文的方法，给出正确的解题方法。

在《数学分析》…教材中，多元函数有如下定义：

设凡元函数Ｙ＝八菇）＝八石，，ｚ：，Ａ，戈。）定

2012—2013学年第2学期

合肥学院卓越工程师班

实验报告

课程名称： 工程应用数学B 实验名称： MATLAB实验：条件极值 实验类别：综合性□ 设计性□ 验证性□ 专业班级： 12级自动化卓越班 实验地点： 35#104 实验时间： 2013-5-8 组 别： 第 八 组 指导教师： 闫晓辉 成 绩：

一. 小组成员 姓名 学号 具体分工 二. 实验目的 三. 实验内容 1. 用Matlab求函数z?xy在条件x?y?1下的极值。 2. 抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离。 四. 实验步骤 1. (1)令z?f(x,y)?xy ?(x,y)?x?y?1?0 (2) F(x,y)?f(x,y)???(x,y) (3) f'x(x,y)???'x(x,y)?0 f'y(x,y)???'y(x,y)?0 ?(x,y)?0 (4)解得

多元函数的极值及应用

摘要：本文引入了普通极值与条件极值的概念，讨论了普通极值与条件极值的联系和区别.引入了一元函数，二元函数和多元函数的极值与最值，用拉格朗日乘数法求条件极值，求解了一些较简单的最大值和最小值的应用问题.把一元函数的极值问题推广到多元函数的情形，得到了一些新的结果，并给出了一些未推广前不能求解，而利用推广后的结论可以求解的例子.给出了三元函数极值的快速判别方法，并且讨论它在实际问题中的应用.在多元函数极值理论的基础上，讨论了多元函数求解极值的理论方法，并通过典型例题阐明多元函数极值在实践中的应用.

关键词：极值；条件极值； Hessian矩阵；Lagrange乘数法

I

Extreme value of pluralistic function and values application

Abstract: This paper introduces the general extremum and conditional extreme value concept, discussed the common extremum and conditional extreme value relation and diffe

多元函数的极值与最值的求法

摘要

在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.

求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值，但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决. 求多元函数的极值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值；（2）拉格朗日乘数法求极值；（3）用几何模型法求解极值;（4）通过Jacobi 矩阵求条件极值；(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.

对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）换元法；（4）数形结合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一种就是：考虑极值与最值的关系，运用极值法求最值.

关键词:多元函数，极值，最值，方法

、

Methods for Calculating Extremum and the most Value of Multivariable

Fun

大学数学专业毕业论文,系统介绍多元函数的极值与最值的多种求法!

多元函数的极值与最值的求法

摘要

在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.

求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值，但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决. 求多元函数的极值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值；（2）拉格朗日乘数法求极值；（3）用几何模型法求解极值;（4）通过Jacobi 矩阵求条件极值；(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.

对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）换元法；（4）数形结合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一种就是：考虑极值与最值的关系，运用极值法求最值.

关键词:多元函数，极值，最值，方法

、

大学数学专业毕业论文,系统介绍多元函数的极值与最值的多种求法!

Methods for Calculatin

复杂二次分式函数极值的快速解法

在高考中,我们经常会碰到二次分式函数问题,这类问题通常比较麻烦, 有时运算量很大,很难在短时间内解决.所以本文将研究求解二次分式函数单调性,值域,极值的简便方法.希望能得到一个极值通用公式, 以便在考试中套用,节约时间.

Ax2?Bx?C(A,B不同时为0). 二次分式函数具有形式y?f(x)?Dx2?Ex?F我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.

1. 定义域和有界性

当方程Dx2?Ex?F?0有解,设x1,x2(x1?x2)是Dx2?Ex?F=0两个根 .则函数定义

域{x?R|x?x1?x?x2} .当Ax1?Bx1?C?0,lim??或Ax2?Bx2?C?0,lim??.

x?x1x?x222此时函数无界.当Ax12?Bx1?C=0且Ax22?Bx2?C=0,函数有界且为常值函数(很少遇到

x2?12的情况,比如y?2 ).所以通常当E?4DF?0 ,二次分式函数是无界的.

x?1x?x1,x?x2 是函数的渐近线.

2当E?4DF?0,函数定义域为R .函数有界.

2. 单调性,极值,值域 当

E2?4DF?0,

Dx2?Ex?F?0,可以将函数化为

x的方程y?Dx2?Ex?F?=Ax2?Bx?C. .即