一元二次方程实际问题

实际问题与一元二次方程说课稿

尊敬的各位评委老师们，大家好：

今天我说课的课题是人教版九年级数学上册第21章第三节第一课时《实际问题与一元二次方程》。下面我将从教材分析、教学目标、重点难点、学情分析、教法学法、教学过程几方面进行说课。 一、教材分析：

生活中不少实际问题的解决都要用到方程的知识。在学习本节课之前，学生已经学会了用一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题。所以本节课对学生来说并不陌生。同时，本节课又是学生在学习了一元二次方程的解法后进行具体应用的第一课时。本节内容是运用一元二次方程分析解决生活中的两个实际问题。通过本节课的学习，可以对一元二次方程的解法加以巩固，同时本节课的学习又是后面继续学习列方程解决实际问题、用二次函数解决实际问题的基础。因此，它具有承上启下的作用。

二、教学目标：

根据本节课的内容特征和新课标要求以及九年级学生的认知水平确定本节课的教学目标如下： 知识和技能目标：

能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并求解检验。 过程和方法目标：

经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对其进行描述。培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。 态度和价值观

实际问题与一元二次方程的几种常见模型

传播问题

1． 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

2． 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 单（双）循环问题

1．

参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90

场，共有多少队参加？

2．

参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手66

次，有多少人参加聚会?

3．

要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式即每两队之间都

赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少个球队参加比赛?

4． 多少人? 数字问题 1． 2．

两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？ 一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的初三毕业晚会时每人互相送照片一张一共要90张照片有

十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为

1

736，求原两位数。 增长率问题

1.某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？

- 1 -实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．主要学习下列两个内容：

1. 列一元二次方程解决实际问题。一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.

2. 一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是和，那么．1x 2x a

c x x a b x x =?,=+2121-知识链接

点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤

应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：

(1)审：

用一元二次方程解决增长率问题

基础题

知识点1 平均变化率问题

1．(鄂州中考)近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年的月退休金为1 500元，2013年达到2 160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为( ) A．2 016(1－x)2＝1 500B．1 500(1＋x)2＝2 160

C．1 500(1－x)2＝2 160D．1 500＋1 500(1＋x)＋1 500(1＋x)2＝2 160 2．(巴中中考)某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )

A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315 C．560(1－2x)2＝315 D．560(1－x2)＝315

3．(宜宾中考)某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是____________________． 4．(天水中考)某商品经过连续两次降

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实际问题与一元二次方程题型知识点归纳总结

一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：

与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （2）找：找出等量关系； （3）列：列出一元二次方程； （4）解：求出所列方程的解；

（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意； （6）答：作答。 二、典型题型归纳

1、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传

染轮数，M为最后得病总人数

例、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？

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2、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题

循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题

22.3实际问题与一元二次方程（第3课时）

【学习目标】

1、掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题；

2、通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题． 【学习过程】 一、复习回顾：

1、在行程问题中，我们常见的数量关系是怎样的？

2、从甲地到乙地共300海里，一艘轮船航完全程共用了4小时，则这艘轮船的平均速度为 海里／时。

3、我们在数学行程中所见到的都是匀速运动，你还能了解其它类型的运动变化吗？你能举例说明吗？ 二、自主学习：

自学课本Ｐ51——Ｐ52探究4思考下列问题：

1、 探究中汽车紧急刹车后滑行25m后停车，这一段是匀速运动吗？ 2、怎样理解变速运动？什么叫初速度、末速度？什么叫匀减速运动？ 3、在匀减速运动中如何求平均速度的？ 4、正确理解平均每秒车速减少值。

5思考，Ｐ52刹车后汽车行驶到20m时用了多少时间？ 交流与点拨：

以上几个问题同学间先交流，看能理解到什么程度，由于第一次接触变速（匀减速）运动，教师可作必要的讲解。从紧急刹车到停车这一过程我们假设是匀减速运动，此时，平均速度=（初速度+末速度）÷2，然后再利用行驶时间=行驶路程÷平均速度，探究中的第一

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等于 0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. (3)配方法： 例 3

x2 6 x 4 0

解：x 2 6 x 4 x 2 6 x 32 4 32 ( x 3) 2 5 x 3 5 x1 5 3, x2 5 3.就是把一元二次方程转化为可以直接直接开平方的方法。 教师提问三：那同学们又能说说步骤吗？ 用配方法解一元二次方程

ax 2 bx c 0 a 0

的一般步骤是： ①化二次项系数为 1, 即方程两边同时除以二次

项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的 平方；④化原方程为 ( x m) n 的形式；⑤如果 n 0 ,就可以用直接开平方求出方程的解，如果 n<0,则原方2

程无解. (4)公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后公式计算。 一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的求根公式是：2

x

b b 2 4ac 2 (b 4ac 0). 2a

例4 解：

x2 x

用于期末复习

杨家中学2010-2011年度九年级上之一元二次方程复习

一、选择题 1．（2010江苏苏州）下列四个说法中，正确的是 A

．一元二次方程x2 4x 5

2有实数根；

B

．一元二次方程x2 4x 5 2 C

．一元二次方程x2 4x 5 3

有实数根；

D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根．

3．（2010安徽芜湖）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 4．

5．（10湖南益阳）一元二次方程ax2

bx c 0(a 0)有两个不相等．．．

的实数根，则b2

4ac满足的条件是

Ａ．b2 4ac＝0 Ｂ．b2 4ac＞0 Ｃ．b2 4ac＜0 Ｄ．b2 4ac≥0

6．（2010山东日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是

（A）－3，2 （B）3，-2 （C）2，－3 （D）2，3 7．(2010四川眉山）已知方程x2 5x 2 0的两个解分别为x1、x

一元二次方程的应用测试题 时间：90分钟总分： 100 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约

为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A. 20(1+2??)=28.8 B. 28.8(1+??)2=20 C. 20(1+??)2=28.8 D. 20+20(1+??)+20(1+??)2=28.8

2. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则

下列方程中符合题意的是( )

A. 2??(???1)=45

1

B. 2??(??+1)=45

1

C.

??(???1)=45 D. ??(??+1)=45

3. 如图，在矩形ABCD中，????=1，????=2，将其折叠

使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为( )

A.

2?12

B.

3?12

C.

5?12

D.

6?12

4. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上

划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18

一元二次方程的应用测试题 时间：90分钟总分： 100 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约

为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A. 20(1+2??)=28.8 B. 28.8(1+??)2=20 C. 20(1+??)2=28.8 D. 20+20(1+??)+20(1+??)2=28.8

2. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则

下列方程中符合题意的是( )

A. 2??(???1)=45

1

B. 2??(??+1)=45

1

C.

??(???1)=45 D. ??(??+1)=45

3. 如图，在矩形ABCD中，????=1，????=2，将其折叠

使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为( )

A.

2?12

B.

3?12

C.

5?12

D.

6?12

4. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上

划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18