矩形菱形正方形的性质和判定

正方形

如图，BO是等腰直角三角形ABC的 底边AC上的中线，画出△ABC关于 点O对称的图形.

(1)A、B、C的对应点分别是什么？(2)△ABC可通过怎样的变换得到△ACD? (3)从对称性看，四边形 ABCD是什么图形？ 正方形实际是等腰直角三角形 绕其底边上的中点旋转180° 而形成的中心对称图形.B

A

O

D

C

四边形ABCD有哪些特点？四边形ABCD是中心对称图形,又是轴对称图形；

是平行四边形;有一组邻边相等;

A

有一个角是直角.

B

O

D

C

正方形定义: 有一组邻边相等并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形.

思考

⒈怎样用一张矩形的纸片折出一个 正方形？ ⒉怎样将一个菱形的木框变成一个 正方形的木框？

矩形 正方形 菱形

平行四边形

矩形

正 方 形

菱形

讨

论

㈠正方形的边、角、对角线各具 有什么性质？边：对边平行，4条边都相等. 角：4个角都相等，都等于 90°. 对角线：相等、垂直且互相平分， 每一条对角线平分一组对角.

具备什么条件的四边形是正方形？1、先说明它是平行四边形，再说 明有一组邻边相等，有一个角是直 角。

2、先说明它是矩形，再说明这 个矩形有一组邻边相等. 3、先说明它是菱形，再说明这 个菱形有一个角是直角.

例题赏析⒈在

《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦(一)

《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦（一）

第1题. (2006 梅州课改)能使平行四边形ABCD为正方形的条件是 ．（填上一个符合题目要求的条件即可）

答案：AC BD且AC⊥BD或AB BC且AB⊥BC等

第2题. (2006 陕西非课改)如图，矩形ABCG(AB BC)与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，

使∠APE为直角的点P的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C

第3题. (2006 陕西非课改)将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是 ．

（②）

（①）

答案：1:2

第4题. (2006 成都课改)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB AD，对角线AC，BD相交于点O．如下四个结论：

①梯形ABCD是轴对称图形； ②∠DAC ∠DCA； ③△AOB≌△DOC； ④△AOD∽△BOC．

请把其中正确结论的序号填在横线上：

矩形、菱形与正方形

学习目标：

1、知道矩形、菱形与正方形的概念；

2、能熟练运用矩形、菱形与正方形的性质、判定； 3、知道平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系;

一、任务先学

1、在平面中，下列命题为真命题的是( )

A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形

C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

2、已知四边形ABCD是对角线互相平分的四边形，O为对角线交点，请你添加一个适当的条件 ____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）

3、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）

A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°

4、如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数为 ，小球P所经过的路程为 ．

《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦(一)

《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦（一）

第1题. (2006 梅州课改)能使平行四边形ABCD为正方形的条件是 ．（填上一个符合题目要求的条件即可）

答案：AC BD且AC⊥BD或AB BC且AB⊥BC等

第2题. (2006 陕西非课改)如图，矩形ABCG(AB BC)与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，

使∠APE为直角的点P的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C

第3题. (2006 陕西非课改)将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是 ．

（②）

（①）

答案：1:2

第4题. (2006 成都课改)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB AD，对角线AC，BD相交于点O．如下四个结论：

①梯形ABCD是轴对称图形； ②∠DAC ∠DCA； ③△AOB≌△DOC； ④△AOD∽△BOC．

请把其中正确结论的序号填在横线上：

9.4矩形、菱形、正方形(1)

初中数学

八年级(下册)

9.4

矩形、菱形、正方形(1)

9.4矩形、菱形、正方形(1)

教学目标1.通过对生活中熟悉的图形认识，理解矩形的概念

2.探索并证明矩形的性质定理，在活动过程中发 展学生的探究意识和有条理的表达能力

3.能运用矩形的性质定理解决问题

9.4矩形、菱形、正方形(1)

教学重难点

难 点 重 点

1、矩形的性质定理的探索

2、矩形的性质定理的应用

帮助学生探索并证明矩形 的性质定理

9.4矩形、菱形、正方形(1)

温故知新AO

D

边

平行四边形的对边平行且相等。∵四边形ABCD是平行四边形

B

C

平行四边形的 性质：

∥ ∥ ∴ AB﹦ CD,AD ﹦ BC 角 平行四边形的对角相等，邻角互补。 ∵四边形ABCD是平行边形

∴ ∠ A=∠ C, ∠ D=∠ B ∠ A+∠ B= 180, ∠ A+∠ D= 180 … 对角线 平行四边形的对角线互相平分。 ∵四边形ABCD是平行边形 ∴OA=OC,OB=OD00

9.4矩形、菱形、正方形(1)

温故知新平行四边形的判定定理： 两组对边分别平行的四边形

边平行四 边形的 判定：

两组对边分别相等的四边形 一组对边平行且相等的四边形

对角线

对角线互相平分的四边形 两组对角分别相等的四边形

角

9.

矩形、菱形、正方形

一、选择题 1、（2012年上海青浦二模）对角线互相平分且相等的四边形是（ ）

A ．菱形； B．矩形； C．正方形； D．等腰梯形．答案：B

2、（2012兴仁中学一模）若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为

（ ）

（A）20cm （B）18cm （C）16cm （D）12cm 答案：C

3 （2012年江苏海安县质量与反馈）如图，将边长为12cm 的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点， 折痕为MN．若CE的长为8cm，则MN的长为 A．12cm B．12．5cm

C．4 cm 答案：C.

D．13．5cm

M

D E

C 4（2012年江苏通州兴仁中学一模）若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为 第1题图 （ ）

（A）20cm （B）18cm （C）16cm （D）12cm 答案：C.

5(西城2012年初三一模)．如图，顺次连结四边形ABCD各中点得四边形EFG

9.4矩形、菱形、正方形(1)

初中数学

八年级(下册)

9.4

矩形、菱形、正方形(1)

9.4矩形、菱形、正方形(1)

教学目标1.通过对生活中熟悉的图形认识，理解矩形的概念

2.探索并证明矩形的性质定理，在活动过程中发 展学生的探究意识和有条理的表达能力

3.能运用矩形的性质定理解决问题

9.4矩形、菱形、正方形(1)

教学重难点

难 点 重 点

1、矩形的性质定理的探索

2、矩形的性质定理的应用

帮助学生探索并证明矩形 的性质定理

9.4矩形、菱形、正方形(1)

温故知新AO

D

边

平行四边形的对边平行且相等。∵四边形ABCD是平行四边形

B

C

平行四边形的 性质：

∥ ∥ ∴ AB﹦ CD,AD ﹦ BC 角 平行四边形的对角相等，邻角互补。 ∵四边形ABCD是平行边形

∴ ∠ A=∠ C, ∠ D=∠ B ∠ A+∠ B= 180, ∠ A+∠ D= 180 … 对角线 平行四边形的对角线互相平分。 ∵四边形ABCD是平行边形 ∴OA=OC,OB=OD00

9.4矩形、菱形、正方形(1)

温故知新平行四边形的判定定理： 两组对边分别平行的四边形

边平行四 边形的 判定：

两组对边分别相等的四边形 一组对边平行且相等的四边形

对角线

对角线互相平分的四边形 两组对角分别相等的四边形

角

9.

（培优）菱形、矩形、正方形和梯形

菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．

梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容．

例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？

分析 要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可． 解：∵FH`∥GE，FG∥EH，

∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知： △GEF≌△HFE． ∴FG=FH，EG=EH． ∴四边形GEHF为菱形．

∴EF、GH互相垂直平分． 练习1

1．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，?∠BAE=18°，则∠CEF=________．

正方形的性质与判定 同步练习

一、填空题

1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝ °. 2、如图，四边形ABDC是正方形，延长CD到点E，使CE=CB，则∠AEC＝ °.

3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：①∠E=22.5°； ②∠AFC=112.5°； ③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶2. 其中正确的有 个. 4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝ °；∠ACE＝ °.

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 5、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 °.

6、如图，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED重合，则θ值为 °

第6题图

1.3

教学目标

平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1） 编写：王玉琴 审定：陆海泉

1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论 2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力 教学重、难点

重点：平行四边形的性质证明 表达格式的逻辑性 完整性 精炼性 难点：分析 综合 思考的方法 教学过程：

一、情境创设

根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，填写下表：

对边平行 对边相等 四边相等 对角相等 4个角是直角 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直 两条对角线平分两组对角 吗？

''如图AB//A'B',BC//BC,CA//C'A'，图中有______个平行四边形。

平行四边形

矩形

菱形

正方形

从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别

C'AB'BCA'1

二、合作交流

活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？ 活动2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么? 活动3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。

由此证明