二次不等式例题

不等式第二讲：一元二次不等式

一、一元二次不等式的解法

判别式??b?4ac 方程2??0 有两个不等实根 ??0 有两个相等实根 ??0 无实根 f(x)?ax2?bx?c?0 二次函数 y y y y?ax2?bx?c(a?0) 的图象 不等式O x1 x2 x O x1?x2x O x ax?bx?c?0(a?0) 的解集 不等式ax?bx?c?0 22?x|x?x1或x?x2? ?b?xx???? 2a??R (a?0)的解集 二、总结规律： ?x|x1?x?x2? ? ? 1、方程f(x)?0的实根是函数y?f(x)的图像与x轴的交点，也是函数y?f(x)的零点。 2、方程f(x)?0的根就是不等式解集的端点，不等式解集的端点就是方程f(x)?0的根。 3、不等式大于0的解集就是方程的根之外，小于0就是方程的两根之间；（大于取两根之外，小于取两根之间）（开口向上，即二次系数大于0）

?a?04、①不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?；

??0?2②不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?2?a?0

???05、如果函数y?f(x)在区间?a,b?上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)?f(b)?0，那么函数y

复习:

一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0） 1、判别式：

，

2、 韦达定理 x1,x2是方程的两个实数根

3、求根公式

例1：当m为何值时，关于x的方程x2-2（m+2）x+m2-1=0

1) 有两个正根；2）有一正根一负根；3）有两个大于2的根

二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）

顶点坐标

线），与x轴的交点坐标是

，交点式为

和

（仅限于与x轴有交点的抛物

。对称轴为直线

。

例1：已知二次函数y=ax2+2ax+1在-3≤x≤2上有最大值4，求a值

例2：求y=x2-4x-5在0≤x≤a上的最值

例3：f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1上的最大值为2，求a

一元二次不等式的解法

步骤：1.二次项系数变为正 2.看能否因式分解 ①若能因式分解 口诀：大于两根之外，小于两根之间。②若不能因式分解 则算△ 再画图求解 例：（1）2x2-3x-2>0

(2)-3x2+6x-2>0 (3)4x2-4x+1>0 (4)-x2+2x-3>0

试解关于x的不等式 1、ax2-(a+1)x+1<0

2、(1-a)x2+4ax-(4a+1)>0

分式不等式解法：

高次不等式解法

数轴标根法 步骤 1.右边化为02.因式分解成多个因式相乘积的

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《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式

（1）x?5x?0； （2）x?4x?4?0； （3）?x?4x?5?0 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：

（1）方法一：

因为??(?5)2?4?1?0?25?0

所以方程x?5x?0的两个实数根为：x1?0，x2?5 函数y?x2?5x的简图为：

2222

因而不等式x?5x?0的解集是{x|0?x?5}.

2?x?0?x?0方法二：x?5x?0?x(x?5)?0?? 或?

x?5?0x?5?0??2解得??x?0?x?0 或 ?，即0?x?5或x??.

?x?5?x?52因而不等式x?5x?0的解集是{x|0?x?5}.

（2）方法一：

因为??0，

方程x2?4x?4?0的解为x1?x2?2. 函数y?x?4x?4的简图为：

2

所以，原不等式的解集是{x|x?2}

方法二：x?4x?4?(x?2)?0（当x?2时，(x?2)?0） 所以原不等式的解集是{x|x

10不等关系与一元二次不等式

【知识网络】

1、求解或判别不等关系式，利用性质进行比较大小；

2、求解一元二次不等式；

3、不等关系或一元二次不等式的解法的简单应用。 【典型例题】

例1：（1）已知a>b>c>0,若P=

b?ca?c,Q=,则 （ ）

ba1,Q=1,PQ D.P

11??0，则下列不等式 ①a?b?ab；②|a|?|b|;③a?b；④ ab

（ ）

ba??2 中，正确的不等式有 ab

A．０个 B．１个 C．2个 D．３个 答案：Ｃ．解析： ①正确,②错误,③错误,④正确．也可用特殊值检验。

（3）若loga2＜logb2＜0，则 （ ）

A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C． a＞b＞1

答案:B。解析：显然0

D． b＞a＞1

11??0,?0?log2a?log2b,?1?a?b?0。

log2alog2bx?3?x的解集是 ． x

教材： 绝对值不等式与一元二次不等式练习课

目的： 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。 过程：

一、复习：绝对值不等式与一元二次不等式的复习。 二、例题：

例1、解不等式 2?1?3?5x3?5x?2和② 1???2 4497解①：x?? 解②： x?

557979∴原不等式的解集是{x|x?? }∪{x|x?}={x|x??或x?}

55552?5x15?? 例2、解不等式 34652?5x15解：原不等式可化为：???? ??10??20x?11?10

6346121121 ∴ ∴原不等式的解集是{x| } ?x??x?202020203?5x4

解：原不等式可化为：① 1?

5?2?5x1????46（略） 或解：原不等式化为 ?32?5x15???346?例3、解关于x的不等式 2x?3?1?a (a?R)

解：原不等式可化为：2x?3?a?1

当 a+1>0 即a>?1时 ?(a+1)<2x+3?1时 原不等式的解集是 {x|?当a≤?1时 解集为?

例4、解不等式 2?1?4x?7

解一：原不等式可化为：2?4x?1?7

13?x??或x??4x?1?2?44 ??3?x??1或3?x?2 ? ???3244????x?

教材： 绝对值不等式与一元二次不等式练习课

目的： 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。 过程：

一、复习：绝对值不等式与一元二次不等式的复习。 二、例题：

例1、解不等式 2?1?3?5x3?5x?2和② 1???2 4497解①：x?? 解②： x?

557979∴原不等式的解集是{x|x?? }∪{x|x?}={x|x??或x?}

55552?5x15?? 例2、解不等式 34652?5x15解：原不等式可化为：???? ??10??20x?11?10

6346121121 ∴ ∴原不等式的解集是{x| } ?x??x?202020203?5x4

解：原不等式可化为：① 1?

5?2?5x1????46（略） 或解：原不等式化为 ?32?5x15???346?例3、解关于x的不等式 2x?3?1?a (a?R)

解：原不等式可化为：2x?3?a?1

当 a+1>0 即a>?1时 ?(a+1)<2x+3?1时 原不等式的解集是 {x|?当a≤?1时 解集为?

例4、解不等式 2?1?4x?7

解一：原不等式可化为：2?4x?1?7

13?x??或x??4x?1?2?44 ??3?x??1或3?x?2 ? ???3244????x?

一元二次不等式及其解法

一、学习目标

1．熟练掌握一元二次不等式的解法及其应用．

2．理解二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解之间的关系．

二、基础知识

1

．

一

元

二

次

不

等

式

的

定

义： ． 2、二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解之间的关系．

3．指数、对数型不等式常使用

三、基础检测

1．不等式(x 2)(x 3) 0的解集是 ．

2

2．不等式4x 12x 9 0的解集是．

3．函数y 4．不等式

4x x2 9的定义域是 ．

x 1

0的解集是 ． x 2

5． 不等式(x2 4x 5)(x2 4) 0的解集是 6．函数y lg(x2 3x 2)的定义域是 7．若点P(四、例题

【例1】解下列不等式

(1) x2 2x 3 0;(2)x2 x 1 0;(3)x2 x 30 0;(4)4x(1 x) 1 0．

【例2】解关于x的不等式x2 2ax 3a2 0．

变式：解关于x的不等式2x2 ax 2 0．

【例3】．解不等式

2

【例4】． 解关于x的不

一元二次不等式及其解法

一、学习目标

1．熟练掌握一元二次不等式的解法及其应用．

2．理解二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解之间的关系．

二、基础知识

1

．

一

元

二

次

不

等

式

的

定

义： ． 2、二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解之间的关系．

3．指数、对数型不等式常使用

三、基础检测

1．不等式(x 2)(x 3) 0的解集是 ．

2

2．不等式4x 12x 9 0的解集是．

3．函数y 4．不等式

4x x2 9的定义域是 ．

x 1

0的解集是 ． x 2

5． 不等式(x2 4x 5)(x2 4) 0的解集是 6．函数y lg(x2 3x 2)的定义域是 7．若点P(四、例题

【例1】解下列不等式

(1) x2 2x 3 0;(2)x2 x 1 0;(3)x2 x 30 0;(4)4x(1 x) 1 0．

【例2】解关于x的不等式x2 2ax 3a2 0．

变式：解关于x的不等式2x2 ax 2 0．

【例3】．解不等式

2

【例4】． 解关于x的不

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课时达标检测（三十一） 不等式的性质及一元二次不等式

[小题对点练——点点落实]

对点练(一) 不等式的性质

a＋macc1

1．(2018·安徽合肥质检)下列三个不等式：①x＋x≥2(x≠0)；②ab>c>0)；③>

b＋mb(a，b，m>0且a

A．3 C．1

B．2 D．0

cc11

解析：选B 当x<0时，①不成立；由a>b>c>0得a

－＝，由a，b，m>0且a0恒成立，故③恒成立，所以选B. b＋mbb?b＋m?b＋mb

2．若a>b>0，cbd C．ad

B．acbc

解析：选B 根据c－d>0，由于a>b>0，故－ac>－bd，ac

A．若a<1，b<，则a>b

21

B．若a<1，b<，则a

21C．若a>1，b>，则a>b

21

D．若a>1，b>，则a

2

13

b－?2＋，对于A，取a＝－1，b＝0，a>b解析：选D 由题意知，a2＝b2－b＋1＝??2?4不成立；对于B，取a＝

571

，b＝，ab不成立；88

1

对于D，若a>1，则b2－b>0，又b>，得b>1,1－b<0，所以a2＝b2－b＋1

2选D.

14．若0

2A．a C．2ab

1B． 2D．a2＋b2

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2

1212?a＋b?解析：选D 因为0＝，2ab＝2a(1－a)222

1111

a－?2＋<，所以a，，2ab，a2＋b2中最大的数为a2＋b2. ＝－2??2?222

5．(2018·山西康

学术论坛

ＳＣ畦ＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ

区间上的二次函数～●－次方程和＝次不等式

高立群邵亚茹

（陕西省富平县立诚中学

７１１７１

１）

摘要：本文着重讨论在指定区间内二次函数的最值问题，二次方程根的分布问题，二次不等式的判解问题的一些结论及其应用。关键词：区间二次函数二次方程二次不等式中图分类号：Ｇ６３３．６２文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—３７９ｌ（２００７）１２（ａ）一０２０７—０２二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都转化为二次函数来处理，二次函数、一元二次方程、二次不等式，它们之间相互联系，互为工具，而在指定区间内研究其局部性质是三者深化的主要内容，并且随着各类考试、竞赛的深入不断深化。

例２：设ｆ（ｘ）是定义在区间（一＊，十＊）上的以２为周期的函数，对ｋ∈ｚ用Ｉｋ表示区间（２ｋ一１，２ｋ＋１），已知ｘ∈Ｉ．时，ｆ（ｘ）＝ｘ２。

Ｉ、求ｆ（ｘ）在Ｉｋ上的解析式Ⅱ、对自然数ｋ求集合Ｍｋ＝｛ｏ【｝使方程ｆ（ｘ）＝ａｘ在Ｉｋ上有两个不相等的实数根｝

解：

髂ｍ忙：墨学

ｆ（ｘ）＞Ｏ在【ｍ，ｎ］上有解Ｃ＞ｆ（ｍ）＞Ｏ或ｆ

（ｎ）＞０

１二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ‘＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠Ｏ）在【ｍ，ｎＪ内的最值。ａ＞０时

例３：１９９９年高中联赛一试（三）

题目：已知当ｘ∈