多维随机变量及其分布答案

第三章 多维随机变量及其分布

随机向量的定义：

随机试验的样本空间为S={?}，若随机变量X1(?),X2(?),…,Xn(?)定义在S上，则称（X1(?),X2(?),…,Xn(?)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,Xn）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint

2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；

marginal

3．X与Y的相互关系；

4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布

一．离散型随机变量 1．联合分布律

定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i，j=1,2…,取这些值的概率为

pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…

《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 17 页 共 13 页

第三章 多维随机变量及其概率分布

【内容提要】

一、二维随机变量及其分布函数

【定义】设X?X(?),Y?Y(?)是定义于随机试验E的样本空间?上的两个随机变量，则称(X,Y)

为二维随机变量，称F(x,y)?P?X(?)?x,Y(?)?y?为其联合分布函数，而称:

F1(x)?P?X(?)?x?及F2(y)?P?Y(?)?y?分别为X,Y的边缘分布函数。

二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)具有如下性质: ⑴．非负性: ?x,y?R，有0?F(x,y)?1；

⑵．规范性: ?x,y?R，有F(x,??)?F(??,y)?0,F(??,??)?1； ⑶．单调性: 当x(或y)固定不变时，F(x,y)是y(或x)的单增函数； ⑷．右连续性: ?x,y?R，有F(x?0,y?0)?F(x,y)；

⑸．相容性: ?x,y?R，有F(x,??)?F1(x),F(??,y)?F2(y)； ⑹．特殊概率: 若x1?x2,y1?y2，则

P(x1?X?x2,y1?Y?y2)?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第三章 多维随机变量及其分布（一）

一、填空题：

?Axy2,0?x?1,0?y?11、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??，则常数

?0,其他A? 6 。

2、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)???Aarctanx?arctany,x?0,y?0，则常数

?0,其他A? 4 。 2?二、计算题：

1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验： （1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

?0若第一次出的是正品?0若第二次出的是正品 X?? ， Y??

1若第一次出的是次品1若第二次出的是次品??试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样 （2）不放回抽样 Y 0 1 Y 0 1 X X 0 25/36 5/36

第3章 多维随机变量及其分布习题参考答案

3.1 二维离散型随机变量习题答案 1. 解：?1? 在有放回抽样情形下

?X,Y?的可能取值为?0,0?,?0,1?,?1,0??1,1?，则?X,Y?的联合分布律为

111144P?X?0,Y?0????，P?X?0,Y?1????

552555254144416P?X?1,Y?0????，P?X?1,Y?1????

55255525即?X,Y?的联合分布律为： Y X 0 1 0 1 1 254 25 4 2516 25 ?2? 在不放回抽样的情形下

?X,Y?的可能取值为?0,1?,?1,0??1,1?，则?X,Y?的联合分布律为

141411??，P?X?1,Y?0???? 545545433??? P?X?1,Y?1?545 P?X?0,Y?1?? 即?X,Y?的联合分布律为：

Y X 0 1 0 1 1 513 55 0 2. 解：?1?

第三章 多维随机变量及其分布

§1 二维随机变量

教学目的：掌握多维随机变量的概念，掌握二维随机变量的分布函数及其性质．掌握离散型二维随机变量及其联合分布，掌握连续型二维随机变量的联合分布.

教学重点：多维随机变量的定义，二维随机变量的分布函数及其性质．离散型二维随机变量及其联合概率分布，连续型二维随机变量的概念与联合分布.

教学难点：正确理解多维随机变量、其分布函数及联合分布． 教学内容：

1、多维随机变量的定义：(X1,X2,?,Xn)

n?2时，二维随机变量记为(X,Y)

2、二维随机变量的分布函数

定义 设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数x,y,二元函数

F(x,y)?P{(X?x)}?P{(Y?y)}记为P{X?x,Y?y}

称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随机变量X和Y的联合分布函数.

3、二维随机变量分布函数的性质 （1）0?F(x,y)?1

（2）F(??,y)?0,F(x,??)?0,F(??,??)?0,F(??,??)?1, （3）F(x,y)关于变量x和y分别为不减函数． （4）F(x,y)关于变量x和y分别为右连续函数．

（5）?x1?x2,?y1?y2，有F(x2,y2)?F(

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

习题三

一、填空题

3441.设X与Y两随机变量, 且P(X?0，Y?0）=，P(X?0）?,P（Y?0）?, 则

777P(max（X，Y）?0）? 5/7 . 2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为

Y X 1 2 3

则关于X的边缘分布律为 .

1 0 2 3 1 61 61 61 121 60 1 61 12X 1 1 1/4 2 1/2 3 1/4

（X，Y）3．若的联合分布律为 X Y 1 2 ?,?应满足条件是 ????1 1/6 1/3 2 1/9 ? 3 1/18 ? 1 .若X与Y相互独立则?= 2/9 ,?= 1/9 ； 34.设X与Y独立同分布, 且X的分布律为P(X?0)?0.5,P(X?1)?0.5, 则随机变量Z?max{X,Y}的分布律为 P(Z=0)=0.25, P(Z=1)=0.75 ；

5.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f?x,y????10?x?1,0?y?1

其他?0则概率P?X?0.5,Y?0.6?=____0.3____。

?Ae?(2x?3y),x,y?06. 设 (X

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

2013版高考数学一轮复习精品学案：第十一章 计数原理、概

率、随机变量及其分布 11.3随机变量及其分布

【高考新动向】

一、离散型随机变量及其分布列 1．考纲点击

（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；

（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 2．热点提示

（1）高考中对本节考查的重点是分布列的概念及其求法以及期望和方差的有关内容； （2）多以选择、填空的形式考查分布列的特点、服从超几何分布的随机变量的概率。 二、二项分布及其应用 1．考纲点击

（1）了解条件概率和两个事件相互独立的概念； （2）理解n次独立重复试验的模型及二项分布； （3）能解决一些简单的实际问题。 2．热点提示

（1）在选择、填空中考查条件概率、相互独立事件及n次独立重复试验的概率； （2）在解答题中考查这些概率，或者综合考查分布列、均值与方差等。 三、离散型随机变量的均值与方差 1．考纲点击

（1）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念；

（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 2．热点提示

（1）以选择、填空题的形式考查离散型随机变量均值与方差的概念和计算； （

2．1．1离散型随机变量

教学目标：

知识目标：1.理解随机变量的意义；

2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量 的例子；

3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.

能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力. 情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣. 教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题 教学过程：

一、复习引入：

展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲 某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，?，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，??10这11个数表示；

某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，