小学四年级奥数图形面积问题

第四讲：图形(一)

爱学教育老师奥数 2015·四年级·竞赛·秋

三角形种类：

面积公式：

三角形的高：

1、 如图，?ABC面积是30平方分米，D是BC的中点，AE的长是ED的2倍。那么?BED的面

积是多少平方分米？

2、 如图，三角形ABC的面积是240平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE的3倍，EF

的长BF的3倍，那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

3、 如图，三角形ABC中，D、E为两个三等分点，F是

AB的中点，若三角形DEF的面积是12平方厘米，那么四边形AFEC的面积为多少平方厘米？

4、如图，BD=3AD, CE=4AE,三角形ADE的面积是2平方厘米，求三角形ABC的面积？

5、如图，在△ABC中，BD=2DC,AE=BE，已知△BDE的面积为6平方厘米，求四边形ACDE

的面积。

6、 将三角形ABC的BA延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F。若三角形

ABC的面积是1平方厘米，求三角形DEF的面积？

7、如图，三角形ABC是正三角形，D、E分别是AB、BC的中点，已知三角形BDE的面积是6平方厘米，求三角形A

第四讲：图形(一)

爱学教育老师奥数 2015·四年级·竞赛·秋

三角形种类：

面积公式：

三角形的高：

1、 如图，?ABC面积是30平方分米，D是BC的中点，AE的长是ED的2倍。那么?BED的面

积是多少平方分米？

2、 如图，三角形ABC的面积是240平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE的3倍，EF

的长BF的3倍，那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

3、 如图，三角形ABC中，D、E为两个三等分点，F是

AB的中点，若三角形DEF的面积是12平方厘米，那么四边形AFEC的面积为多少平方厘米？

4、如图，BD=3AD, CE=4AE,三角形ADE的面积是2平方厘米，求三角形ABC的面积？

5、如图，在△ABC中，BD=2DC,AE=BE，已知△BDE的面积为6平方厘米，求四边形ACDE

的面积。

6、 将三角形ABC的BA延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F。若三角形

ABC的面积是1平方厘米，求三角形DEF的面积？

7、如图，三角形ABC是正三角形，D、E分别是AB、BC的中点，已知三角形BDE的面积是6平方厘米，求三角形A

第一讲 图形周长和面积

知识导航

亲爱的同学们，我们已经学会长方形、正方形的周长与面积的计算，利用公式很容易算出它们的面积与周长。但在遇到一些较复杂的有关长方形和正方形的周长和面积计算时，一些同学就会感到棘手。这一讲我们将学习用平移、转化、分解、合并等技巧解决难题，使大家在解题中能顺利地找到突破口，化难为易，化繁为简。

精典例题

例1： 下图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是

400平方厘米，那么它的周长是多少厘米?

思路点拨

每个正方形的面积为：400÷16=25(平方厘米)，所以每个正方形的边长是5厘米。从上下方向来看有14条边是周长的一部分，从左右方向来看有20条边是周长的一部分，所以??

模仿练习

计算右面图形的周长(单位：厘米)。

例2：有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方

形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。

思路点拨

从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的5÷4=1.25倍。每个小长方形的面积为45÷9=5平方厘米，所以1.25×宽×宽=5，所以宽为2厘米，长为2.5厘米。

模仿练习

1.四边形面积：

下图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是___平方厘米

四边形AFDC的面积=三角形AFD+三角形ADC

=（1/2×FD×AF）+（1/2×AC×CD）

=1/2（FE+ED）×AF+1/2（AB+BC）×CD

= （1/2×FE×AF+1/2×ED×AF）+（1/2×AB×CD+1/2×BC×CD）。所以阴影面积=四边形AFDC-三角形AFE-三角形BCD=（1/2×FE×AF+1/2×ED×AF）+（1/2×AB×CD+1/2×BC×CD）-1/2×FE×AF-1/2×BC×CD=1/2×ED×AF+1/2×AB×CD=1/2×8×7+1/2×3×12=28+18=46。 2.如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你说明它们的面积相等。

连接 BE，根据前面介绍的模型，

的面积既是平行四边形 ABCD面积的一半，又是平

面积的两倍，因此相

行四边形AEGF 面积的一半，所以这两个平行四边形的面积均为

等。

3.三角形面积：如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形

图形找规律

找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题： ⑴图形数量的变化；⑵图形形状的变化；⑶图形大小的变化； ⑷图形颜色的变化；⑸图形位置的变化；⑹图形繁简的变化.

对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题.

板块一 数量规律

【例 1】 观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？

【解析】 横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形

的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。

【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？

？

【解析】 （方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加，但每行图形的总个数

不变.因为三角形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个三角形△. (方法二)竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三角形按照4、？、2、1的顺序变化，也可

图形找规律

找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题： ⑴图形数量的变化；⑵图形形状的变化；⑶图形大小的变化； ⑷图形颜色的变化；⑸图形位置的变化；⑹图形繁简的变化.

对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题.

板块一 数量规律

【例 1】 观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？

【解析】 横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形

的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。

【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？

？

【解析】 （方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加，但每行图形的总个数

不变.因为三角形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个三角形△. (方法二)竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三角形按照4、？、2、1的顺序变化，也可

四年级奥数第12讲图形面积（学生版）学习目标

λ熟悉掌握基本图形面积的求法。

λ熟悉运用分解、平移、合并等技巧成基本图形,利用长方形、正方形面积计算公式求解。

λ能够分析图形的特点,提高几何图形的观察能力和思维转换能力。

知识梳理

解答有关“图形面积”问题时,应注意以下几点：

1.细心观察,把握图形特点,合理地进行切拼,从而使问题得以顺利地解决；

2.从整体上观察图形特征,掌握图形本质,结合必要的分析推理和计算,使隐蔽的数量关系明朗化。

典例分析

例1、人民路小学操场长90米,宽45米。改造后,长增加10米,宽增加5米。现在操场面积比原来增加了多少平方米？

例2、一个长方形,如果宽不变,长增加6米,那么它的面积增加54平方米；如果长不变,宽减少3米,那么它的面积减少36平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？

1 / 8

例3、下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场,求它的占地面积。

例4、街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路,如果水泥路的总面积是12平方米,中间花坛的面积是多少平方米？

例5、一块正方形的钢板,先截去宽5分米的长方形,又截去宽8分米的长方形（如图）,面积比原来的正方形减少181平方分米。原正方形的边长是多少？

例6、已知

1、在一次登山比赛中，小刚上山时每分 走40米，18分到达山顶。然后按原路下山， 每分走60米。小刚上、下山平均每分走多 少米？

40×18÷60=12分 40×18×2÷(18+12)=48米

2、某班有40名学生，期中数学考试，有 两名同学因故缺考，这时班级平均分为89 分，缺考的同学补考各得99分，这个班期 中考试平均分是多少分？

(99―89)×2÷40+89=89.5

3、有八个数字排成一列，它们的平均数 是9.3。已知前五个数的平均数是10.5,后 四个数的平均数是11.3。问：第五个数是 多少？

10.5×5+11.3×4-9.3×8=23.3

4、王新同学期末考试成绩如下：语文和 数学平均成绩是94分；数学和外语平均成 绩是88分；语文和外语平均成绩是86分。 王新语文、数学、外语各得多少分？

94+88+86=268 268-88×2=92 268-86×2=96 268-94×2=80

5、芳芳上学期期末考试成绩：语文87分， 数学96分，地理93分，思想品德94分，外 语考试成绩比五科平均成绩低2分，求外 语

平均数问题

1、在一次登山比赛中，小刚上山时每分走40米，18分到达山顶。然后按原路下山，每分走60米。小刚上、下山平均每分走多少米？

40×18÷60=12分 40×18×2÷（18＋12）=48米

2、某班有40名学生，期中数学考试，有两名同学因故缺考，这时班级平均分为89分，缺考的同学补考各得99分，这个班期中考试平均分是多少分？

（99―89）×2÷40＋89=89.5

3、有八个数字排成一列，它们的平均数是9.3。已知前五个数的平均数是10.5，后四个数的平均数是11.3。问：第五个数是多少？

10.5×5＋11.3×4－9.3×8=23.3

4、王新同学期末考试成绩如下：语文和数学平均成绩是94分；数学和外语平均成绩是88分；语文和外语平均成绩是86分。王新语文、数学、外语各得多少分？

94＋88＋86=268 268－88×2=92 268－86×2=96 268－94×2=80

5、芳芳上学期期末考试成绩：语文87分，数学96分，地理93分，思想品德94分，外语考试成绩比五科平均成绩低2分，求外语成绩及五科平均成绩。

(87＋96＋93＋94)÷4=92.5 92.5－2÷4－2=90

6、某班统计数学考试成绩，

1、在一次登山比赛中，小刚上山时每分 走40米，18分到达山顶。然后按原路下山， 每分走60米。小刚上、下山平均每分走多 少米？

40×18÷60=12分 40×18×2÷(18+12)=48米

2、某班有40名学生，期中数学考试，有 两名同学因故缺考，这时班级平均分为89 分，缺考的同学补考各得99分，这个班期 中考试平均分是多少分？

(99―89)×2÷40+89=89.5

3、有八个数字排成一列，它们的平均数 是9.3。已知前五个数的平均数是10.5,后 四个数的平均数是11.3。问：第五个数是 多少？

10.5×5+11.3×4-9.3×8=23.3

4、王新同学期末考试成绩如下：语文和 数学平均成绩是94分；数学和外语平均成 绩是88分；语文和外语平均成绩是86分。 王新语文、数学、外语各得多少分？

94+88+86=268 268-88×2=92 268-86×2=96 268-94×2=80

5、芳芳上学期期末考试成绩：语文87分， 数学96分，地理93分，思想品德94分，外 语考试成绩比五科平均成绩低2分，求外 语