数列求和的方法及应用

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60

数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)

2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．

－

1、 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n1·(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝________.

An7n＋5a72.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________

Bnn＋3b7

a2n＋1

3.若数列{an}满足2＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．则“数列{an}

an是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

4.已知函数

§6.4 数列求和

（时间：45分钟 满分：100分）

一、选择题(每小题7分，共35分)

1*

1．在等比数列{an} (n∈N)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为( )

8

11

A．2－8 B．2－9 2211

C．2－10 D．2－11

222．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )

A．2＋n－1 C．2n＋1＋n2－2

n2

B．2

n＋1

＋n－1

2

D．2n＋n－2

3．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于( ) A．126

B．130

C．132

D．134

4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )

A．200

B．－200 C．400

D．－400

5．数列1·n,2(n－1),3(n－2)，…，n·1的和为( )

1

A.n(n＋1)(n＋2) 61

C.n(n＋2)(n＋3) 3

1

B.n(n＋1)(2n＋1) 61

D.n(n＋1)(n＋2) 3

数列求和的常用方法

数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?q1、 等差数列求和公式：Sn?n1123、 Sn??k?n(n?1) 4、Sn??k?n(n?1)(2n?1)

62k?1k?1n1325、 Sn??k?[n(n?1)]

2k?1例1（07高考山东文18）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4构成等差数列．

n（1）求数列{an}的等差数列．

（2）令bn?lna3n?1，n?1求数列{bn}的前n项和T． ，2，?，?a1?a2?a3?7，?解：（1）由已知得:?(a?3)?(a?4)解得a2?2．

13?3a2.??22 设数列{an}的公比为q，由a2?2，可得a1?

由数列求和常用方法探讨数学思想方法的教学

章婷 周娟 伍莎 杨冬苹

（西南大学数学与统计学院 重庆北碚 400715）

摘要：任何事物都有其灵魂的本质，而数学的灵活就是数学思想方法。我们由具体的数列求和的几种方法，体会数学思想方法是渗透在教学的过程中，根据数学思想方法的特征，由此探讨数学思想方法的重要作用及关于数学思想方法的教学，并由此指出应试教育对数学思想方法教学的限制，呼吁真正全面地实行素质教育。

关键词：数列求和 数学思想方法 重要作用 教学

弗赖登塔尔曾经说过：与其说是学习数学，还不如说是学习数学化；与其说是学习公理系统，还不如说是学习公理化；与其说是学习形式体系，还不如说是学习形式化。这是颇有见地的。他特别指出，数学本身同样属于现实世界，因而在数学发展过程中，我们必须要面对数学自身的数学化。人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。由此，可以看出，数学思想方法对我们认识世界是相当重要的。那么，对于我们的数学教育工作者来说，数学思想方法的教学在教学过程中占有举足轻重的地位。下面，通过归纳得到的数列求和的几种常用方法，来看中学数学思想方法的教学。

数列求

数列及其数列求和

数

学

数列及其数列求和

专题1：数列及其数列求和

解读考纲

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的问题．

重点、考点精读与点拨

一、基本知识

1．定义：

(1) .数列：按一定次序排序的一列数

(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列

(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一

个常数，则这个数列叫做等比数列

2． 通项公式与前n项和公式

{an}为等差数列： an a1 (n 1)d

{bn}为等比数列：

Sn na1

n(a1 an)n(n 1)d 22

bn b1q

n 1

(q 1)

a1(1 qn)a1 anq

（q 1) Sn

1 q1 q

3． 常用性质

{an}为等差数列，则有

数列及其数列求和

（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，an （2） an am (n m)d

an 1 an 1

（n

二项式定理在数列求和中的应用

【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如

an?na(a?2,3,4)的前n项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。

【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一， 二项式定理和杨辉三角介绍：

0n01n?112n?221,二项式定理： (a?b)n?Cnab?Cnab?Cnab?rn?rr?Cnab?n0nCnab

其中Cn叫做二项式系数。 2,杨辉三角：

r 二，

重要组合恒等式:

r?1rr（1）,Cn?1?Cn?1?Cn

证明：

r?1rCn?1?Cn?1?(n?1)!(n?1)!?(r?1)!(n?r)!r!(n?1?r)!

=

(n?1)!n!r[r?(n?r)]??Cn（证 毕）

r!(n?r)!r!(n?r)!rr?1?Cn?C?1n(n?r)

rrr （2），Cr?Cr?1?Cr?2?证明（数学归纳法）：

r?1当n?r?1时 上式 左边=1 右边是Cr?1?1，所以是正确的。 rrr假设上式对n?k(k?r)正确 即Cr?Cr?1?Cr?2?rrr那么就有Cr?Cr?1?Cr?2??Ckr?1?Ckr?1

?C

453

［中国高考数学母题］(第141号)

数列求和的性质与求和技巧

求数列｛a n｝的通项a n和前n项和S n,是研究数列的两大主题，课标全国卷数列试题具有浓郁的数列求和“情结”；其中, 数列求和的性质与两个求和技巧，值得关注.

［母题结构］：(I )(求和性质)若数列gn｝,｛b n｝的前n项和分别为S n,T n,则数列g n+tb n｝的前n项和=kS n+tT n；

(II )(并项求和)若数列｛a n｝的a n中含(-1) n,令bn=a2n-l+a2n,并求数列｛b n｝的前n项和T n,然后由Sn=T n,S 2n-1=T n￡ 2n求S^g；

(山)(分段求和)若数列｛a n｝:a n=f(n)(n < m),a n=g(n)(n>m),则：①当n w m时,S n 由a“=f(n)求出；②当n>m时，先由a“=f(n) 求S m 再由a n=g(n)求S-S M然后由S=S+(S n-Sj,求S n.

［母题解析］:略.

1.求和性质

子题类型I :(2016年北京高考试题)已知｛a n｝是等差数列,｛b n｝是等比数列，且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.

(I )求｛a n｝的通项公式；(I )设C n=a n+b n,求数

二项式定理在数列求和中的应用

【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如

an?na(a?2,3,4)的前n项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。

【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一， 二项式定理和杨辉三角介绍：

0n01n?112n?221,二项式定理： (a?b)n?Cnab?Cnab?Cnab?rn?rr?Cnab?n0nCnab

r其中Cn叫做二项式系数。

2,杨辉三角：

二，

重要组合恒等式:

r?1rr（1）,Cn?1?Cn?1?Cn

证明：

r?1rCn?1?Cn?1?(n?1)!(n?1)!?(r?1)!(n?r)!r!(n?1?r)!

=

(n?1)!n!r[r?(n?r)]??Cn（证 毕）

r!(n?r)!r!(n?r)!rrr?1?Cn?1?Cn(n?r)

（2），Cr?Cr?1?Cr?2?证明（数学归纳法）：

rr?1当n?r?1时 上式 左边=1 右边是Crr?1?1，所以是正确的。

假设上式对n?k(k?r)正确 即Crr?Crr?1?Crr?2?那么就有Crr?Crr?1?Crr?2??Ckr?1?Ckr?1

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