三角函数的图象和性质例题

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第 11 课时：§1.3.2 三角函数的图象和性质（三）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.借助正切线画出正切函数的图象，并通过图象理解正切函数的性质。

2.能够应用正切函数性质解决一些相关问题。

3.掌握用数形结合的思想理解和处理有关问题的技能；发现数学规律，提高数学素质，培养实践第一观点.

二、过程与方法

1.类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

2.通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”的思想

三、情感、态度与价值观

1.会用联系的观点看问题，使学生理解动与静的辩证关系。 2.通过学生动手操作，激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 【教学重点与难点】：

重点：正切函数的图象和性质；

难点：正切函数的图象和性质

教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

《三角函数的图象与性质（一）——正弦函数、余弦函数的图象》

教学案例

太原二中 王 桓

课题：三角函数的图象与性质（一）——正弦函数、余弦函数的图象 教材分析：三角函数是继指数函数、对数函数和幂函数之后，高中学习的又一个基本初等函数的模型，同时，他又是高中数学中最后一个基本初等函数模型，因此，正弦函数、余弦函数的图象和性质的研究方法可以借鉴以前所学过的函数图象和性质的研究经验，同时这节课又可以作为以前所学方法的巩固课；再者，这节课中的正弦函数图象的作法可以将描点作图法的真正精髓——描点方法可以多种多样，关键是准确描点展示的淋漓尽致。这节课的内容在整个高中数学的函数部分中起到不可忽视的作用。

正弦函数的图象作为三角函数的图象与性质的起始课，是在已学习了三角函数线知识的基础上来研究的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数y Asin( x )的图象和性质的知识基础和方法准备，因此具有非常重要的地位。

学情分析：

1. 学生在学习了必修1和必修3的基础上，在高一下学期第三学段学习本节内容，已经具备了研究函数的一般思维基础和能力基础，对问题的

高考专题训练(六) 三角函数的图象与性质

A级——基础巩固组

一、选择题

1．(2014·全国大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝( ) 4A.5 3C．－5

3B.5 4D．－5 －44

解析 cosα＝22＝－5.X Kb1.C om ?－4?＋3答案 D

2．(2014·四川卷)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点( )

1A．向左平行移动2个单位长度 1B．向右平行移动2个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度

1??解析 ∵y＝sin(2x＋1)＝sin2?x＋2?，∴只需把y＝sin2x图象上所有的

??1

点向左平移2个单位长度即得到y＝sin(2x＋1)的图象．

答案 A

π

3．(2014·北京东城一模)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )

3πA.4 πC.4

πB.2 πD．－4 解析 y＝sin(2x＋φ)错误!sin错误!＝sin错误!是偶函数，即错误!＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)?φ＝kπ＋π4(k∈Z)，当k＝0时，φ＝π4，故选C.

三角函数的图象和性质（一）

教学目标：

1、 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和

函数y?Asin(?x??)的简图； 2、 理解A,?,?的物理意义，掌握由函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换原理;

3、 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.

教学重点：函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换方法．

一、知识点归纳：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图. 2.函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的两种主要途径． 3.掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心. 4.会由三角函数图象求出相应的解析式.

二、知识点解析：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图，五个特殊点通常都是取

三个平衡点，一个最高、一个最低点；

2.给出图象求y?Asin(?x??)?B的解析式的难点在于?,?的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T，

三角函数的图象和性质（一）

教学目标：

1、 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和

函数y?Asin(?x??)的简图； 2、 理解A,?,?的物理意义，掌握由函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换原理;

3、 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.

教学重点：函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换方法．

一、知识点归纳：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图. 2.函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的两种主要途径． 3.掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心. 4.会由三角函数图象求出相应的解析式.

二、知识点解析：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图，五个特殊点通常都是取

三个平衡点，一个最高、一个最低点；

2.给出图象求y?Asin(?x??)?B的解析式的难点在于?,?的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T，

巩固

1．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调增区间为( )

A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z

B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z

C ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈Z

D ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z

解析：选C.由k π－π2

得单调增区间为? ??

??k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z . 2．(2009年高考四川卷)已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结

论错误的是( )

A ．函数f (x )的最小正周期为2π

B ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数

C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称

D ．函数f (x )是奇函数

解析：选D.∵y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，∴T ＝2π，A 正确；

y ＝cos x 在[0，π2]上是减函数，y ＝－cos x 在[0，π2]上是增函数，

B 正确；

由图象知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确． y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．

3．若函数y ＝2cos(2x ＋φ)是偶函数，且在(0，π4)上是增函数，

则实数φ可能是( )

A ．－π2

B ．0

C.π2

第3讲 三角函数的图象与性质

【2013年高考会这样考】

1．考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用．

2．考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用． 【复习指导】

1．掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象．通过三角函数的图象研究其性质．

2．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用．

基础梳理

1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π??3π?

?，(π，0)，?，－1?，(2π，0)． (0,0)，?，1?2??2?(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π??3π????，(2π，1)． (0,1)，?，0?，(π，－1)，?，0

?2?22．三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 y＝sin x y＝cos x y＝tan x π{x|x≠kπ＋，k∈Z} 2R R 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R - 1 -

π对称轴：x＝kπ＋(k2对称性 ∈Z) 对称中心： (kπ，0)(k∈Z) 周期 2π 单调增区间 ππ???2kπ－，?

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专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质

答案部分

1．B【解析】易知f(x)?2cosx?sinx?2?3cosx?1?22233(2cos2x?1)??1 22?35cos2x?，则f(x)的最小正周期为?，当x?k?(k?Z)时，f(x)取得最大值，22最大值为4．

π2．C【解析】解法一 f(x)?cosx?sinx?2cos(x?)，当x?[0,a]时，

4x?是

????3??[,a?]，所以结合题意可知a?≤?，即a≤，故所求a的最大值444443?，故选C． 4解法二 f?(x)??sinx?cosx??2sin(x?即sin(x?所以a??4)，由题设得f?(x)≤0，

?4)≥0在区间[0,a]上恒成立，当x?[0,a]时，x???[,a?]， 444???4≤?，即a≤3?3?，故所求a的最大值是，故选C． 44sinxtanxcosx?sinxcosx?sinxcosx?1sin2x， 3．C【解析】f(x)??sin2xcos2x?sin2x1?tan2x21?cos2x2???．故选C． 所以f(x)的最小正周期T?24．A

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第 1 页 共 19 页 金太阳新课标资源网82fc4cec6294dd88d0d26b32 三角函数的图像和性质

【考点阐述】

正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．

【考试要求】

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A 、ω、φ的物理意义．

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示．

【考题分类】

（一）选择题（共21题）

1.（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π

=+图像的对称轴方程可能是（ ）

A ．6x π

=- B ．12x π

=- C ．6x π

= D ．12x π

= 解：sin(2)3y x π

=+的对称轴方程为232x k π

π

π+=+，即212k x ππ=+，0,12

k x π== 2.（广东卷文5）已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，