不定积分例题及答案解析

第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx性质2：F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C； 性质3：[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原

第4章不定积分

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分!

★(１）

思路: 被积函数5

2

x -=,由积分表中的公式（2)可解。

解:53

22

23x dx x C --==-+?

★（2）dx

?

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。

解:1

14111

3332223()2

4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★（3)22x x dx +?（）

思路：根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

解:22

32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（）

★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。

解：3153

222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★（5)4223311x x dx x +++?

思路:观察到422223311311

x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解：42232233113arctan 11x

不定积分的典型例题

不定积分的典型例题

x2 1

例1．計算 4

x 1

解法1

x4 1 (x2

2x 1)(x2 2x 1).

而 (x2 2x 1) (x2 2x 1) 2(x2 1) 所以

x2 1111

( x4 12 x2 2x 1 x2 2x 1) 1 [ 2

1

221(x )

22

1d(2x 1)

1

221

(x )

22

1d2x 1)

)

2(

2

2x 1) 1

2

2(

2x 1) 1

2

1

2x 1) 2x 1)] c.

x2 1(x2 2x 1) 2x

22

解法2 x4 1(x 2x 1)(x 2x 1)

dx2x

4 2

x 1x 2x 1

11 2x 1) arctanx2 c.

22 解法3

11

1d(x )2x 1当x 0, 4dx x 1x2 2x2 2xx

2

1

d(x )

1x2 1 c

1222x(x ) 2x lim

x 0

12

x2 1x

22

,

不定积分的典型例题

1x2 1 lim , x 0

22x22由拼接法可有

2

x 1

dx x4 1

1x2 1 22x22

1x2 1 22x22

c,x 0

x 0. c

x 0

x3 2

例2.求 . 22

(x 1)(x 1)解 将被积函数化为简单的部分分式

x3 2ABCx D

不定积分的例题分析及解法

这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量u??(x)，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将?ud?转化成??du，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如f(x)为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，f(x)为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如

?sinxxdx；?e?x2dx；?1lnxdx；?dx1?ksinx22（其中0?k?1）等。

这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。

一、疑难分析

（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明

（1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数

f(x)，若存在函数F(x)，使得该区间上每一点x处都有F?(x)

(1)

?xdx2x (2)

3(?x?1x)dx

(3)

（2?x?x2）dx

(4)

?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx (7)（?x2-1x+34x3-x4）dx (10)?1x2(1?x2)dx (13)?cot2xdx (16)

?11?cos2xdx (19)?(1?x1?x?1?x1?x)dx（1）

?e3tdt (4)

?135?3xdx (7)

?tan10xsec2xdx (10)

?dxsinxcosx (13)

?xdx 2?3x2(16)?sinxcos3xdx (19) ?dx2x2?1 (22)

?xdxx8?1 x2?1(8)?(31?x2?2)dx

不定积分练习题及答案

一、选择题、填空题：1、（ 1 sin

x

2

x2

)dx _________

2、若e是f(x)的原函数，则： xf(lnx)dx _______ 3、

sin(lnx)dx ______

4、已知e

x

2

2

是f(x)的一个原函数，则 f(tanx)secxdx _________;

，过(1,1)点的积分曲线是y ________;

2

5、在积分曲线族

6、F'(x) f(x),则 f'(ax b)dx _________;7、设 f(x)dx

1x

2

c,则

f(ee

x

)

x

dx _________;1

dx __________;

8、设 xf(x)dx arcsinx c,则

f(x)

9、f'(lnx) 1 x,则f(x) ________;

10、若f(x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f(x)______;(A)必有导函数

(B)必有原函数

(C)必有界

(D)必有极限

11、若 xf(x)dx xsinx sinxdx,则f(x) ______;12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),则 f(x)dx _____(A)F(x)

(B) (x)

(C) (x) c

(D)F(x) (x) c

13、下列各式中正确的是：(A

__________________________________________________________________________________________

【第一换元法例题】

1、9999(57)(57)(571

1(57)(57)55

)(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=+?++???? 110091(57)(57)(57)10111(57)5550

d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1(57)'5,(57)5,(57)5

x d x dx dx d x +=+==+??

2、

1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=????

221(l 1ln ln (ln )2n )2

x x x d C x C =?=+=+? 【注】111(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===??

3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --====?????

cos ln |cos |c ln |co s |o s x x

(1)

?xdx2x (2)

3(?x?1x)dx

(3)

（2?x?x2）dx

(4)

?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx (7)（?x2-1x+34x3-x4）dx (10)?1x2(1?x2)dx (13)?cot2xdx (16)

?11?cos2xdx (19)?(1?x1?x?1?x1?x)dx（1）

?e3tdt (4)

?135?3xdx (7)

?tan10xsec2xdx (10)

?dxsinxcosx (13)

?xdx 2?3x2(16)?sinxcos3xdx (19) ?dx2x2?1 (22)

?xdxx8?1 x2?1(8)?(31?x2?2)dx

Yz.Liu.2013.09

卷终 公式表注解四

基本不定积分表

序言：

微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎

覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。

本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式

之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。

本表收录公式16组，151式。

公式一 基本初等函数的不定积分18式：

?1??1x?C,???1;?(1).?xdx????1??ln|x|?C,???1.幂函数

?(2).?axdx?1xa?Clna指数函数

(3).?exdx?ex?C

(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C对数函数三角函数

(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?

文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.

1word 版本可编辑.欢迎下载支持. 上海第二工业大学

不定积分、定积分 测验试卷

姓名： 学号： 班级： 成绩：

一、选择题：（每小格3分，共30分）

1、设

sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a

?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x

e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0

x x e c x F x e c x -?+≥=?-+

3、设01,0

()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >??===??-

?，则（ ） （A ）()F x 在0x =点不连续；

（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导；

（C ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足()