经典微积分题目及答案

2015秋微积分A（1）第八周习题课

一．函数的极限与连续（下）

例.1

例.2

例.3

例.4

例.5

例.6 设函数f(x)在 0, 上满足f(x2) f(x)，且lim f(x) limf(x) f(1)，求证：x 0x x a 已知极限lim x x 1 x 1 e 2，求常数a。 cos1 1x limxe e求极限 x 21 1 xx 1 求极限limx3 3 x 2若limx(cosx b) 5，则a =，b=. x 0e asinx求极限lim sinx x 0x 11 cosx

f(x) f(1),x (0, )。

例.7 设函数y f(x)在( , )上连续，且limf(x) 0存在，若y f(x)在 x

( , )内可取到正值，证明函数y f(x)在( , )上必有正的最大值。

例.8 设f C( , )，且 x,y ,f(x y) f(x) f(y)，证明：存在实数a使

得f(x) ax,x 。

例.9 设f(x)在(a,b)内至多只有第一类间断点，且

x y f(x) f(y)f , x,y (a,b)（*） 22

证明：f C(a,b)。

二．微分与导数（

高数复习

一． 求下列极限（每小题5分，共20分）

x

x 1x 1

1．lim lim

x

x x

x 1

lim 1 x

e.

e

xx 0x 1 1 x 1

sinx 2．

lim

x2

cos

1

x1x 0

x

limsinxx 0x limx 0xcosx

1 0 1.

2

1

3．

lim1 cosx

0

1 x2

x lim 1 x2

1 cosx

lim2x 0

12x2

ex 01 cosx e. 2

其中，lim

等价lim2x 0 1 cosx

x 0

2

2。

2

x

tsintdt

2

4． lim

0

xx sinx

limxsinx 0

x 01 cosx等价 limx 01 2. 22x

二．求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分） 1．

y lnx 1 x 1

，求dy.

解：

y lnx 1 x 1

ln

2x 1 x 1

ln2 lnx 1 x 1

，所以，

y

/

1

x 1 x 1

x 1

/

x 1

/

1 1x 1 x 1 2x 1 1

2x 1

1x 1 x 1x 1 x 1

x

2

11

1

2

1

2

，x

2

dy

1

2

x

2

dx. 1

2．设函数

y y x 由方程exy

ln

y

x 1

0确定，求y/ 0

习题1—2

1．确定下列函数的定义域：

1（1）y?；

2x?9（4）y?32．求函数

?1?siny??x??0(x?0)(x?0)（2）y?logaarcsinx；

（3）y?2； sin?x1x?1?loga(2x?3)；（5）y?arccos?loga(4?x2) x?22

的定义域和值域。

3．下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)?x,g(x)?x2；

2

（2）f(x)?cosx,g(x)?1?2sin2（4）f(x)??2；

x?1,g(x)?x?1； x?14．设f(x)?sinx证明：

（3）f(x)?x,g(x)?x0。 xf(x??x)?f(x)?2sin?x?x??cos?x?? 22??5．设f(x)?ax2?bx?5且f(x?1)?f(x)?8x?3，试确定a,b的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？

1?x22223（1）y?x(1?x) （2）y?3x?x； （3）y?；

1?x2ax?a?x（4）y?x(x?1)(x?1)； （5）y?sinx?cosx?1 （6）y?。

27．设f(x)为定义在(??,??)上的任意函数，证明：

（1）

习题1—2

1．确定下列函数的定义域：

1（1）y?；

2x?9（4）y?32．求函数

?1?siny??x??0(x?0)(x?0)（2）y?logaarcsinx；

（3）y?2； sin?x1x?1?loga(2x?3)；（5）y?arccos?loga(4?x2) x?22

的定义域和值域。

3．下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)?x,g(x)?x2；

2

（2）f(x)?cosx,g(x)?1?2sin2（4）f(x)??2；

x?1,g(x)?x?1； x?14．设f(x)?sinx证明：

（3）f(x)?x,g(x)?x0。 xf(x??x)?f(x)?2sin?x?x??cos?x?? 22??5．设f(x)?ax2?bx?5且f(x?1)?f(x)?8x?3，试确定a,b的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？

1?x22223（1）y?x(1?x) （2）y?3x?x； （3）y?；

1?x2ax?a?x（4）y?x(x?1)(x?1)； （5）y?sinx?cosx?1 （6）y?。

27．设f(x)为定义在(??,??)上的任意函数，证明：

（1）

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微积分试题 (A卷)

一. 填空题 (每空2分,共20分) 三.

已知limf(x)?A,则对于???0，总存在δ>0，使得当

x?1?时，恒有│?(x)─A│< ε。 四.

an2?bn?5?2，则a = ，b 已知limn??3n?2= 。 五.

若当x?x0时，?与? 是等价无穷小量，则limx?x0???? 。 ?六. 七.

若f (x)在点x = a处连续，则limf(x)? 。

x?af(x)?ln(arcsinx)的连续区间是 。

f(x0?3h)?f(x0)?______________。

h八. 九. 十.

设函数y =?(x)在x0点可导，则limh?0曲线y = x2＋2x－5上点M处的切线斜率为6，则点M的坐标为 。

d(?xf?(x)dx)? 。

22十一. 设总收益函数和总成本函数

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

篇一：微积分入门

校 本 课 程

论文题目：微积分初步

作 者：高红桃

日 期：2011-09-11

序

中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。

古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。

17世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

适用于经济类微积分期末考试,本试题配有详细答案。

广东金融学院期末考试试题 （A）卷

2007—2008 学年 第一学期 考试科目：《微积分I》

(闭卷 120 分钟)

姓名 班级 学号 成绩

一、填空题、 （每小题3分，共15分） 1．函数 y

3 x arctan

1x

的定义域为. ；

2．设f x

1 12

x 2，则f(x)＝；. x x

2

3．曲线y x sin2x在点

lnxx

,1

处的切线方程为 ；

2

4．曲线y 1 的水平渐近线为 ；

5．函数f(x) xx(x 0)的单调增加区间是 ； 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列数列{un}中收敛的是（ ） （A）un ( 1)n2．若f(x)

n 1n

（B）un ( 1)n

1n

； （C）un sin

n 2

； （D）un 2n；

sin(x 1)x 1

，则x 1是f(x)的（ ）

（A）连续点； （B）可去间断点； （C）跳跃间断点； （D）无穷间断点； 3．下列正确

1 / 10 综合练习题1（函数、极限与连续部分）

1．填空题

（1）函数)

2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x . （2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=

的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-?--

（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2

+=x x f （4）若函数??

???≥<+=0,0,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k

（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2

-=x x f （6）函数1

322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→x

x x 1sin

lim ．答案：1 （8）若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题

（1）设函数2

e e x

x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数

答案：B

（2）下列函数中为奇函数是（

）．