微积分解题方法与技巧

北京理工大学

微积分-常微分方程解法

常微分方程各种解题方法

程功 2011/2/16

1.几个基本定义

（1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.

实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.

分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数

分类2:

微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程F(x,y,y?)?0,y??f(x,y);

高阶?n?微分方程F(x,y,y?,?,y(n))?0,y(n)?f(x,y,y?,?,y(n?1)).

分类3: 线性与非线性微分方程.y??P(x)y?Q(x),x(y?)2?2yy??x?0;

?dy?3y?2z,??dx分类4: 单个微分方程与微分方程组.?

?dz?2y?z,??dx（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.

微分方程的解的分类：

① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.

例y??y,通解y?Cex;

y???y?0,通解y?C1sinx?C2cosx;

② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （

高数不定积分：巧辩题型，不仅仅是刷题

高等数学又被称为“微积分”，顾名思义，高等数学主要是研究微分与积分这一对儿矛盾的，既然是一对儿矛盾，那么从概念到计算法则想必都是一一对应的，是不是这样呢?下面，凯程考研数学组老师就从“矛盾”这一角度重新来看看不定积分的基本计算方法，希望帮助大家更深刻地去理解不定积分及其计算。

首先，回顾一下函数的求导法则：

从这种对应的角度重新去看不定积分与求导法则之间的关系，是不是更有利于理解不定积分的积分法呢?这是从整体框架上帮大家认识积分法则，当然具体到题目就需要同学们练就一双火眼金睛，能快速分析出题目所属类型，相应作出正确的处理，那么就需要我们再从“微观”的角度，细致的去分析如何从被积函数分析出使用哪种方法合适，每种方法在考查的时候又有有何技巧呢?以下内容将和大家一起探讨。

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此外，换元积分分为第一类换元积分与第二类换元积分，从本质上讲是换元积分公式的正向运用与反向运用。就识别来说，第一类换元积分被积函数包含原函数与导函数，第二类换元积分则主要解决被积函数中含有根式的情况，如果含有一次根式，则使用代数换元，将整个根式替换掉，如果含有二次根式则需要使用三角换元。不管是代数换元还是三角换元

不定积分和微分

一、公式

dd/f(x)dx?f(x)f(x)dx?和??dxf(x)dx?f(x)?c的应用 dx?注意：f(x)的不定积分为F(x)?c?F(x)是f(x)的原函数?f(x)是F(x)的导数，即

?f(x)dx?F(x)?c或F/(x)?f(x)

1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理 已知

?f(?(x))dx?F(x)?c，求f(x)

?f(x)dx?x2方法：求导得f(?(x))?F/(x)，令?(x)?t，则x???1(t)，即f(x)?F/(??1(x)) 例1（1）解：对

?c，求?xf(1?x2)dx

?f(x)dx?x2?c求导得f(x)?2x，f(1?x2)?2?2x2

2222x2?c 则?xf(1?x)dx??x(2?2x)dx?x?3（2）xf(x)dx?arcsinx?c，求

??dx f(x)解：对xf(x)dx?arcsinx?c两边求导得xf(x)??11?x2，即f(x)?1x1?x2

?/dx11??x1?x2dx???1?x2d(1?x2)??(1?x2)2?c f(x)2332、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知F(?(x

数学思想方法的解释有多种多样，其中胡炯涛《数学教学论》广西教育出版社，一书中指出数学思想方法则是数学知识发生过程中的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识，它蕴藏在数学知识之中，需要学习者去挖掘[6]。数学思想方法分为两部分，一是数学思想，二是数学方法，其中数学思想是指我们对教材中理论知识及内容最本质的认识，而数学方法是数学思想的具体化形式，运用到实际的题目中[20]。下面就具体来阐述一下微积分习题中的数学思想方法： 5.1函数思想

函数思想是我们在中学阶段中常见的一种思想方法，是指用函数的概念、性质、特点去分析问题、转化问题和解决问题的一种思维，函数思想是一个基本的数学思想，方程，不等式问题可以在函数的观点下统一起来，数列是特殊的函数，集合论的知识作为建立函数的基础，也包括在其中[11]。在新版教材微积分的内容中，函数思想更为重要，其中一部分题目就是借助“微积分”这个工具，最后还是依据函数的基本性质去解决问题。例如：

一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？[12]（新版教材人教A版选修2–2课本37页习题）

解：设其中一段铁丝的长度为x，则另一段为l?x，面积为s

解题方法与技巧

高三生物组 制作： 审批：

一、选择题解题技巧

试题特点： 选择题是客观性试题，由于它具有知识覆盖面广、信息量大、评分客观等特点，在高考中是固定题型。这类试题具有构思新颖、思路活、解法巧、思维量大等特点，能从多角度、多方位考查考生的分析和综合判断能力。考生常因顾此失彼而错答，得分率较低。 1．仔细审题，勾画关键词

审题时，要快速准确地找到关键词，并把它勾画出来，让它在你的思维中凸显出来，就像一盏明灯，指引你选出正确答案。

例1 由DNA分子蕴藏的信息所支配合成的RNA在完全水解后，得到的化学物质是 A．脱氧核苷酸 B．核糖核苷酸 C．脱氧核糖、碱基、磷酸 D．核糖、碱基、磷酸

技巧阐释： 本题中的关键词是“完全水解”。“完全水解”和“初步水解”是不同的，“初步水解”的产物为基本单位，而“完全水解”是将基本单位再水解。核酸的基本组成单位是核苷酸，一个核苷酸分子完全水解后得到一分子含氮碱基、一分子五碳糖和一分子磷酸。DNA和RNA的不同点之一是组成核苷酸的五碳糖不同，组成DNA

用微积分知识解决的经济问题 第 一 章 常见经济函数

1. 需求函数与供给函数

需求量是指在特定时间内,消费者打算并能够购买的某种商品的数量,用Qd表示.影响需求的因素很多,主要有：商品的价格P,与此商品有关的其他商品的价格P1, P2 ,?,Pn,个人的收入M,消费者对未来商品价格的预期pe,个人的偏好h等等.

若除商品的价格P外,影响需求的其他因素不变,则Qd是P的一元函数

Q d = f (P)

它通常是一个单调减函数,常见的需求函数有

Qd?a?bP(a,b?0)

?b Qd?aP(a,b?0)

?1P?f(Qd)称为需求函 有时,也把Qd = f (P)的反函数

数.

如果影响需求的各种因素均变化,则Qd是各因素的多元函数

Qd?f(P；P1,P2,?,Pn；pe；M；h)

供给量是指在特定时间内,厂商愿意并且能够出售的某种商品的数量,用Qs表示.影响供给的主要因素有：商品的价格P,与此商品有关的其他商品的价格P1, P2 ,?,Pn,厂商对未来商品价格的预期Pe,生产投入的的要素成本C及厂商的技术状况ρ等.

微积分的思想和方法

（部分讲义）

黄 荣 第四讲

第四章 定积分与不定积分

[教学目标]

1、了解定积分产生的历史、实际背景，理解定积分的概念，掌握定积分的性质；

2、理解原函数与不定积分的概念； 3、掌握不定积分性质与其本积分公式； 4、掌握定积分的牛顿一莱布尼兹公式； 5、了解定积分在实际问题中的应用； 6、了解简单微分方程的概念。 [重点难点]

定积分、不定积分的概念、牛顿一莱布尼兹公式。 [学习建议]

1、学习定积分概念时，应充分注意体现微积分的基本思想。 2、学员学习不定积分时，要注意加强练习，尽量做到掌握不定积分的计算方法。

3、牛顿一莱布尼兹公式，建立了微分和积分之间的联系，学员应适当练习，切实掌握。

4、为了掌握计算技能，学员必须做适当的练习。 [课时分配]

面授8课时，自学16 课时。 [面授辅导] 1、不定积分 1.1.1原函数

▲如果函数f(x)与f(x)定义在同一区间(a，b)，并且处处都有：F1(x)=f(x) 或df(x)=f(x)dx

则称f(x)是f(x)的一个原函数。 下列是一些简单函数的原函数： 出数 cosx sinx ex en

ex xn+1 原函数 si

理论力学解题方法与技巧

1、 知识目标：掌握各类力系的平衡条件与平衡方程

及应用，掌握理论力学计算题的解题方法与技巧。 2、 能力目标：能快速准确地解答中等难度的计算题。 3、 情感目标：以能找到最佳解题方法而产生自豪感，

对高考计算题的解答充满自信。

教学目标：

教学重点与难点：α

解题技巧分析，即如何选择研究对象、建立适当的坐

标系、合理选择矩心，使问题得到简化。 教学过程：

一、 复习引入

1、理论力学解题方法与步骤：1）确定研究对象并画受力图，2）建立适当坐标系并确定力系类型，3）列平衡方程并求解。

2、平面各种力系的平衡条件及平衡方程 二、例题分析

例1、图中两物体重量分别为G1=100N,G2=100N，置 于倾角α=300的光滑斜面上，绳索与斜面平行，求绳索的拉G力。

PG1α1m

3m2mG2 例2、如图所示，梁上有一起重机，设起重机本身重G＝50KN,重物P=10KN,不计梁重，①求支座对梁的约束反力NA、NB；②问起重机的左轮与支座A的距离多大时，两支座上的力将相等。

例3、梯子的两部分AB和AC在点A铰接，又在D、E两点用水平绳连接（如图所示），梯子放在光滑的水平面上，一人重10

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

篇一：微积分入门

校 本 课 程

论文题目：微积分初步

作 者：高红桃

日 期：2011-09-11

序

中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。

古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。

17世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认