直线和圆锥曲线的关系知识点

直线与圆锥曲线的位置关系

圆锥曲线的几种常见题型

（1）直线与圆锥曲线位置关系的判定； （2）求直线与圆锥曲线相交的弦长的方法:

设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)AB?______________________. （3）圆锥曲线的弦中点问题的解法:

（4）解析几何中的最值和定值的方法： 【热身练习】

1、方向向量为a?(?1,?2)且与抛物线y?x2相切的直线的方程是______________。 2、“a=b”是“直线y?x?2与圆(x?a)2?(y?b)2?2相切”的______________条件。

x2y2??1内一点M(1,1)的直线交椭圆于A,B两点，且满足AM?MB，则该直线的方程3、过椭圆

164_________。

4、直线y?x?3与抛物线y2?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为______________.

5、等轴双曲线C：x2?y2?1的左焦点为F，若点P为左下半支上任意一点（不同于左顶点），则直线PF的斜率的取值范围是________________。

6、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是_____________

2012直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

1．(2011·聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( ) A．所有的直线都有倾斜角和斜率

B．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在 D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角 [答案] B

[解析] 所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90°的直线不存在斜率．

2．已知直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的关系如图所示，则( )

A．b>0，d<0，a0，a>c [答案] C

11bd

[解析] 由图像可知－>－>0，－<0，－>0，从而c0.

acac

3．若直线2ax＋by＋4＝0(a、b∈R)始终平分圆x＋y＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是( )

A．(－∞，1] C．(0,1) [答案] A

[解析] 由题意知直线过圆心(－1，－2)， ∴－2a－2b＋4＝0，∴a＋b＝2， a＋b?a＋b?－2ab

∴ab≤＝，∴ab≤1.

22

4．已知直线l1∶y＝x，l2∶ax－y＝0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在(0，内变动时，a的取值范围是( )

A．(

3，1)∪(1，3) 3

B．(

8.9 直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

x2y2

1．AB为过椭圆2＋2＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为( )

ab A．b2

B．ab

C．ac

D．bc

1 解析：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，则S△FAB＝|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.

2 答案：D

2．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( ) A．1 B．1或3 C．0 D．1或0

??y＝kx＋2，

解析：由?2

?y＝8x，?

得ky－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0解得

2

2

k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1. 答案：D

x2y22

3．已知椭圆C的方程为＋2＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是

16m2

椭圆的右焦点F，则m的值为( ) A．2

B．22

2

2C．8

2 D．23

2

解析：根据已知条件c＝16－m，则点(16－m，

216－m216－m2

∴＋＝1可得m＝22.

162m2 答案：B

x2y2

16

§8.圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

PF1?PF?PF?PF222?2a?F1F2方程为椭圆,?2a?F1F2无轨迹,?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段221. 椭圆方程的第一定义：PF1PF1

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：xa?22yb?22?1(a?b?0)22.

.

ii. 中心在原点，焦点在y轴上：yaxb?1(a?b?0)②一般方程：Ax2?By2?1(A?0,B?0).

xa22③椭圆的标准方程：

?yb22?1的参数方程为??x?acos??y?bsin?（一象限?应是属于0????2）.

⑵①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).

②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b. ③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：F1F2?2c,c?a2?b2. ⑤准线：x??a2c或y??a2c.

⑥离心率：e?⑦焦点半径：

ca(0?e?1).

i. 设P(x0,y0)为椭圆ii.设P(x0,y0)为椭圆

xaxb2222?yb2222?1(a?b?0)上的一点，F1,F?1(a?b?0)上的一点，F1,Fa22为左、右焦点，

§8.圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

PF1?PF?PF?PF222?2a?F1F2方程为椭圆,?2a?F1F2无轨迹,?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段221. 椭圆方程的第一定义：PF1PF1

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：xa?22yb?22?1(a?b?0)22.

.

ii. 中心在原点，焦点在y轴上：yaxb?1(a?b?0)②一般方程：Ax2?By2?1(A?0,B?0).

xa22③椭圆的标准方程：

?yb22?1的参数方程为??x?acos??y?bsin?（一象限?应是属于0????2）.

⑵①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).

②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b. ③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：F1F2?2c,c?a2?b2. ⑤准线：x??a2c或y??a2c.

⑥离心率：e?⑦焦点半径：

ca(0?e?1).

i. 设P(x0,y0)为椭圆ii.设P(x0,y0)为椭圆

xaxb2222?yb2222?1(a?b?0)上的一点，F1,F?1(a?b?0)上的一点，F1,Fa22为左、右焦点，

沂水县第三中学高三数学组集体备课 集思广益 群策群力

直线与圆锥曲线的位置关系（文） 主备人：贺可勤 记录人：宋树霞

一、教材分析

本节课是平面解析几何的核心内容之一.在此之前,学生已学习了直线的基本知识,圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质,这为本节复习课起着铺垫作用.本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》第二轮复习的第一节课,着重是教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化学生的解题思维,提高学生解题能力.这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础.这节复习课还是培养学生数学能力的良好题材,所以说是解析几何的核心内容之一. 二、考情分析

本节内容在高考中的地位:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能. 三、数学思想方法分析

本节复习课在教学中力图让学生动手

沂水县第三中学高三数学组集体备课 集思广益 群策群力

直线与圆锥曲线的位置关系（文） 主备人：贺可勤 记录人：宋树霞

一、教材分析

本节课是平面解析几何的核心内容之一.在此之前,学生已学习了直线的基本知识,圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质,这为本节复习课起着铺垫作用.本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》第二轮复习的第一节课,着重是教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化学生的解题思维,提高学生解题能力.这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础.这节复习课还是培养学生数学能力的良好题材,所以说是解析几何的核心内容之一. 二、考情分析

本节内容在高考中的地位:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能. 三、数学思想方法分析

本节复习课在教学中力图让学生动手

直线与圆锥曲线的位置关系1

一、教学目标

1、熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题。

2、体会方程的数学思想、转化的数学思想及点差法、判别式法等数学思想方法应用。 二、知识要点分析 1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断，（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离） 设直线L的方程是：Ax?By?C?0，圆锥曲线的方程是f(x,y)?0，则由

?Ax?By?C?02消去x,(或消去y）得：ax?bx?c?0(a?0)…………（*） ??f(x,y)?0设方程（*）的判别式??b?4ac 交点个数问题

①当a＝0或a≠0，?＝0时，曲线和直线只有一个交点； ②当a≠0，?＞0时，曲线和直线有两个交点； ③当a≠0，?＜0时，曲线和直线没有交点。 2、直线L与圆锥曲线相交时的弦长。

设直线L与圆锥曲线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)，直线L的斜率为k，

222则|PQ|?1?k|x1?x2|?1?k?(x1?x2)?4x1x2=1?21|y1?y2| k2=1?12?(y?y)?4y1y2 122kx2y2??1上不同的两点，且x1a2b23、设A（x1,y1），B（x2，y2）是椭圆

直线与圆锥曲线的位置关系1

一、教学目标

1、熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题。

2、体会方程的数学思想、转化的数学思想及点差法、判别式法等数学思想方法应用。 二、知识要点分析 1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断，（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离） 设直线L的方程是：Ax?By?C?0，圆锥曲线的方程是f(x,y)?0，则由

?Ax?By?C?02消去x,(或消去y）得：ax?bx?c?0(a?0)…………（*） ??f(x,y)?0设方程（*）的判别式??b?4ac 交点个数问题

①当a＝0或a≠0，?＝0时，曲线和直线只有一个交点； ②当a≠0，?＞0时，曲线和直线有两个交点； ③当a≠0，?＜0时，曲线和直线没有交点。 2、直线L与圆锥曲线相交时的弦长。

设直线L与圆锥曲线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)，直线L的斜率为k，

222则|PQ|?1?k|x1?x2|?1?k?(x1?x2)?4x1x2=1?21|y1?y2| k2=1?12?(y?y)?4y1y2 122kx2y2??1上不同的两点，且x1a2b23、设A（x1,y1），B（x2，y2）是椭圆

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．

直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存， （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换

（7）x,y ，k(斜率)的取值范围

（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等

运用的知识：

1、中点坐标公式：12

12

,y 2

2

x x y y x ++==

，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中

点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，

则1122y kx b y kx b