选修4—5不等式选讲课本

不等式选讲（选修4-5）

目 录

(5．0不等式的性质…………………………………) 5．1含有绝对值的不等式……………………………1 5．2不等式的证明……………………………………9 5．3几个重要的不等式………………………………21 5．4数学归纳法………………………………………30 5．5不等式的简单应用………………………………38

小结与复习………………………………………48 复习参考题………………………………………52

1

导言：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等

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高二数学选修4-5《不等式选讲》测试题

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1、已知集合A {x|x 0},B {x| 1 x 2}，则A B （ ）

A、{x|x 1} B、{x|x 2} C、{x|0 x 2} D、{x| 1 x 2} 2、欲证2 3 A、2 7

2

6 7

，只需证（ ）

B、 2 6

2

3 6

67

2

2

3 7

2

2

C、2 3

2

2

D、 2 3 6 7

x y

3、设x 0，y 0，A

1 x y

，B

x1 x

y1 y

，则A、B的大小关系是（

A、A B B、A B C、A B D、不能确定 4、若n 0，则n

32n

2

的最小值为（ ）

A、2 B、4 C、6 D、8

5、如果命题p(n)对n k成立，则它对n k 2也成立，又命题p(n)对n 2成立，则下列结论正确的是（ ）

A、命题p(n)对所有正整数n成立 B、命题p(n)对所有大于2的正整数n成立 C、命题p(n)对所有奇正整数n成立 D、命题p(n)对所有偶正整数n成立 6、已知0 a,b

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）

教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.

教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？

答案：及几种变式.

2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证 证法：（比较法）=….= 二、讲授新课：

1. 教学柯西不等式：

① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则.

→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）

. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量，，则，.

∵ ，且，则. ∴ ….. 证法四：（函数法）设，则

≥0恒成立. ∴ ≤0，即…..

③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 变式： 或 或.

④ 提出定理2：设是两个向量，则.

即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）

→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线） ⑤ 练习：已知a、b、c、d为

1 平均不等式

一、引入：

1．定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）

证明：222)(2b a ab b a -=-+

??

??>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 指出定理适用范围：R b a ∈,

强调取“=”的条件b a =。

2．定理2：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2

（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2

注意：（1）这个定理适用的范围：+∈R a ；

（2）语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3．定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）

证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32

233333---++=-++ )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=

]32)[(222ab c bc

高考 中考 高中 初中 数学 资源 全国 期末 试卷 高三 高二 高一 经典 课件 向量 不等式 训练 打包 模拟 测试 三角 函数培优 补差 艺术 复习 教案 集合 概念 竞赛 数形结合 思想方法 备课 苏教 人教 北师大 真题 特级 逻辑 数列 平面 圆锥曲线 立体几何 排列组合 二项式 导数 极限 概率 统计复数 课标 单元 正弦 余弦 定理 应用 易错题 疑难 答案 名校 名师 专题 训练

一、二维形式的柯西不等式

(a b)(c d) (ac bd)

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(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)

二、二维形式的柯西不等式的变式 (1)a b c d(2)a b c d

2

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ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.) ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)

bd)(a,b,c,d 0,当且仅当ad bc时，等号成立

.)

2

2

(3)(a b)(c d)

(

ac

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

(当且仅当 是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.)

借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不

高考 中考 高中 初中 数学 资源 全国 期末 试卷 高三 高二 高一 经典 课件 向量 不等式 训练 打包 模拟 测试 三角 函数培优 补差 艺术 复习 教案 集合 概念 竞赛 数形结合 思想方法 备课 苏教 人教 北师大 真题 特级 逻辑 数列 平面 圆锥曲线 立体几何 排列组合 二项式 导数 极限 概率 统计复数 课标 单元 正弦 余弦 定理 应用 易错题 疑难 答案 名校 名师 专题 训练

一、二维形式的柯西不等式

(a b)(c d) (ac bd)

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(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)

二、二维形式的柯西不等式的变式 (1)a b c d(2)a b c d

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ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.) ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)

bd)(a,b,c,d 0,当且仅当ad bc时，等号成立

.)

2

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(3)(a b)(c d)

(

ac

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

(当且仅当 是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.)

借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不

不等式选讲综合测试

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若||||a c b -<，则下列不等式中正确的是（ ）．

A ．a b c <+

B ．a c b >-

C ．||||||a b c >-

D ．||||||a b c <+

2．设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x y B x y

=+++，则,A B 的大小关系是（ ）． 2．B 11111x y x y x y B A x y x y y x x y

+=+>+==++++++++，即A B <． 3．设命题甲：|1|2x ->，命题乙：3x >，则甲是乙的（ ）．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．已知,,a b c 为非零实数，则222222111()()a b c a b c

++++最小值为( ) ． A ．7 B ．9 C ．12 D ．18

4．B 22222222111111()()()(111)9a b c a b c a b c a b c

++++≥?+?+?=++=， ∴所求最小值为9．

5．正数,,,a

第二节不等式的证明

【最新考纲】通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．

1．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a，b为正数，则

a＋b

2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理3：如果a，b，c为正数，则

a＋b＋c

3≥

3

abc，当且仅当a ＝b＝c时，等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，a n为n个正数，则

a1＋a2＋…＋a n

n≥

n

a1a2…a n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．

2．不等式证明的方法

(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．

名称作差比较法作商比较法

理论

依据

a>b?a－b>0

a<b?a－b<0

a＝b?a－b＝0

b>0，

a

b>1?a>b

b<0，

a

b>1?a<b

(2)综合法与分析法

①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．

②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够

第二节 不等式证明的基本方法

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 真题举例 2016，全国卷Ⅱ，24,10分(比较法证 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法。 明不等式) 2015，全国卷Ⅱ，24,10分(分析法、综合法证明不等式) 2014，全国卷Ⅰ，24,10分(放缩法、反证法证明不等式) 微知识 小题练 自|主|排|查 1．比较法

作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法：a－b>0?a>b。

命题角度 本部分主要考查比较法、综合法、分析法证明不等式，往往应用完全平方式、基本不等式等知识点，有时与函数、数列相结合。 a(2)作商法：b>1?a>b(a>0，b>0)。

2．综合法与分析法

(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。

(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立。这是一种执果索因的思考和证明方法。

3．反证法

先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、