圆内三角计算

本文先介绍圆内接三角形的3个性质,然后举例说明这些性质的运用.

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3 2

中学教研 (学)数

20 0 8年第 1期

圆内接三角形的 3个性质及其应用●夏平 (四川平昌县中小学教研室 660 ) 340ac b——一

本文先介绍圆内接三角形的 3个性质，然后举例说明这些性质的运用.

●

xz y

性质 1圆内接三角形两边之积等于第 3边上的高与圆的直径之积.

证明如图 5设 AA C的外接圆的直径为 2设， B R,

AB C AC A A H的外接圆的直径分别为 2 l2, H, H, AB R, 2 3因为 R.o=2 snL B Rl i HC=2 sn=2 i A, Rl iA Rs n

证明

如图 1 AA C内接于 60, E是 60的直径，, B ) A )L ABE=/ ADC, A B=L A D, _ L E C_

’

A D上B C于点 D,连结 B则 E,因此△A E,△A C。 B - . D ,

所以 R=尼同理 lRI= R2= R3= R.

得即

A B=A D,

由性质 3得HB HC=2 R HD。

A C=AE D. B A A

即

y z=2 H R D.

图5

同理可得

E

④D

Z, X=2 HE,y=2 R x R HF。

则

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必修四 三角函数1.2.2 单位圆与三角函数线

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本节课的任务:1、将三角函数值用图形表示出来。 1、会画任意角的三角函数线。 2、会简单应用三角函数线。

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复习引入:1、角的弧度制的定义？ 2、在直角坐标系内画出弧度为2、3、 4、5的角的终边的大体位置。 3、三角函数的定义是什么？ 4、当半径r为1时，角的弧度制和三角 函数的定义会怎样？

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单位圆 我们把 半径为1的圆叫做单位圆 在单位圆上，角终边和圆交 点的横坐标就是 ( cos ) 纵坐标就是( sin ) yP(cos ,sin )

x

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坐标能否用图像表示？yQ N OQ ON , NQ ?P P OM , MP

M

x

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方向：由轴上的点指向外面 1、有向线段 或由原点指向外面 大小：长度

记作： 、 、 ON MP OM NQ、

2、有向线段的数量 正负：与坐标轴同向为正 Q 反向为负 大小：长度 B N O

y

P P OM , MP

M

Ax

OA 1 OB 1

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y

三角函数线α

α的终边 P x

O

M

A(1

单位圆与三角函数线

由三角函数的定义我们知道，对于角 由三角函数的定义我们知道，对于角α 比值来表示的 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法— 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法 的另一种表示方法 —几何表示法 几何表示法

1.单位圆的概念 单位圆的概念一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆 一般地，我们把半径为 的圆叫做单位圆， 半径为 的圆叫做单位圆， 设单位圆的圆心与坐标原点重合， 设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与 x轴的交点分别为 轴的交点分别为 A(1,0),A’(-1,0). , , - ,A'(-1,0) B(0,1) y N O P(cosα ,sinα ) 1 x M A(1,0)

α

而与y轴的交点分别为 而与 轴的交点分别为 B(0,1),B’(0,- , , ,-1). ,-B'(0,-1)

2. 三角函数线设任意角α的顶点 设任意角 的顶点 在原点，始边与x轴的 在原点，始边与 轴的 正半轴重合， 正半轴重合，终边与 A'(-1,0) 单位圆相交于点P(x, 单位圆相交于点 ，

单位圆与三角函数线

由三角函数的定义我们知道，对于角 由三角函数的定义我们知道，对于角α 比值来表示的 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法— 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法 的另一种表示方法 —几何表示法 几何表示法

1.单位圆的概念 单位圆的概念一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆 一般地，我们把半径为 的圆叫做单位圆， 半径为 的圆叫做单位圆， 设单位圆的圆心与坐标原点重合， 设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与 x轴的交点分别为 轴的交点分别为 A(1,0),A’(-1,0). , , - ,A'(-1,0) B(0,1) y N O P(cosα ,sinα ) 1 x M A(1,0)

α

而与y轴的交点分别为 而与 轴的交点分别为 B(0,1),B’(0,- , , ,-1). ,-B'(0,-1)

2. 三角函数线设任意角α的顶点 设任意角 的顶点 在原点，始边与x轴的 在原点，始边与 轴的 正半轴重合， 正半轴重合，终边与 A'(-1,0) 单位圆相交于点P(x, 单位圆相交于点 ，

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号： 年 级：初三 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：贾国晶 授课 类型 C (锐角三角函数) C （相似三角形） T （与圆有关的综合） 授课日 期时段 教学内容 专题概况 1. 正确记忆理解四个锐角三角函数 （1）正弦：在直角三角形中，一个锐角所对的直角边与斜边的比，叫这个锐角的正弦。 即：如图1 B c a A C b 图1 a斜边c ?B的对边bsinB??斜边csinA?? （2）余弦：在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比，叫这个锐角的余弦。 即：如图1 ?A的对边

圆内计算与证明

1、如图，△ABC内接于⊙O，AD为高，E为弧BC的中点，①求证：∠EAD＝∠EAO；

A ②若AB?AC＝8,AD＝2,求半径R。 O

C B D

E 2

2、如图，△ABC内接于⊙O ，AB＝AC，E为BC延长线上一点，求证：AC＝AD?AE。

A D O B E C

3、如图，A、B、C、D四点均在⊙O上 ，DC平分其外角∠ACE，DE⊥BE，①求证：DO⊥AB； ②当C点位置变化时，式子

的值是否发生变化？

D E C

O

A B

4、如图，⊙O中， 直径DE⊥弦AB，C为圆上一动点，AC与DE相交于点F，求证：

2

①OG?FG＝BG?CG；②AO＝OG?OF。

A

C D O G E F

B

5、如图，⊙O中，C为圆上一点，直径BD⊥AC，求证：AE?BE＝EF?EC。 A

F E

B G O D

C 6、在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F. （1）求证CF与⊙O相切； F A D （2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比

E

O

B C

o

7、如图，Rt△A

专训6 三角函数在学科内的综合应用

名师点金：

1.三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．

2．三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解．

3．三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解．

4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数.

三角函数与一次函数的综合应用

1

1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B，C两点，tan∠OCB＝. 2(1)求点B的坐标和k的值；

(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上的一个动点(且在第一象限内)，在点A的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式．

(第1题)

[来源学科网]

三角函数与二次函数的综合应用

2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴直线

《圆与锐角三角函数》教学反思

武汉市第二十一（警予）中学 张鲜花

摘要：初三的第二轮复习课以专题范例为主，目标主体明确，教学设计必须针

对性强，以期有效解决学生暴露的疑难问题，增强他们在具体题型上的解题能力。如何克服学习数学的倦怠与为难情绪，如何总结出规律性的解题技巧是教学设计不容忽视的问题。课堂模式的改变，教学流程的优化可以开辟一条复习课的新路子，值得探索，也有必要反思。

关键词：复习课 针对性 课堂模式 生本 幸福 反思

很多学生认为数学是一门很枯燥乏味的学科。为了改变学生这种想法，我的数学课以多种形式展现给学生。有时我加入一个与内容相关的小故事进去；有时在上课前创设一个问题情境增加悬念，吊一吊学生的胃口，而学生最喜欢的数学课是——“我的课堂，我做主”。“我的课堂，我做主”就是给学生展示自我的一个机会，给他们一个舞台，让学生自己主动上台讲我事先布置预习的数学题。往往是同学们争先恐后要充当老师角色讲题 ，一题多解就从学生的解题交流中挖掘出来的。

这学期的公开课的内容是四月调考前第一轮复习中“圆与锐角三角函数”。为什么选择这个内容呢？原因是普通班学生在几何这一块得分向来不是很多，几何是他们较薄弱

《圆与锐角三角函数》教学反思

武汉市第二十一（警予）中学 张鲜花

摘要：初三的第二轮复习课以专题范例为主，目标主体明确，教学设计必须针

对性强，以期有效解决学生暴露的疑难问题，增强他们在具体题型上的解题能力。如何克服学习数学的倦怠与为难情绪，如何总结出规律性的解题技巧是教学设计不容忽视的问题。课堂模式的改变，教学流程的优化可以开辟一条复习课的新路子，值得探索，也有必要反思。

关键词：复习课 针对性 课堂模式 生本 幸福 反思

很多学生认为数学是一门很枯燥乏味的学科。为了改变学生这种想法，我的数学课以多种形式展现给学生。有时我加入一个与内容相关的小故事进去；有时在上课前创设一个问题情境增加悬念，吊一吊学生的胃口，而学生最喜欢的数学课是——“我的课堂，我做主”。“我的课堂，我做主”就是给学生展示自我的一个机会，给他们一个舞台，让学生自己主动上台讲我事先布置预习的数学题。往往是同学们争先恐后要充当老师角色讲题 ，一题多解就从学生的解题交流中挖掘出来的。

这学期的公开课的内容是四月调考前第一轮复习中“圆与锐角三角函数”。为什么选择这个内容呢？原因是普通班学生在几何这一块得分向来不是很多，几何是他们较薄弱

抛物线内的三角形问题

近年来中考数学试题中，经常出现以函数、几何知识为背景的探究性问题，特别是有关抛物线内的三角形问题，此类问题综合性强，往往涉及一次函数、二次函数、一元二次方程、三角形、相似三角形等多方面的知识，既考查学生基本运算的能力，又考查学生对函数、方程、数形结合、分类和待定系数法等思想方法的掌握情况，具有很好的选拔功能．本文举例分析如下：

例1 （2005·孝感市）如图1，开口向下的抛物线C：y=a（x-2）（x+3），与x?轴

交于A、B两点，y有最大值25

8

．

（1）求实数a的值；

（2）在抛物线C上是否存在点P，使△APB为直角三角形？若存在，求出P点坐标；?若不存在，说明理由．

分析本题是一道中考压轴题，综合性较强．第（1）?问由抛物线顶点坐标直接求得a的值．第（2）问由△APB为直角三角形及相似知识可得△APB内的线段关系，再由方程思想求解．

解（1）∵当x=-1

2

时取最大值，

∴25

8

=a（-

5

2

）·（

5

2

）．

∴a=-1

2

．

（2）由图1可知：A、B处不可能为直角，只可能∠APB=90°，且点P不能在x轴及x轴下方．

设存在满足条件的点P（x0，y0），（y0>0）．

作PM⊥AB于M，而A（-3，0），B（2，0），

则AM=3+x0，BM=