高一数学一元二次不等式及其解法

3.2一元二次不等式及其解法

【学习目标】

1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想； 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系； 3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】

要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：x2?5x?0.一元二次不等式的一般形式：ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0).

设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为xx21、2且x1?x2，则不等式ax?bx?c?0的解集为

?xx?x21或x?x2?，不等式ax?bx?c?0的解集为?xx1?x?x2?

要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(a?0)成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为x21、x2且x1?x2，设??b?4ac，它的解按照

??0，??0，??0可分三种情况，相应地，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图像与x轴的位置关系也

分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式ax2?bx?c?0(a?0)或ax2

高三数学专题复习

高三数学专题复习一元二次不等式及其解法一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx+c<0 的解集 若 a>0 时. (1)若Δ>0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点， 即方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1、x2 (x1<x2),那 {x|x<x1 或 x>x2} 么，不等式 ax2+bx+c>0 的解集是________________,不等式 {x|x1<x<x2} ax2+bx+c <0 的解集是_____________. (2)若Δ=0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个交 b , 点，即方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根，x1=x2=2a

高三数学专题复习

那么不等式 ax2+bx+c>0

b x x 2a 的解集是___________,不等式

ax2+

bx+c<0 的解集是___.(3)若 Δ<0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴无交点，即 方程 ax2+bx+c=0 无实数根，那么，不等式 ax2+bx+c>0 的 R

高三数学专题复习

高三数学专题复习一元二次不等式及其解法一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx+c<0 的解集 若 a>0 时. (1)若Δ>0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点， 即方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1、x2 (x1<x2),那 {x|x<x1 或 x>x2} 么，不等式 ax2+bx+c>0 的解集是________________,不等式 {x|x1<x<x2} ax2+bx+c <0 的解集是_____________. (2)若Δ=0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个交 b , 点，即方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根，x1=x2=2a

高三数学专题复习

那么不等式 ax2+bx+c>0

b x x 2a 的解集是___________,不等式

ax2+

bx+c<0 的解集是___.(3)若 Δ<0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴无交点，即 方程 ax2+bx+c=0 无实数根，那么，不等式 ax2+bx+c>0 的 R

一元二次不等式的解法练习设计

一、选择题

1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.{x|-23≤x≤12} B.{x|x≤-23或x≥12} C.{x|x≥12} D.{x|x≤-23} 2.如果不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为?,那么( )

A.a<0,Δ>0 B.a<0,Δ≤0 C.a>0,Δ≤0 D.a>0,Δ≥0

3.函数y=x2?x?12的定义域是( ) （定义域表示求自变量x的取值范围）A.{x|x<-4或x>3} B.{x|-4

5.对于任意实数x不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.-1≤a≤0 B.-1≤a＜0 C.-1＜a≤0 D.-1

6.设集合M={x|0≤x＜2,集合N={x|x2-2x-3

7.已知函数y=ax2?2x?3,x的变化范围是全体实数,则实数a的取值范围是( A.a>0 B.a≥

13C.a≤1D.0＜a≤13 3 二、非选择题（解答题做在背面） 8.若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-

120恒成立,则k的取值范围是______.

10.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集是B. (1)求A∩B; (2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,求ax2+x+b<0的解集.

用心 爱心 专心

)

不等式第二讲：一元二次不等式

一、一元二次不等式的解法

判别式??b?4ac 方程2??0 有两个不等实根 ??0 有两个相等实根 ??0 无实根 f(x)?ax2?bx?c?0 二次函数 y y y y?ax2?bx?c(a?0) 的图象 不等式O x1 x2 x O x1?x2x O x ax?bx?c?0(a?0) 的解集 不等式ax?bx?c?0 22?x|x?x1或x?x2? ?b?xx???? 2a??R (a?0)的解集 二、总结规律： ?x|x1?x?x2? ? ? 1、方程f(x)?0的实根是函数y?f(x)的图像与x轴的交点，也是函数y?f(x)的零点。 2、方程f(x)?0的根就是不等式解集的端点，不等式解集的端点就是方程f(x)?0的根。 3、不等式大于0的解集就是方程的根之外，小于0就是方程的两根之间；（大于取两根之外，小于取两根之间）（开口向上，即二次系数大于0）

?a?04、①不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?；

??0?2②不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?2?a?0

???05、如果函数y?f(x)在区间?a,b?上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)?f(b)?0，那么函数y

很好的课件哦

含参数的一元二次不等式

很好的课件哦

复习引入 一元二次方程、 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等 式的相互关系及其解法： 式的相互关系及其解法： = b 2 4 ac二次函数

>0y0 x1

=0y

<0yx

y = ax2 +bx+c(a > 0)的图像 一元二次方程

x2 x

0x1 = x 2

0x无实根

ax +bx+c = 0(a > 0)2

b b2 4ac x1 = 2a b + b2 4ac x2 = 2a1 2

有两个相等实根

的根

b x1 = x2 = 2a

ax2 + bx+ c > 0(a > 0)的解集

{x x < x 或x > x } x x ∈ R且 x ≠ 2ba

x∈ Rφ

ax2 +bx+c < 0(a > 0)的解集

{x x < x < x }1 2

φ

很好的课件哦

复习引入

解一元二次不等式的一般步骤1:确定二次项系数的符号 ： 2:判别△(能十字相乘法的不需判别) :判别△ 能十字相乘法的不需判别) 3:由1;2两个步骤画出不等式所对应函 ： ; 两个步骤画出不等式所对应函 数的大致图

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《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式

（1）x?5x?0； （2）x?4x?4?0； （3）?x?4x?5?0 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：

（1）方法一：

因为??(?5)2?4?1?0?25?0

所以方程x?5x?0的两个实数根为：x1?0，x2?5 函数y?x2?5x的简图为：

2222

因而不等式x?5x?0的解集是{x|0?x?5}.

2?x?0?x?0方法二：x?5x?0?x(x?5)?0?? 或?

x?5?0x?5?0??2解得??x?0?x?0 或 ?，即0?x?5或x??.

?x?5?x?52因而不等式x?5x?0的解集是{x|0?x?5}.

（2）方法一：

因为??0，

方程x2?4x?4?0的解为x1?x2?2. 函数y?x?4x?4的简图为：

2

所以，原不等式的解集是{x|x?2}

方法二：x?4x?4?(x?2)?0（当x?2时，(x?2)?0） 所以原不等式的解集是{x|x

第一节 一元二次不等式及其解法

(见学生用书第1页)

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． 2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式．对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.

考纲传真

1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 2Δ>0 Δ＝b－4ac Δ＝0 二次函数 2 y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象 R ? 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x10 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} ax2＋bx＋c<0 {x|x10)的解集 ? 22.用程序框图表示一元二次不等式ax＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程 Δ

f（x）(1)＞0?f(x)·g(x)＞0； g（x）f（x）(2)≤0?f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0． g（x）

ax2＋bx＋c>0(a≠0)对一切x∈R恒成立的条件是什么？ 【提示】 a>0且b2－4ac<0.

1．(人教A版教材习题改编)不等式2x2－x－1＞0的解集是( )

1

A．(－，1) B．(1，＋∞)

一元一次不等式的解法反思

王秀梅

在讲完不等式的性质后，我们根据学生情况安排4个课时学习解一元一次不等式，我们的设想是：第一课时：在简单理解不等式的基本性质的基础上，类比一元一次方程的解法，学习如何解一元一次不等式，注意其中的区别与联系（即类比思想），学会用数轴直观的表示不等式的解集（数形结合思想）；第二课时：熟练解一元一次不等式；第三课时和第四课时：一元一次不等式的应用。

由于本节课计算课，因此整个教学活动教师的讲解比较重要。在教学过程中不能急于求成，适时给予恰当的引导。再通过范例与学生共同经历解一元一次不等式的过程。

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法十分相似，解一元一次方程的依据是等式的性质，而解一元一次不等式的依据是不等式的性质，所以讲授新课之前先复习了不等式的性质和前面刚学过的一元一次不等式的定义。对于一元一次不等式解法的教学中采用探究式的教学方法，首先鼓励学生运用不等式的性质和不等式的解集自主尝试求解，再交流解答过程，并进行适当的归纳总结。类比解方程的方法，并比较其异同。让学生非常清楚地看到不等式的解法与方程的解法的步骤是相同的，只是第一步去分母和最后一步系数化为1，可能使得不等号的方向改变。

在教学过程中，由于通过简单的类

一元一次不等式组及其解法

教学目标：

1，了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，?x?3?x??1（2） ? ?x?7

??x?4掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法。

2，经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性，逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比和化归的思想。

教学过程：

（一）情境感知

【问题1】

用每分钟可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的水，估计积存的污水超过1 200 t而不足1 500 t，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？

【问题2】

某学校初一（3）班准备组织一次秋季外出活动，该班级共有学生40人.学校根据预算要求该班这次活动的总经费不能超过2 400元.旅游公司按成本计算这次活动总经费不能低于2 000元.如果考虑双方的要求，学生所付的经费应该在哪一范围之内？

（二）概念认识

一元一次不等式组概念：

把 ，就得到一个一元一次不等式组. （三）解法探究

在一元一次不等式组??30x?1200?30x?1500中的未知数x的取值范围应该是什么？

在同一数轴上表示这个不等式组的解集：

总结