勒贝格积分与黎曼积分的比较大学论文

Lebesgue积分与Riemann积分的比较

Lebesgue积分与Riemann积分的比较

20141000449 陈佳龙 20141003908 王珏 20141000194 杜腾飞

摘要 我们知道，当涉及到某种物理量“累积”的时候，我们会立刻想到Riemann积分。 它处理的模型有着“基本”连续的特点，事实上，连续我们已做了推广.即限制在集合上 连续的概念.如Delet函数是间断的，但限制在无理点集或有理点集合是连续的.在经典物 理学中，我们要处理的问题数学化后大多为连续或者间断点不太多的情形。随着量子物 理的发展，所遇到的问题显然以不能够用R积分解决，在此背景下Lebesgue积分得以迅 速发展，俨然已发展为当代分析的主流。建立在勒贝格测度，及勒贝格可测函数上的勒 贝格积分的出现晚黎曼积分近半个世纪，其理论体系在当代得以完善。其优越性高于黎 曼积分，应用更加广泛。本文就黎曼积分与勒贝格积分在定义，性质方面做一些简单比 较，就连续函数，可测函数，黎曼可积函数，勒贝格可积函数，之间的关系以及黎曼可 积函数类与勒贝格可积函数类的势及包含关系进行比较. 关键词： 黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系分类号O172．２

编号 20120１０６44

毕业论文

题目

学院

姓名

专业

学号

研究类型

指导教师

提交日期

1 / 22

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

原创性声明

本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名:年月日

论文指导教师签名：

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

摘要: 介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例，说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系.

关键词:黎曼积分；勒贝格积分;可测函数;可积函数.

Ｔｈe ＤiｆfｅrｅnceｓanｄReｌａtions Betｗｅｅn ｔhe Riemann Iｎtegｒ

aｌ and Lévesque Integｒａｌ

Abstraｃt: In ｔhis pａｐeｒ， the deｆinitｉｏｎs of ｔhe Riｅmann ｉnte ｇrａl aｎd Lé

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

1

数学系1302班第五组 07 樊萌 12 韩鸿林 19 兰星 21 李鸿燕 45 王堃 51 武相伶 54 许小亭 57 杨莉 69 赵志阳

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

1、黎曼积分定义：设f?x? 在?a,b?上有界,对?a,b?做分割,T??a?x0?x1???xn?b?,其中令Mi?sup?f?x?,x??xi?,mi?inff?x?,x??xi,?xi?xi?1?xi,s??mi?xi?xi?1?

i?1??nS??Mi?xi?xi?1?,若有

i?1nbb?Sdx??sdx

aa则称f?x?在?a,b?上黎曼可积.

2、勒贝格积分定义：,

???0,作m?y0?,y1??yn?M,其中yi?yi?1??,M,m分别为f?x?在E上的上界和下界,令Ei??x,yi?1?f?x??yi?,?i?1,2,?n?若lim?yi?1mEi存在,则f?x?勒贝格可积.

??0i?1n3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E上可测,若记f??x??max?f?x?,0?，

f??x??min?

目录

1.数值积分的历史 .................................................................................................................... 3 1.1数值积分的起源 ............................................................................................................. 3 1.2数值积分的经典方法 ..................................................................................................... 3 1.3著名数学家—辛普森 ..................................................................................................... 3 2.常用的数值积分方法 ............................

学号：

本科毕业论文

学 院 专 业 年 级 姓 名 论文题目 定积分的若干应用 指导教师 薛艳昉 职称 讲师

2013年5月16日

目 录

摘 要 ····························································································· 1 关键词 ····························································································· 1 Abstract ···········································································

学科分类号 110.3420

本 科 毕 业 论 文

题 目 几种常用数值积分方法的比较 姓 名 潘晓祥 学 号 1006020540200 院 （系） 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 专 业 数学与应用数学 年 级 2010 级 指导教师 雍 进 军 职 称 讲 师

二〇一四年五月

贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明

本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本科毕业论文作者签名：

高等数学

六、选择题（共 10 小题，）

1、

2、

3、设OM是从O（0，0）到M（1，1）的直线段，则与曲线积分I x2 y2

OM

e

ds不

相等的积分是

(A)

1

x

e

2dx (B)

1

y

0e

22dy

(C)

2

erdr

(D)

1

r0

e2dr

答（ ） 4、L为从A（0，0）到B（4，3）的直径，则 L

(x y)ds

（A） 4

0(x 3

4

x)dx （B）

4

30

(x

4x) 916

dx （C）

3

(

4

3

y y)dy

（D）

3

(

493y y) 16

dy

答：（ ）

5、C为y x2上从点（0，0）到（1，1）的一段弧。则I

L

yds ______________。（A）

1

0 4x2dx （B）

1

y ydy （C）

1

x 4x2dx

（D）

1

1

y

y

dy

答：（ ）

6、

7、设L为下半圆周 . 将曲线积分 化为定积分的正确结果是

8、设L是圆周 x2+y2=a2 (a>0)负向一周，则曲线积分

答 ( )

2xdx ydy

9、设L是 |y|=1－x2表示的围线的正向，则 22L2x y

(A) 0. (C) 2 . (B) 2π. (D) 4ln2.

答 ( )

10、若是某二元函数的全微分，则a,

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

第十章 曲线积分与曲面积分答案

一、选择题 1．曲线积分

?x??f(x)?e?sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导?L数，且f(0)?0，则f(x)? B

A.

1(e?x?ex) B. 1(ex?e?x) C. 1(ex222?e?x) D.0 2．闭曲线C为x?y?1的正向，则

C??ydx?xdyx?y? C

A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C为4x2?y2?1的正向，则

?ydx?xdy2C?4x2?y? D

A.?2? B. 2? C.0 D. ?

4．?为YOZ平面上y2?z2?1，则

??(x2?y2?z2)ds? D

?A.0 B.

? C. 1? D. 142?

5．设C:x2?y2?a2，则?(x2?y2)ds? C

CA.2?a2 B. ?a2 C. 2?a3 D. 4?a3 6. 设?为球面x2?y2?z2?1

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

第4 章

不定积分

4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

第4 章基本要求

不定积分

了解原函数提出的背景； 了解原函数提出的背景； 理解并掌握不定积分概念,了解不定积分的几何意义； 理解并掌握不定积分概念 了解不定积分的几何意义； 了解不定积分的几何意义 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的直接积分法,凑微分法 第二换元积分法 掌握不定积分的直接积分法 凑微分法,第二换元积分法 根号 凑微分法 第二换元积分法(根号 中为一次函数)、分部积分法，会求不定积分。 中为一次函数 、分部积分法，会求不定积分。 理解与掌握不定积分和简单应用， 理解与掌握不定积分和简单应用，会用不定积分解决简单的 实际问题。 实际问题。

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

教学内容: 教学内容:不定积分的概念与基本积分公式 引入

前面我们研究了一元函数微分学的基本问题， 前面我们

高数

§7.2 几何应用 平面图形的面积 平面曲线的弧长 立体体积

1/24

首页

上页

返回

下页

结束

高数

7.2.1 平面图形的面积A、直角坐标系下的面积公式 、y y

y = f ( x)

y = f ( x)y = g ( x)

o

a

x x + xb

x

o

a

x

x

b

x

曲边梯形的面积

两曲边梯形夹的面积

A = ∫a f ( x )dx

b

A = ∫ [ f ( x ) g ( x )]dxa2/24

b

首页

上页

返回

下页

结束

高数

穿针引线法yf ( x)

y

上边界 f ( x)

y

f ( x)

g( x )

b 0

ab

b

x

0

a

g( x )

x

0 a

cc

b x

下边界A=

∫ f ( x)d xa

A=

∫ [ f ( x ) g( x )] dxa

b

A=

∫ [ f ( x ) g( x )] dx + [ g ( x ) f ( x )] dx ∫a b c

x型区域 图形向 轴投影所围曲边梯形， = | f ( x ) g ( x ) | dx 型区域:图形向 轴投影所围曲边梯形， 型区域 图形向x轴投影所围曲边梯形 ∫a 为积分变量， 以x为积分变量，穿过的曲线方程 y=f(x),g(x)表达式唯一。 唯一。 一般公式 3/24首页 上页 返