指对幂函数经典例题

必修1幂函数、指数函数和对数函数基础训练题

一、选择题

1、若函数y?(a2?3a?3)?ax是指数函数，则有 （ ） A、a?1或a?2 B、a?1 C、a?2 D、a?0且a?1 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 A．y??x3

B．y?x?3

（ ）

D．y?x3?1

C．y?2x3

3、1．指数式bc=a（b>0，b≠1）所对应的对数式是 （ ） A．logca=b B．logcb=a C．logab=c D．logba=c

4、若100?5,10?2，则2a?b= （ ） A、0 B、1 C、2 D、3

235、若xy?0，那么等式4xy??2xyaby成立的条件是 （ ）

A、x?0,y?0 B、x?0,y?

幂函数的概念

例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1

C．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y＝xα是增函数

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．

答案 C

1

例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f

高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数

1、若函数y?(a2?3a?3)?ax是指数函数，则有（ ）

A、a?1或a?2 B、a?1 C、a?2 D、a?0且a?1

2、指数式bc=a（b>0，b≠1）所对应的对数式是（ ）

A．logca=b B．logcb=a C．logab=c D．logba=c 3、若xy?0，那么等式4x2y3??2xyy成立的条件是（ ）

A、x?0,y?0 B、x?0,y?0 C、x?0,y?0 D、x?0,y?0 4、函数y=log1(2x?1)的定义域为（ ）

2A．（

11，+∞） B．［1，+∞) C．（ ，1] D．（－∞，1） 22

5、若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是（ ）

A．?0,? B．?0,? C．?0,? D．(??,0]??,???

4444??3???3????3????3???6、已知ab>0，下

1

例、已知幂函数f(x)＝(t－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f(x)＝x5是偶函数，且5和5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数．

82

故t＝1且f(x)＝x5或t＝－1且f(x)＝x5.

PS: 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．

例、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )

3

A．-11 D．n<－1，m>1

解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

PS:在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．

例、已知x>x3，求

幂函数 分数指数幂

正分数指数幂的意义是：（，、，且） 负分数指数幂的意义是：（，、，且） 幂函数的图像与性质 幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：

它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

时，幂函数图像过原点且在上是增函数． 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数． 任何两个幂函数最多有三个公共点．

奇函数 偶函数

非奇非偶函数

幂函数基本性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

规律总结

1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；

2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象

的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函

三人行数理化特训数学教研中心 数学■高中 内部使用 外传必究教学地点：园南村居委会二楼 主讲：陈文飞 电话：13875223389

函数的应用（含幂函数）

[基础训练A组]

一、选择题

1 若y?x,y?(),y?4x,y?x?1,y?(x?1),y?x,y?a(a?1)

212x252x上述函数是幂函数的个数是（ ）

A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

2 已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ）

A 函数f(x)在(1,2)或?2,3?内有零点 B 函数f(x)在(3,5)内无零点

C 函数f(x)在(2,5)内有零点 D 函数f(x)在(2,4)内不一定有零点

3 若a?0,b?0,ab?1，log1a?ln2，则logab与log1a的关系是（ ）

22A logab?log B loglog 1aab?1a22C logab?log D loglog 1aab?1a224 求函数f(x)?2x3?3x?1零点的个数为 （ ） A

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函数的应用（含幂函数）

[基础训练A组]

一、选择题

1 若y?x,y?(),y?4x,y?x?1,y?(x?1),y?x,y?a(a?1)

212x252x上述函数是幂函数的个数是（ ）

A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

2 已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ）

A 函数f(x)在(1,2)或?2,3?内有零点 B 函数f(x)在(3,5)内无零点

C 函数f(x)在(2,5)内有零点 D 函数f(x)在(2,4)内不一定有零点

3 若a?0,b?0,ab?1，log1a?ln2，则logab与log1a的关系是（ ）

22A logab?log B loglog 1aab?1a22C logab?log D loglog 1aab?1a224 求函数f(x)?2x3?3x?1零点的个数为 （ ） A

第10讲——对接高考之指数与指数函数

【知识框图】

【要点梳理】

要点一、指数及指数幂的运算 1.n次方根的性质：

(1)当n为奇数时，a?_____；当n为偶数时，n2.分数指数幂的意义：

nnna?_____?______

a?_______mn；

a?p?____3.有理数指数幂的运算性质：

?a?0,b?0,r,s?Q?

rs(1)aa?________ (2)(a)?_____ (3)?ab??______

rsr要点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念

一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.

2.指数函数函数性质： 函数 名称 定义 x指数函数 函数y?a(a?0且a?1)叫做指数函数 a?1 0?a?1 图象 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性

【典型例题】

第一关：指数运算 【题型1】化简运算

?3??2?1?2?2??2?（1）???5??4?

01?2?2?7??10??(0.01)； （2）?2???0.1???2?927????0.50.5?2337?3??

48；

0a?8a

2.3 幂函数

教学分析

一、 教学目标：

1、掌握幂函数的概念；熟悉α=1,2,3，?，

-1时的1幂函数的图象和性质；能利用幂函数的性质 解决实际问题。

2、通过学生对情境的观察、思考、归纳、总结形成结论，

培养学生的发现问题，解决问题的力。

二、教学重难点：

重点：幂函数的定义，图象与性质。

难点：幂函数的图象与性质。

三、教学准备：

1 教师：将幂函数y?x,y?x,y?x,y?x2,y?x图象提前画

在小黑板上。

23?1四、教学导图:

情境引入 函数的概念幂 课堂练习 画出α=1,2,3，?，-1图象

师生交流归纳出五个具体幂函数的性质

课堂练习 例题分析 课堂小结 课后作业 教学设计

一、 教学过程：

（一）教学内容：幂函数概念的引入。

设计意图：从学生熟悉的背景出

指数函数

1．指数函数的定义：

函数)1

(≠

>

=a

a

a

y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R

2.指数函数的图象和性质：

在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=

x

?

?

?

?

?

2

1

，y=x

10，y=

x

?

?

?

?

?

10

1

的图象. 我们观察y=x2，y=

x

?

?

?

?

?

2

1

，y=x

10，y=

x

?

?

?

?

?

10

1

图象特征，就可以得到)1

(≠

>

=a

a

a

y x且的图象和性质。

a>1 0<a<1

图

象

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2246

1

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2246

1

性

质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数

指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比较大小

例1已知函数2

()

f x x bx c

=-+满足(1)(1)

f x f x

+=-，且(0)3

f=，则()x

f b与

()x f c 的大小关系是_____．

分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内．

解：∵(1)(1)f