最难的数学竞赛立体几何题

第三讲 四面体和球

一、基本知识点

（一）特殊四面体

【等腰四面体】1．定义：四面体ABCD中，若AB?CD?a,BC?DA?b,CA?BD?c，则四面体ABCD为等腰四面体。设其体积为V，全面积为S 2．性质：（1）V?2(a2?b2?c2)(b2?c2?a2)(c2?a2?b2)； 12（2）等腰四面体各个面为全等的锐角三角形；

（3）等腰四面体的相对棱的中点的连线段共点，且互相平分，每一条连线垂直于相对棱，且是四面体的对称轴；

（4）设等腰四面体的三个侧面间的二面角分别为：?,?,?，则：

abc2S2cos??cos??cos??1,???

sin?sin?sin?3V（5）若四面体的四个面面积相等，则四面体为等腰四面体。

（6）等腰四面体总可以和一个长方体对应起来，其边为长方体相对面的对角线。 【直角四面体】

1．定义：设四面体P?ABC中，PA,PB,PC两两垂直，则称此四面体为直角四面体。 2．性质：设PA?a,PB?b,PC?c，体积为V，内切球和外接球半径分别为r和R，

?PBC,?PCA,?PAB,?ABC的面积分别为S1,S2,S3,S

（1）底面?ABC是锐角三角形，顶点P在面ABC内的射影是?ABC的垂心H，且

第十二章 立体几何

一、基础知识

公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在这个平面内，记作：a a．

公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面． 推论l 直线与直线外一点确定一个平面．

推论2 两条相交直线确定一个平面．

推论3 两条平行直线确定一个平面．

公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．

定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．

定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．

定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直． 定理1 如果一条直线与平

竞赛试题选编之立体几何 一．选择题

(2005年全国高中数学联赛)空间四点A、B、C、D满足

|AB|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9,则AC?BD的取值（ ）

A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个 ABCD?A?B?C?D?为正方体。任作平面?与对角线AC?垂直，使得?与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（ ）

A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值

（2004年高中数学联赛）顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB?OB，垂足为B，OH?PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（ ） A.

5 3 B.

25 3 C.

6 3 D.

26 3（2003年高中数学联赛）在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为(A)

?3，则四面体ABCD的体积等于

3311

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绝密★启用前

2015-2016学年度阜阳三中立体几何选择题

题号 得分

一 总分 第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明 ??○ __○?___?_?___??__?：?号?订考_订_?___??___??___??：级?○班_○?___?_?__?_?___??：名?装姓装_?__?_?___??___??_:校?○学○????????外内????????○○????????评卷人 得分 一、选择题（题型注释）

1．【2015高考安徽，理5】已知m，n是两条不同直线，?，?是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）

（A）若?，?垂直于同一平面，则?与?平行 （B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行

（C）若?，?不平行，则在?内不存在与?平行的直线

（D）若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 2．【2015高考北京，理4】设?，?是两个不同的平面，m是直线且m??．“m∥?”是“?∥?”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．【2015高考福建，理7】

立体几何基础题题库（有详细答案）

1、二面角??l??是直二面角，A??，B??，设直线AB与?、?所成的角分别为∠1和∠2，则 （A）∠1+∠2=900 （B）∠1+∠2≥900 （C）∠1+∠2≤900 （D）∠1+∠2＜900 解析：C

??1A?2B?分别为直线AB与平面?,?如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内

?经过斜足的直线所成的一切角中最小的角??ABO??2??ABO??1?90??2??1?90?

2. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个．．．图是

SPSPRQQQPPSSPPSPPRQRPQSSPRRPSRSPQRPQQRRQPPSSRRPSQ

QSR

QQSSQRRRSQR Q

（A） （B） （C） （D） D

解析： A项：PS?底面对应的中线，中线平行QS，PQRS是个梯形

D'PSC'

立体几何专题学科网 【例题解析】学科网 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算学科网 例1 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为学科网 A． 22

B． 23

C． 4

D． 25学科网 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得

m2?n2?k2?7，

m2?k2?6?n?1，学1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6?a2?b2?8，

学科网 ∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是学科网 A．9π

B．10π

C．11π

D．12π学科网 解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，母线长是3，球的半径是1，故其表面积是2??1?3?2???1?4??1?12?，答案D．学科网 例3 已知一个正三棱锥P?ABC的主视图如图所示，若AC?BC?223， 学科网 2PC?6，则此正三

空间直线、平面的平行与垂直问题

一、“线线平行”与“线面平行”的转化问题，“线面平行”与“面面平行”的转

化问题 知识点：

一）位置关系：平行：没有公共点．

相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上． 相交包括垂直相交和斜交．

二）平行的判定：

（１）定义：没有公共点的两个平面平行．（常用于反证）

（２）判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行．（线面平行得面面平行）

（３）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）平行于同一个平面的两个平面平行．

（５）过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个．三）平行的性质：

定义：两个平行平面没有公共点．（常用于反证）

性质定理一：若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行．（面面平行得线线平行，用于判定两直线平行）性质定理二：两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面．（面面平行得线面平行，用于判定线面平行）

一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．（用来判定直线与平面垂直）

一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然．

夹在两个平行平面间的平行线段相等．特别地，两个平行平面间的距离处处相等．

（１）（２）（３）（４）（５）二、

立体几何基础题题库一（有详细答案）

1、二面角??l??是直二面角，A??，B??，设直线AB与?、?所成的角分别为∠1和∠2，则 （A）∠1+∠2=900 （B）∠1+∠2≥900 （C）∠1+∠2≤900 （D）∠1+∠2＜900 解析：C

??1A?2B?如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2

分别为直线AB与平面?,?所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角??ABO??2??ABO??1?90??2??1?90

2. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个．．．图是

SPSPRQQPPSSPS??PPRPQRPQRSSSSPRRSPQRPQQQRRPRQPPSRSSRPSQR

QSQQRR

QSQR

Q

（A） （B） （C） （D） D

解析： A项：PS?底面对应的中线，中线平行QS，PQRS是个梯形

D'PSC'A'B'RDACB项： 如图

高三数学 立体几何专题

一、方法总结 高考预测

（一）方法总结

1．位置关系： （1）．两条异面直线相互垂直

证明方法：○1证明两条异面直线所成角为90o；○2证明两条异面直线的方向量相互垂直。 （2）．直线和平面相互平行

证明方法：1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；2证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个○○向量相互平行；○3证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直。

（3）．直线和平面垂直

证明方法：1证明直线和平面内两条相交直线都垂直，2证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量○○都垂直；○3证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

（4）．平面和平面相互垂直

证明方法：○1证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；○2证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；○3证明两个平面的法向量相互垂直。

2．求距离：

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）．两条异面直线的距离

求法：利用公式d?|AB·n||n|（其中A、B分别为两条异面直线上的一点，n为这两条异面直线的法向量）

（2）．点到平面的距

高考数学立体几何试题汇编

一、选择题

1．（全国Ⅰ?理?7题）如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ D ）

A．

1234 B． C． D． 55552．（全国Ⅱ?理?7题）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，

则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（ A ）

A． 6 4 B．2310 C． D． 2243．（北京?理?3题）平面?∥平面?的一个充分条件是（ D ）

A．存在一条直线?，a∥?，a∥? B．存在一条直线a，a??，a∥? C．存在两条平行直线a，b，a??，b??，a∥?，b∥? D．存在两条异面直线a，b，a??，a∥?，b∥?

4．（安徽?理?2题）设l，m，n均为直线，其中m，n在平面?内，“l??”是l?m且“l?n”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（安徽?理?8题）半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（ ）

A．arcco