随机过程试题及答案

一．填空题（每空2分，共20分）

1．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，则X的特征函数为e?(eit-1)。

2．设随机过程X(t)=Acos(? t+?),-?

1(sin(?t+1)-sin?t)。 21的同一指数分布。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为

?4．设?Wn,n?1?是与泊松过程?X(t),t?0?对应的一个等待时间序列，则Wn服从?分布。 5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t

?t?,对应随机变量X(t)??3t??e,如果t时取得红球如果t时取得白球，则 这个随机过程的状态空间

?12?2?t,t,?;e,e??。 ?33? 6．设马氏链的一步转移概率矩阵P=(pij)，n步转移矩阵P7．设?Xn,n?0(n)(n)nP?P，二者之间的关系为。 ?(p(n))ij?为马氏链，状态空间I，初始概率pi?P(X0=i)，绝对概率pj(n)?P?Xn?j?，

i?I(n)n步转移概率p(n)ij，三者之间的关系为pj(n)??pi?pij。

(n)8．在马氏链?Xn,n?0?中，记 fij?PXv?j,1?v?n-1,Xn?jX0?i,n?1,

??fi

1．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，则X的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos(? t+?),-?

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设?Wn,n?1?是与泊松过程?X(t),t?0?对应的一个等待时间序列，则Wn服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，

?t对每一个确定的t对应随机变量X(t)???3,如果t时取得红球，则 这个随机过

??et,如果t时取得白球程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p(n)(n)ij)，n步转移矩阵P?(pij)，二者之间的关系为 。

7．设?Xn,n?0?为马氏链，状态空间I，初始概率pi?P(X0=i)，绝对概率

pj(n)?P?Xn?j?，n步转移概率p(n)ij，三者之间的关系为 。 8．设{X(t),t?0}是泊松过程，且对于任意t2?t1?0则

P{X(5)?6|X(3)?4}?______

9．更新方程K?t??H?t???t0K?t?s?dF?s?解的一般形式为 。

10．记??EXn

《随机过程期末考试卷》

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，

对每一个确定的t 对应随机变量?????=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t

t X ,

,

3)(，则 这个随机过

程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率

{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。 8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则

{(5)6|(3)4}______P X X ===

9．更新方程()

…… … … … … … …

效 …师…教… … … 无 … … … … 上…题 … …… … … 答 …院… …学… … 内 … … … … … 以 … 名…… 姓…… 线 … … … … … 封 … … … … … 密 …号… 学……………… 电子科技大学研究生试卷

（考试时间： 至 ，共 小时）

课程名称 应用随机过程 学时 60 学分 3 教学方式 讲授

考核日期 2009 年 元 月 5 日 成绩

考核方式： （学生填写）

一、（12分）已知随机过程{X(t),t?[?2,2]},X(t)?U?t,U为随机变量，服从?0,??的均匀分布。试求：

（1）任意两个样本函数，并绘出草图； （2）随机过程X(t)的特征函数；

（3）随机过程X(t)的均值函数，自协方差函数。

解 （1）

（2）υ(t;u)?E[ejuX(t)]?E[eju(U

随机过程期中试题

1、 请解释齐次poisson过程与非齐次Poisson过程之间的关系。 2、 请列举从Poisson过程与更新过程的相同点和不同点。

3、 设Y(t)?X?N(t)，其中N(t)是 参数为??0的Poisson过程，随机变量X与N(t)相互独立，而P{X?1}?P{X??1}?1/2，判断此过程是否是平稳过程。 4、 设Y(t)?XN(t)，其中N(t)是 参数为??0的Poisson过程，随机变量X与N(t)相互独立，而P{X?1}?P{X??1}?1/2，判断此过程是否是平稳过程。 5、设N(t)为在[0,t)内来到某商店的顾客数，{N(t),t?0}是强度为?的Poisson过程。每个顾客购买某商品的概率为p，不购买某商品的概率为1?p。设个顾客是否购买商品是相互独立的。令X(t)为在[0,t)内购买商品的顾客数，证明{X(t),t?0}为强度为?p的Poisson过程。

5、设电话总机在[0,t)内接到电话呼叫次数是强度（每分钟）为?的Poisson过程，试求： （1）“2min内接到3次呼叫”的概率。 （2）“第3次呼叫是在第2分钟内接到”的概率。

7

1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx和my，它们的自

相关函数分别为Rx(?)和Ry(?)。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案：

（1）Rz(?)?E?z(t??)z(t)??E?x(t??)y(t??)x(t)y(t)?

利用x(t)和y(t)独立的性质：Rz(?)?E?x(t??)x(t)?E?y(t??)y(t)???Rx(?)Ry(?) （2）Rz(?)?E?z(t??)z(t)??E??x(t??)?y(t??)???x(t)?y(t)?? ?E?x(t??)x(t)?x(t??)y(t)?y(t??)x(t)?y(t??)y(t)?

仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：Rz(?)?Rx(?)?2mxmy?Ry(?)

2、 一个RC低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2

的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。

电流：i(t)

电压：x(t) R C 电压：y(t)

答案：

（1） 该系统

1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx和my，它们的自

相关函数分别为Rx( )和Ry( )。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案：

（1）Rz( ) E z(t )z(t) E x(t )y(t )x(t)y(t)

利用x(t)和y(t)独立的性质：Rz( ) E x(t )x(t) E y(t )y(t)

Rx( )Ry( )

（2）Rz( ) E z(t )z(t) E x(t ) y(t ) x(t) y(t) E x(t )x(t) x(t )y(t) y(t )x(t) y(t )y(t)

仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：Rz( ) Rx( ) 2mxmy Ry( )

2、 一个RC低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2

的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。

电流：i(t)

电压：y(t)

答案：

（1） 该系统的系统函数为H(s)

Y(s)1

X(s)1 RCs

则频率响应为H(j )

2010级计算机应用技术专业研究生《随机过程》课程试题

1 设电话总机在(0，t)内接到电话呼叫数X(t)是具有强度(每分钟)为?的泊松过程，求 (1) 两分钟内接到3次呼叫的概率；

(2) “第二分钟内收到第三次呼叫”的概率。

2 设到达某路口的绿、黑、灰色汽车的到达率分别为?l，?2，?3，且均为怕松过程，它们相互独立。若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度，无延时)，求 (1) 相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度； (2) 汽车之间的不同到达时刻的间隔概率密度。

3 某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加，在8时顾客平均到达率为5人／时，11时到达率达最高峰20人／时。从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人／时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30一9：30问无顾客到达商店的概率是多少?在这段时间内到达商店的顾客数的数学期望是多少? 第3章26

4 设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居，即?＝2。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人

第二章 随机过程分析

1.1 学习指导 1.1.1 要点

随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数

如果ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻t1取值ξ(t1)是一个随机变量。ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率为P[ ξ(t1) ≤ x1 ]，随机过程ξ(t)的一维分布函数为

F1(x1, t1) = P[ξ(t1) ≤ x1] (2-1)

如果F1(x1, t1)的偏导数存在，则ξ(t)的一维概率密度函数为

?F1(x1,t1)?f1(x1, t1) (2 - 2)

?x1

对于任意时刻t1和t2，把ξ(t1) ≤ x1和ξ(t2) ≤ x2同时成立的概率

F2(x1, x2; t1, t2)?P??(t1)?x1, ?(t2)?x2?

随机过程习题解答（一）

第一讲作业：

1、设随机向量

的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布

和

的分布密度

是否独立？说明理由。

。

（a）分别写出随机变量（b）试问：解：（a）

（b）由于：

与

因此

是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：

因此

与

独立。

和

。

2、设 和 为独立的随机变量，期望和方差分别为

（a）试求

和 的相关系数；

（b） 与 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用

的独立性，由计算有：

（b）当

的时候， 和 线性相关，即

3、设

，且是一个周期为T的函数，即

函数

解：由定义，有：

。

是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为

， 试求方差

4、考察两个谐波随机信号

和

，其中：

式中和 为正的常数； 是 内均匀分布的随机变量， 是标准正态分布的随机变量。

（a）求（b）若解：（a）

的均值、方差和相关函数； 与 独立，求

与Y

的互相关函数。

（b）

第二讲作业：

P33/2．解：

其中为整数， 为脉宽

从而有一维分布密度：

P33/3．解：由周期性及三角关系，有：

反函数

，因此有